Korrelation (Projektive Geometrie)

Eine Korrelation oder Dualität ist in der projektiven Geometrie ein (Inzidenzstruktur-)Isomorphismus zwischen einer projektiven Ebene und ihrer dualen Ebene. Von der Ebene wird dabei in den wichtigsten Fällen zusätzlich gefordert, dass sie den Satz von Pappos erfüllt, also durch einen kommutativen Körper koordinatisiert werden kann. Die Darstellung und die Klassifikation von Korrelationen entsprechen weitgehend der von Kollineationen einer projektiven Ebene. Wichtige Unterschiede zu Kollineationen sind: Eine Korrelation der Ebene bildet Punkte auf Geraden und Geraden auf Punkte ab. Während Kollineationen einer projektiven Ebene immer existieren, müssen Korrelationen nicht existieren, wenn die projektive Ebene (oder allgemeiner der projektive Raum) nicht pappossch ist.

Eine wichtige Anwendung haben projektive Polaritäten, das sind doppelverhältnistreue, involutorische Korrelationen in der absoluten Geometrie, weil eine solche Korrelation dort als absolute Polarität die „Metrik“ eines projektiv-metrischen Raumes kennzeichnet und seine Bewegungsgruppe definiert. Sie sind eine Verallgemeinerung der im Artikel Pol und Polare beschriebenen Zuordnung (einer hyperbolischen projektiven Polarität), die durch einen Kegelschnitt bestimmt ist. Hier kann auch eine projektive Polarität einer bestimmten projektiven Geraden innerhalb eines umfassenderen projektiven Raumes interessant sein: Sie lässt sich durch ein (nicht unbedingt positiv-definites, vielmehr ein formales) Skalarprodukt beschreiben, das auf einer Geraden des projektiven Raumes eine elliptische, projektive Polarinvolution, das heißt eine fixpunktfreie, projektive Polarität auf einer Geraden induziert. Diese Polarinvolution auf einer ausgezeichneten Ferngeraden liefert in der projektiven Beschreibung der absoluten Geometrie für den „euklidischen Sonderfall“ die Invariante, die die projektive Polarität im nichteuklidischen Fall liefert. Hier zeigt sich eine Verwandtschaft zum (zunächst projektiv-zwei-dimensionalen) Minkowski-Raum, der selbst kein Modell einer absoluten Geometrie ist: Die Minkowski-Metrik induziert auf einer ausgezeichneten Ferngeraden der Ebene eine hyperbolische projektive Polarinvolution.

Beispiel: Die Abbildung der reellen projektiven Ebene, die einem Punkt Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle (a:b:c)} (in homogenen Koordinaten) die Ebene mit der Gleichung $ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}=0$ zuordnet und umgekehrt, ist eine Korrelation. Sie ist involutorisch und damit sogar eine Polarität. Da kein Punkt mit seiner Polaren inzidiert, liegt eine elliptische Polarität vor.

Der Begriff Korrelation wird auch im naheliegenden Sinn allgemeiner bei projektiven Räumen höherer Dimension und für nichtdesarguessche Ebenen verwendet.

Definitionen

Korrelation

Eine Korrelation einer pappusschen projektiven Ebene $({\mathfrak {P}},{\mathfrak {G}},I)$ ist eine inzidenzerhaltende bijektive Abbildung dieses Raumes auf die duale Ebene Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle ({\mathfrak {G}},{\mathfrak {P}},I^{-1})} , wobei ${\mathfrak {P}}$ bijektiv auf Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\mathfrak {G}}} und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\mathfrak {G}}} bijektiv auf ${\mathfrak {P}}$ abgebildet wird. Punktmenge und Geradenmenge sind in also in der dualen Ebene vertauscht.

Projektive Korrelation

Eine Korrelation $\kappa$ heißt projektiv, wenn jedes eindimensionale Grundgebilde projektiv, also doppelverhältnistreu abgebildet wird. Dies bedeutet konkret:

1. Sind Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle A,B,C,D} vier Punkte auf einer Geraden, dann ist ihr Doppelverhältnis gleich dem Doppelverhältnis der vier Geraden $\kappa (A),\kappa (B),\kappa (C),\kappa (D)$.
2. Sind $a,b,c,d$ vier Geraden, die durch einen gemeinsamen Punkt gehen, dann ist deren Doppelverhältnis gleich dem Doppelverhältnis der vier Punkte Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \kappa (a),\kappa (b),\kappa (c),\kappa (d)} .

