Projektiver Kegelschnitt

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Projektive Ebene mit Kegelschnitten und Ferngerade

Ein nicht ausgearteter (n.a.) projektiver Kegelschnitt ist eine Kurve in einer pappusschen projektiven Ebene, die bei geeigneter Wahl einer Ferngerade affin als Hyperbel (s. Bild: c2) oder Parabel (Bild: c1) beschrieben werden kann. Die Gleichung beschreibt nicht immer einen n.a. Kegelschnitt.

  • Ein n.a. Kegelschnitt lässt sich in homogenen Koordinaten (s. u.) durch eine Gleichung der Form beschreiben und ist deswegen auch eine projektive Quadrik.

Geometrisch kann man sich einen n.a. projektiven Kegelschnitt kreisähnlich vorstellen mit den wesentlichen Eigenschaften: 1) eine Gerade trifft in 0, 1 oder 2 Punkten, 2) in jedem Punkt von gibt es genau eine Tangente , d. h. . Diese beiden Eigenschaften bestimmen allerdings noch nicht einen n.a. Kegelschnitt. Zusätzlich zu den geometrischen Eigenschaften 1), 2) besitzt ein n.a. Kegelschnitt viele Symmetrien (s. u.).

Der Vorteil eines projektiven n.a. Kegelschnitts ist die Tatsache, dass alle n.a. projektiven Kegelschnitte zur Kurve mit der Gleichung projektiv äquivalent sind. Affin sind die affinen Kegelschnitte Ellipse, Parabel und Hyperbel nicht äquivalent: Eine Parabel lässt sich mit einer affinen Abbildung nicht in eine Ellipse oder Hyperbel überführen.

Projektive Ebene über einem Körper K

Die projektive Erweiterung der affinen Ebene über einem Körper K liefert das anschauliche inhomogene Modell der projektiven Ebene über K. Dabei wird jeder Gerade bzw. ein Punkt, der allen dazu parallelen Geraden auch angehört, hinzugefügt. Die neuen Punkte nennt man Fernpunkte und die Menge der neuen Punkte Ferngerade. In der projektiven Erweiterung gibt es die Parallelrelation zwischen Geraden nicht mehr. Die Geometrie ist „einfacher“ geworden: 1) Zu je zwei Punkten gibt es genau eine Verbindungsgerade. 2) Zwei Geraden schneiden sich in genau einem Punkt. Die zunächst inhomogene Beschreibung (d. h. die Ferngerade scheint eine Sonderrolle zu spielen) wird durch das homogene Modell beseitigt: Ein Punkt ist eine Ursprungsgerade, eine Gerade eine Ursprungsebene im .[1] Der Vorteil des homogenen Modells ist: Die wichtigsten Kollineationen werden durch lineare Abbildungen induziert.[2][3]

Projektive Ebene: inhomogenes Modell

Definition: Es sei K ein Körper und

die Menge der Punkte

die Menge der Geraden,

die Ferngerade, ihre Punkte sind die Fernpunkte.

heißt inhomogenes Modell der projektiven Ebene über dem Körper K.


Definition: Es sei ein Körper, der Vektorraum und , ,

wobei der von aufgespannte Unterraum ist.

.

heißt homogenes Modell der projektiven Ebene über .


Satz: und sind isomorphe projektive Ebenen.

Die folgende Abbildung bildet auf ab. Die projektive Gerade mit der Gleichung wird dabei auf abgebildet:

, falls

, falls , falls .

Die Umkehrabbildung ist:

Definition:

  1. Permutationen der Punktmenge , die Geraden auf Geraden abbilden, heißen Kollineationen.
  2. Kollineationen von , die von linearen Abbildungen induziert werden, heißen projektiv.

Bemerkung: In den projektiven Ebenen und gilt der Satz von Pappos. Sie heißen deswegen pappussch.

Definition eines nicht ausgearteten projektiven Kegelschnitts

Projektiver Kegelschnitt in homogenen Koordinaten incl. inhomogenen Bezeichnungen
Projektiver Kegelschnitt in inhomogenen Koordinaten: Hyperbel und Fernpunkte
Projektiver Kegelschnitt in homogenen Koordinaten incl. inhomogenen Bezeichnungen
Projektiver Kegelschnitt in inhomogenen Koordinaten: Parabel und Fernpunkt

Es werden zunächst die Kurven als Quadriken in (homogene Koordinaten) definiert. Die im vorigen Abschnitt erklärte Zuordnung zwischen dem homogenen Modell und dem inhomogenen Modell liefert schließlich anschaulichere inhomogene Beschreibungen von .

Definition: Es sei ein Körper. In sei

.

In ist : .

Jedes Bild von unter einer Kollineation von heißt nicht ausgearteter projektiver Kegelschnitt. (Ausgeartete Kegelschnitte sind: die leere Menge, 1 Punkt, 1 Gerade oder 2 Geraden.)

Definition: .

In ist : .