Polarität, Pol, Polare und konjugierte Elemente

Eine involutorische Korrelation $\kappa$ (sie braucht nicht notwendig projektiv zu sein) wird als Polarität bezeichnet. Sie ordnet jedem Punkt eine wohlbestimmte Gerade (seine Polare) und jeder Geraden einen wohlbestimmten Punkt (ihren Pol) zu, wobei der Pol der Polaren eines Punktes wieder der ursprüngliche Punkt ist und die Polare des Pols einer Geraden wieder die ursprüngliche Gerade.

Zwei Punkte $A,B$ heißen zueinander konjugiert (bezüglich der Polarität), wenn jeder auf der Polaren des anderen liegt: $AI\kappa (B),BI\kappa (A)$, zwei Geraden $a,b$ heißen zueinander konjugiert (bezüglich der Polarität), wenn jede durch den Pol der anderen geht: Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \kappa (a)Ib,\kappa (b)Ia} . Ein Punkt heißt selbstkonjugiert, wenn er auf seiner Polaren liegt, eine Gerade, wenn sie ihren Pol enthält.

Hyperbolische und elliptische Polaritäten

Eine Polarität heißt hyperbolisch, falls sie selbstkonjugierte Punkte (und damit gleichwertig selbstkonjugierte Geraden) hat, sonst heißt sie elliptisch.

Darstellung und Eigenschaften

• Sind Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \kappa_1,\kappa_2} Korrelationen auf der gleichen projektiven Ebene, so ist die Verkettung $\kappa _{2}\circ \kappa _{1}$ eine Kollineation dieser Ebene (und ebenso eine Kollineation der dualen Ebene).

• Sind die Korrelationen Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \kappa _{1},\kappa _{2}} projektiv, dann ist die Verkettung $\kappa _{2}\circ \kappa _{1}$ eine Projektivität sowohl der Ebene (als Punktmenge) als auch der dualen Ebene (als Abbildung auf der Geradenmenge).
• $\kappa _{2}\circ \kappa _{1}$ kann auch dann eine Projektivität im Sinne der vorigen Aussage sein, wenn keine der beiden Korrelationen projektiv ist.

• Eine Korrelation $\kappa$ einer Ebene ist genau dann eine Polarität, wenn Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \kappa ^{2}} die identische Abbildung der Ebene (ihrer Punktmenge und ihrer Geradenmenge) ist.

Koordinatendarstellung

Sei $K$ ein Körper. Der Vektorraum $K^{3}$ liefert das Standardmodell der projektiven Ebene über $K$. Nach Auswahl einer projektiven Punktbasis, also eines geordneten vollständigen Vierecks, lässt sich auch eine abstrakte projektive Ebene dann mit dem Standardmodell identifizieren. Es wird vereinbart: Spaltenvektoren $x\in K^{3}\setminus \{0\}$ stehen für die homogenen Koordinaten von Punkten, Zeilenvektoren Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle [u],u=[u]^{T}\in K^{3}\setminus \{0\}} für die homogenen Koordinaten von Geraden. Ein Punkt $x$ und eine Gerade Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle [u]} inzidieren genau dann, wenn das formale Matrixprodukt Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle u^{T}\cdot x} den Wert $(0)=0$ hat.

Für eine projektive Korrelation $\kappa$ muss die Zuordnung die Koordinaten jedes Punktes linear abbilden, also ist Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \kappa (x)=(A\cdot x)^{T}} mit einer regulären Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle 3\times 3} -Matrix A. Ebenso muss für die Geradenkoordinaten $\kappa ([u])=B\cdot u$ gelten. Damit die „Inzidenzform“ Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle u^{T}\cdot x} in sich selbst übergeht, muss zwischen den regulären Matrizen $A,B$ der Zusammenhang $B^{T}=r\cdot A^{-1},r\neq 0,r\in K$ gelten. Die Korrelation ist genau dann involutorisch, wenn Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle A^{T}=A} ist.