Bemerkung: Die Gleichungen beschreiben im Kegel mit Spitzen im Nullpunkt (s. Bilder). enthält die - und -Achsen, enthält die - und -Achsen.

Lemma: Die n. a. Kegelschnitte in sind projektiv äquivalent zu (oder ). (D. h., sie sind durch eine projektive Kollineation ineinander überführbar.)

Bemerkung: Die lineare Abbildung induziert eine projektive Kollineation, die auf abbildet. Im inhomogenen Modell wird diese Kollineation durch beschrieben.

Bemerkung:

  1. Der „Einheitskreis“ ist im Fall (d. h. 1+1=0) kein n. a. Kegelschnitt, da in diesem Fall die Gleichung eine Gerade beschreibt.
  2. Im Fall lässt sich die Gleichung durch eine geeignete Koordinatentransformation in die Gleichung überführen, d. h. der Einheitskreis ist nur im Fall ein n. a. Kegelschnitt.
  3. Im Fall schneidet der Einheitskreis die Ferngerade in zwei Punkten und ist im affinen Teil mit einer Hyperbel zu vergleichen.

Eigenschaften eines n.a. projektiven Kegelschnitts

Satz:

  1. Ein n.a. Kegelschnitt
    • wird von einer Gerade in höchstens 2 Punkten geschnitten. Im Fall heißt Passante, im Fall Tangente und im Fall Sekante.
    • hat in jedem Punkt genau eine Tangente.[4]
  2. Ein n.a. Kegelschnitt ist symmetrisch zu jedem Punkt , durch den eine Sekante geht, d. h. es gibt eine involutorische Zentralkollineation mit Zentrum , die invariant lässt.[5]
  3. Falls ist, besitzt ein n.a. Kegelschnitt Punkte.
  4. Es gelten die Pascalschen Sätze.[6]


Beispiele von Symmetrien im Fall :

  1. ist für jedes eine Schrägspiegelung an der Gerade , die als Ganzes festlässt. sind Fixpunkte auf . Im Fall ist die Schrägspiegelung die normale Spiegelung an der y-Achse.
  2. Die Involution ist die „Spiegelung“ (involutorische Zentralkollineation) mit der Achse und Zentrum . Sie lässt als Ganzes fest. sind Fixpunkte auf .

Beispiele von Symmetrien im Fall :

  1. ist für jedes eine involutorische Zentralkollineation mit Zentrum auf der Achse , die als Ganzes festlässt. ist der einzige Fixpunkt auf . (Auf wirkt diese Abbildung als Translation in Richtung .)
  2. Die Involution ist die involutorische Zentralkollineation mit Zentrum auf der Achse . Sie lässt als Ganzes fest. ist der einzige Fixpunkt auf .


Bemerkung:

  1. Die Tangente im Punkt des Kegelschnitts hat die Gleichung . Im Fall vereinfacht sich die Gleichung zu , d. h. alle Tangenten gehen durch den Punkt . heißt der Knoten von .
  2. Im inhomogenen Modell hat im Punkt die Tangente . Die Tangenten in den Fernpunkten sind die Koordinatenachsen. Im Fall vereinfacht sich die Gleichung zu , d. h. alle Tangenten gehen durch den Punkt .
  3. Im inhomogenen Modell hat im Punkt die Tangente . Die Tangente im Fernpunkt ist die Ferngerade. Im Fall vereinfacht sich die Gleichung zu , d. h. alle Tangenten gehen durch den Punkt (Fernpunkt der x-Achse).


Bemerkung: Eine Punktmenge mit den Eigenschaften

  • wird von einer Garade in höchstens 2 Punkten geschnitten.
  • hat in jedem Punkt genau eine Tangente (Gerade die mit nur einen Punkt gemeinsam hat).

heißt Oval.[7][8] Jeder n.a. Kegelschnitt ist ein Oval, aber nicht umgekehrt. Es gibt im reellen Fall viele Ovale, die keine Kegelschnitte sind: z. B. die Kurve oder beim Kegelschnitt ersetzt man die Parabel durch die Kurve oder man setzt zwei Ellipsenhälften von verschiedenen Ellipsen glatt zusammen. Erst viele Symmetrien machen aus einem Oval einen Kegelschnitt.

Steiner-Erzeugung der Kegelschnitte k1, k2

Steiner-Erzeugung des Kegelschnitts: Vorgaben
Steiner-Erzeugung des Kegelschnitts
Steiner-Erzeugung des Kegelschnitts

Ein n.a. projektiver Kegelschnitt kann auch nach Steiner folgendermaßen erzeugt werden (s. Satz von Steiner):

  • Hat man für zwei Geradenbüschel in zwei Punkten (alle Geraden durch den Punkt bzw. ) eine projektive, aber nicht perspektive Abbildung des einen Büschels auf das andere, so bilden die Schnittpunkte zugeordneter Geraden einen nicht ausgearteten projektiven Kegelschnitt.