Bei einer beliebigen Korrelation $\kappa$ müssen die Zuordnungen semilinear sein, dann ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \kappa(x)=(A\cdot \alpha(x))^T} für die Koordinatenvektoren von Punkten und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \kappa ([u])=B\cdot \alpha (u)} für die Koordinatenvektoren von Geraden. Dabei ist $\alpha$ ein Körperautomorphismus von K. Der Körperautomorphismus ist vom gewählten Koordinatensystem unabhängig, vergleiche hierzu: Kollineation#Koordinatendarstellung. Auch hier muss zwischen den regulären Matrizen $A,B$ der Zusammenhang $B^{T}=r\cdot A^{-1},r\neq 0,r\in K$ gelten. Die Korrelation ist genau dann involutorisch, wenn Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle A^{T}=\alpha (A)} und $\alpha ^{-1}=\alpha$ ist.

Projektive Polaritäten und Kegelschnitte

Ist eine hyperbolische Polarität projektiv, so bilden die selbstkonjugierten Punkte und Geraden einen Kegelschnitt $k$ der nach Karl von Staudt als Fundamentalkurve der Polarität bezeichnet wird. Der Pol einer beliebigen Geraden heißt dann auch „ihr Pol in Bezug auf $k$“ und die Polare eines beliebigen Punktes „seine Polare in Bezug auf $k$“, wie dies im Artikel Pol und Polare erläutert wird.

Für elliptische Polaritäten existiert keine definierende Fundamentalkurve.

Projektive Korrelationen und Bilinearformen

Man kann die durch die Zuordnung $x\mapsto A\cdot x$ für Punkte auf Hyperebenen gegebene Abbildung auch losgelöst von der geometrischen Interpretation betrachten. Die Begriffe Radikal und die Attribute isotrop und nullteilig, die in der abstrakten linearen Algebra definiert werden, kommen auch in der geometrischen Literatur vor. Sie überschneiden sich mit teilweise gleich bezeichneten, aber nicht ganz äquivalenten Begriffen aus der Klassifikation von Quadriken. Die hier gegebenen Erklärungen richten sich nach Bachmann (1973).

Es sei zunächst $A$ eine beliebige Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle m\times m} -Matrix mit Einträgen aus einem Körper $K$, $V=K^{m}$ der Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle m} -dimensionale Vektorraum über $K$ mit seiner Standard-Vektorraumbasis. Dann ist durch

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle F:V\times V\rightarrow K;\quad (x,y)\mapsto F(x,y):=x^{T}\cdot A\cdot x}

eine Bilinearform $F$ definiert.

Radikal

• Das Linksradikal ist der Kern der linearen Abbildung Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle V\rightarrow V^{*}:x\mapsto x^{T}\cdot A} , also der Lösungsraum der Gleichung $x^{T}\cdot A=0$, formal ist das eine Abbildung des Vektorraums in seinen (algebraischen) Dualraum Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle V^{*}} , denn $x^{T}\cdot A$ wirkt als Linearform auf Vektoren.
• Das Rechtsradikal ist der Kern der linearen Abbildung Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle V\rightarrow V:y\mapsto A\cdot y} .
• Für einen Unterraum Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle U\leq V} ist Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle ^{\perp }U=\{v\in v|\forall u\in U:F(v,u)=0\}} .
• Für einen Unterraum $U\leq V$ ist $U^{\perp }=\{v\in v|\forall u\in U:F(u,v)=0\}$.
• Ist die Bilinearform $F$ symmetrisch, dann sind Links- und Rechtsradikal identisch, man nennt diese Menge dann Radikal von $V$ bezüglich der Form $F$. Dafür reicht es hin, dass $A$ eine symmetrische Matrix ist Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle (A^{T}=A)} . Dies ist für eine projektive Polarität stets gegeben.

Isotrope Vektoren, Nullteiligkeit

Für den Begriff der Isotropie kommt es nur auf die Formwerte Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle F(x,x)=x^{T}\cdot A\cdot x} der Bilinearform an. Ein Vektor Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle x\in V} heißt isotrop, wenn Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle F(x,x)=0} ist. Aus der Definition folgt, dass jeder Vektor, der dem Rechts- oder Linksradikal angehört, isotrop ist.

Ist umgekehrt bei einer symmetrischen Bilinearform jeder isotrope Vektor im Radikal enthalten, dann heißt die Bilinearform nullteilig

Für die in diesem Artikel beschriebenen Fälle gilt folgendes Wörterbuch (alle genannten Abbildungen seien projektiv in der ersten Spalte und linear bzw. bilinear in der zweiten und dritten):

Projektive Geometrie	Matrixdarstellung	Vektorraum
Punktabbildung einer Korrelation	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle x\mapsto x^{T}A} , Matrix $A$ ist regulär	Rechts- und Linksradikal sind der Nullvektorraum
Korrelation ist eine Polarität	Matrix A ist regulär und symmetrisch	Bilinearform $F$ ist symmetrisch, ihr Radikal ist der Nullvektorraum
ab hier eine projektive Polarität:	ab hier eine, reguläre, symmetrische Matrix:	ab hier eine, nichtausgeartete, symmetrische Bilinearform:
Punkt $<x>$ ist selbstkonjugiert.	$x^{T}\cdot A\cdot x=0$	$x$ ist isotrop
Hyperebene Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle [y]} ist selbstkonjugiert	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle y^{T}\cdot A\cdot y=0}	$y$ ist isotrop
Punkt $x$ und Hyperebene Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle [y]} sind polar	$y^{T}\cdot A\cdot x=0$	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle ^{\perp }<x>=[y]} gleichwertig $[y]^{\perp }=x$
Polarität ist elliptisch	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle x^{T}Ax=0\Rightarrow x=0}	Jeder isotrope Vektor liegt im Radikal, ist also hier $0$. $F$ ist nullteilig
Polarität ist hyperbolisch	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \exists x\in V\setminus \{0\}:x^{T}Ax=0}	Es gibt isotrope Vektoren, die nicht im Radikal liegen. $F$ ist nicht nullteilig.

Beispiele

Eine nicht-projektive, elliptische Polarität

Sei $K=\mathbb {C}$ der Körper der komplexen Zahlen. Dann wird durch Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle A=B=E_{3}} (Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle E_{3}} sei die $3\times 3$-Einheitsmatrix) und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \alpha (t)={\overline {t}}} , die komplexe Konjugation eine Korrelation auf der projektiven Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{P}^2(\Complex)} definiert, die involutorisch, aber nicht projektiv ist, also eine Polarität. Diese ist elliptisch, denn die Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\overline x}^T \cdot A\cdot x={\overline x}^T \cdot x=0} für selbstkonjugierte Vektoren Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\in \Complex^3} hat keine Lösung außer dem Nullvektor.

Hyperbolische Polaritäten

• Der Einheitskreis Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1^2+x_2^2=1} der affinen Ebene über den reellen Zahlen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} wird im projektiven Abschluss Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{P}^2(\R)} dieser Ebene zur Fundamentalkurve einer Polarität. Wählt man Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_0=0} als Ferngerade, dann lautet die Kreisgleichung projektiv Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k: -x_0^2+x_1^2+x_2^2=0} . Die „Formmatrix“ dieser Quadrik die Diagonalmatrix Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=\operatorname{diag}(-1,1,1)} ist zugleich die Punktabbildungsmatrix der zugehörigen Polarität. Es geht also der affine Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (p_1 | p_2)} , projektiv Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (1,p_1,p_2)} in die projektive Polare Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -x_0+p_1\cdot x_1+p_2\cdot x_2=0} , affin Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_1\cdot x_1+p_2\cdot x_2=1} über. Dies ist eine Gerade, die für vom Ursprung verschiedene affine Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} senkrecht zur Geraden OP steht und durch den Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P'} geht, der spiegelbildlich zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} bezüglich der Einheitskreislinie liegt.

• Polare des Ursprungs ist die Ferngerade,
• Polare eines Fernpunktes Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R(0,r_1,r_2)} sind die Geraden durch den Ursprung, deren senkrechte Richtung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} ist, affin die Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r_1\cdot x_1+r_2\cdot x_2=0} ,
• die Punkte auf dem projektiven Kegelschnitt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -x_0^2+x_1^2+x_2^2=0} sind genau die selbstkonjugierten Punkte der Polarität (genau sie inzidieren mit ihrer Polaren). Die Polarität ist also, da es selbstkonjugierte Punkte gibt, hyperbolisch.