Erzeugung von :

Um den projektiven Kegelschnitt (Parabel) zu erzeugen, geben wir im inhomogenen Modell der projektiven Ebene die 3 Punkte , die x-Achse als Tangente im Punkt und die Ferngerade als Tangente im Punkt vor (s. Bild). Als Geradenbüschel verwenden wir die Büschel in und . Mit Hilfe der beiden Geraden und als Achsen für Perspektivitäten (s. Satz von Steiner) bilden wir zunächst das Geradenbüschel in mit auf das Büschel im Fernpunkt (Parallelen zur Gerade ) und anschließend mit auf das Büschel in (Parallelen zur y-Achse) ab. Dabei wird die Gerade zunächst mit der Gerade geschnitten. Der Schnittpunkt ist . Die Parallele zu durch diesen Punkt ist . Der Schnittpunkt mit ist . Hieraus ergibt sich . Durchläuft alle Zahlen so erhält man alle Punkte der Parabel .

Bemerkung: Die x-Achse wird bei der projektiven Abbildung auf die y-Achse und die y-Achse auf die Ferngerade abgebildet.

Bemerkung: Die Steiner-Erzeugung von liefert eine einfache Methode, viele Punkte einer Parabel zu erzeugen. Siehe: Parabel.

Erzeugung von :

Um den projektiven Kegelschnitt (Hyperbel) zu erzeugen, geben wir im inhomogenen Modell der projektiven Ebene die 3 Punkte , die x-Achse als Tangente im Punkt und die y-Achse als Tangente im Punkt vor. Als Geradenbüschel verwenden wir die Büschel in und . bildet zunächst das Büschel in auf das Hilfsbüschel im Punkt ab. Aufgrund der Symmetrie ist dieser Fall rechnerisch leichter zu erfassen. Man rechnet leicht nach, dass die Gerade durch die projektive Abbildung auf die Gerade abgebildet wird (s. Bild).

Bemerkung:

  1. Die y-Achse wird bei der projektiven Abbildung auf und auf die x-Achse abgebildet.
  2. Die Abbildung zeigt auch den Zusammenhang der Steiner-Erzeugung mit einer affinen Version der 4-Punkte Ausartung des Satzes von Pascal.

Bemerkung: Eine Erzeugung der Hyperbel findet man hier.

Polarität und v. Staudt-Kegelschnitt

n.a. Kegelschnitt: Polarität

Ein n.a. projektiver Kegelschnitt kann im Fall auch nach Karl von Staudt als die Menge der selbstpolaren Punkte einer hyperbolischen projektiven Polarität aufgefasst werden.

Für einen Vektorraum über einem Körper sei eine Abbildung von in mit den folgenden Eigenschaften

(Q1) für jedes und .
(Q2) ist eine Bilinearform.

heißt quadratische Form. (Die Bilinearform ist sogar symmetrisch, d. h. . )

Im Fall gilt , d. h. und bestimmen sich gegenseitig in eindeutiger Weise.
Im Fall ist .


Im Folgenden sei . Dann ist .

Für einen Punkt ist

eine Gerade und heißt die Polare von . heißt der Pol von

Die Zuordnung ist eine projektive hyperbolische Polarität. Hyperbolisch bedeutet, dass es Punkte gibt, die auf ihren Polaren liegen. Solche Punkte heißen selbstpolar. (Falls eine Polarität keine selbstpolaren Punkte besitzt, heißt die Polarität elliptisch.)

Eigenschaften der Polarität:

  1. Die Polare eines Kegelschnittpunktes ist die Tangente in diesem Punkt.
  2. (s. Bild),
  3. .

Startet man nun umgekehrt mit einer projektiven hyperbolischen Polarität in der projektiven Ebene , so wird diese durch eine reguläre symmetrische Bilinearform auf beschrieben. Im Fall ist dann eine quadratische Form, die einen nicht ausgearteten Kegelschnitt beschreibt. Ein so definierter Kegelschnitt heißt v. Staudt-Kegelschnitt.[9]

Projektiver Kegelschnitt: Symmetrie

Bemerkung: Die lineare Abbildung induziert die involutorische Zentralkollineation mit Achse und Zentrum , die invariant lässt (s. Abschnitt „Eigenschaften eines n.a. Kegelschnitts“).

Bemerkung: Polaritäten gibt es auch für die affinen Kegelschnitte Ellipse, Parabel und Hyperbel.

Siehe auch

Literatur

  • Albrecht Beutelspacher, Ute Rosenbaum: Projektive Geometrie. 2., durchges. und erw. Auflage. Vieweg-Verlag, Wiesbaden 2004, ISBN 3-528-17241-X.
  • Daniel R. Hughes, Fred C. Piper: Projective Planes. Springer, Berlin u. a. 1973, ISBN 3-540-90044-6.
  • Hanfried Lenz: Vorlesungen über projektive Geometrie. Akademie Verlag, Leipzig 1965, DNB 452996449.
  • Günter Pickert: Projektive Ebenen. 2. Auflage. Springer, Berlin u. a. 1975, ISBN 3-540-07280-2.

Einzelnachweise


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