• Die Hyperbel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1^2-x_2^2=1} der affinen Ebene über Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} wird im projektiven Abschluss zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -x_0^2+x_1^2-x_2^2=0} mit der Formmatrix Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{diag}(-1,1,-1)} , äquivalent ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h: x_0^2-x_1^2+x_2^2=0} mit der Formmatrix Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H=\operatorname{diag}(1,-1,1)} , die den Vorzug hat ähnlich zu der Formmatrix aus dem vorigen Beispiel zu sein (projektiv ist der Kegelschnitt in diesem Beispiel äquivalent zum Einheitskreis). Die Permutationsmatrix Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S=\begin{pmatrix}0&0&1\\ 1&0&0\\ 0&1&0\end{pmatrix}} bildet (als Projektivität) den Einheitskreis Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} ab, es ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle SAS^{-1}=H} mit der Formmatrix Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} des Einheitskreises. Ist also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x,u)} ein Pol-Polare-Paar bezüglich des Einheitskreises, dann ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (Sx,Su)} ein Pol-Polare-Paar bezüglich der Hyperbel.

• Die durch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H,\alpha=1} bestimmte Polarität ist hyperbolisch und projektiv.
• Der Fernpunkt der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1} -Achse Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=(0,1,0)^T} hat die Polare Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (H\cdot x^T)^T=[0,-1,0]} , das ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1=0} , also die affine Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2} -Achse.
• Der Fernpunkt der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2} -Achse Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=(0,0,1)^T} hat die Polare Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (H\cdot y^T)^T=[0,0,1]} , das ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2=0} , also die affine Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1} -Achse.
• Die selbstkonjugierten Punkte liegen auf dem Kegelschnitt h, die selbstkonjugierten Geraden sind dessen Tangenten.
• Zum Beispiel berühren die beiden Winkelhalbierenden des Koordinatensystems als Asymptoten der affinen Hyperbel den projektiven Kegelschnitt h in ihrem jeweiligen Fernpunkt, dieser Fernpunkt ist jeweils Pol der Asymptote. (Rechnerisch für die erste Winkelhalbierende: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle w: x_1-x_2=0, w=[0,1,-1]\mapsto Hw^T=(0,-1,-1)^T} ).
• Wie beim Kreis (und bei jedem Kegelschnitt mit einem Mittelpunkt) ist der affine Mittelpunkt des Kegelschnitts, hier der Ursprung, polar zur Ferngerade.

Eine elliptische Polarität

Elliptische Polarität auf der Kugel: Einem elliptischen Punkt (Antipodenpaar)Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (A,A')} wird der Großkreis Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} als Polare zugeordnet, der durch die zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{AA'}} senkrechte Ebene durch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} aus der Kugel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} geschnitten wird.

Sei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K=\R} . Wir betrachten im dreidimensionalen Vektorraum Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V=\R^3} die Zuordnung, die jedem Vektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\in V\setminus \{0\}} den zu ihm (im Sinne des üblichen Skalarprodukts) senkrechten zweidimensionalen Unterraum Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle <x>^\perp} zuordnet. Im projektiven Raum Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{P}^2(\R)} entspricht dies der Korrelation mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=B=E_3,\alpha=1} . Dies ist eine projektive Polarität. Es existieren keine selbstkonjugierten Punkte (eindimensionale Unterräume von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} ) oder Geraden (zweidimensionale Unterräume von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} ), also ist die Polarität elliptisch.

Die reelle projektive Ebene kann man als Modell der reellen elliptischen Geometrie auffassen, indem man die Unterräume von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} mit einer Kugel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} um den Nullpunkt von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} schneidet: Aus dem projektiven Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle <x>, x\in V\setminus \{0\}} wird dann das Punktepaar, in dem die „Gerade“ Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} die Kugel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} trifft (Antipoden der Kugel werden also zu einem elliptischen Punkt „verklebt“), aus der projektiven Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle <x>^{\perp}, x\in V\setminus \{0\}} wird der Großkreis, in dem die Vektorraumebene die Kugel schneidet.

Also verhalten sich Polare und Pol wie der Erdäquator zu den geographischen Polen. Die Polare zu einem (elliptischen) Punkt (also zu einem Paar aus einem Punkt und seinem Gegenpunkt) ist dann der Großkreis, der am weitesten von diesem entfernt ist. Der Pol zu einem Großkreis Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{p}} (der Polaren) ist dadurch gekennzeichnet, dass alle Großkreise, die senkrecht zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{p}} stehen, sich dort schneiden.

Definiert man in der projektiven Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{P}^2(\R)} eine Senkrechtrelation durch

„Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g\perp h} soll genau dann gelten wenn Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} den Pol (im Sinn der oben definierten Polarität) von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} enthält“,

dann hat man mit der beschriebenen elliptischen projektiven Polarität eine „Metrik“ auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{P}^2(\R)} eingeführt, mit der diese projektive Ebene zu einer elliptischen Ebene, genauer zu der (bis auf Isomorphie eindeutigen) elliptischen Ebene über dem Körper der reellen Zahlen wird. Jede elliptische Polarität der reellen projektiven Ebene lässt sich nämlich durch geeignete Wahl des Koordinatensystems auf die Form dieser elliptischen Polarität bringen.

Projektive Polarität in projektiven Räumen beliebiger, endlicher Dimension

In einem mindestens zweidimensionalen, pappusschen projektiven Raum Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{P}^n(K)} über einem Körper, hat man durch eine feste projektive Polarität eine bestimmte Eins-Zu-Eins-Zuordnung zwischen den Punkten und Hyperebenen des Raumes. Diese ist besonders einheitlich im elliptischen Fall: Die Tatsache, dass es keine selbstkonjugierten Punkte gibt, bedeutet geometrisch, dass kein Punkt auf der zu ihm polaren Hyperebene liegt.

Polaritäten über endlichen Räumen

Durch ein Schubfachargument, das auch zu einer Abzählung der selbstkonjugierten Elemente bei einer endlichen Polarität verfeinert werden könnte, lässt sich beweisen: Existiert auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{P}^n(K)} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n\geq 2} eine projektive, elliptische Polarität und ist die Charakteristik von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} nicht Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2} , dann muss Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} unendlich sein.

Gleichwertig: Ist K endlich mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q= \#K} Elementen und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{char}(K)\neq 2} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n\geq 2} und ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A\in\mathrm{GL}_{n+1}(K)} eine reguläre Matrix, dann besitzt die Gleichung für selbstkonjugierte Punkte

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^T\cdot A\cdot x=0}

eine nichttriviale Lösung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\in K^{n+1}\setminus \{ 0\}} .

Es genügt, den Fall Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=2} zu betrachten: Man kann unter den genannten Voraussetzungen die Matrix mit den im Artikel projektive Quadrik dargestellten Methoden, insbesondere durch quadratische Ergänzung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\operatorname{char}(K)\neq 2)} auf die Diagonalform Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=\operatorname{diag}(a_0,a_1,a_2), a_i\in K^*=K\setminus\{0\}} bringen, geometrisch gesprochen wählt man eine Orthogonalbasis des Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K^3} . Die zu lösende Gleichung ist dann Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_0\cdot x_0^2+a_1\cdot x_1^2+a_2\cdot x_2^2=0} , gleichwertig

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{(+)}\quad -a_2^{-1}a_0\cdot x_0^2-a_2^{-1}a_1\cdot x_1^2=x_2^2} .

Setzt man Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_0:=1} und betrachtet alle Elemente, die sich auf der linken Seite der Gleichung ergeben, wenn für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1} alle q Körperelemente eingesetzt werden, dann sind dies Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{q-1}{2}+1} verschiedene Zahlen, denn jeweils für genau zwei verschiedene Zahlen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1,x_1'\in K^*} ergibt sich derselbe Wert, die Einsetzung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1=0} liefert einen Zusätzlichen. Ist 0 unter den so dargestellten Werten, dann setzt man Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2=0} und hat eine nichttriviale Lösung, ist 0 nicht darunter, sind also alle durch den Term auf der linken Seite der Gleichung (+) darstellbaren Zahlen in Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K^*} enthalten, dann muss darunter auch eine Quadratzahl sein, denn Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K^*} zerfällt in genau zwei Quadratklassen, die Klasse Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q_1=(K^*)^2} der Quadratzahlen, die eine echte Untergruppe von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K^*} ist, und deren echte Nebenklasse Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K^*\setminus Q_1} , beide Klassen enthalten je Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{q-1}{2}} Elemente, also weniger, als sich beim Einsetzen in die linke Seite von (+) ergeben. Damit muss es wieder eine nichttriviale Lösung der Gleichung (+) für selbstkonjugierte Punkte geben.

→ Die genauen Anzahlen selbstkonjugierter Punkte für Polaritäten über endlichen Räumen ergeben sich in den wichtigsten Fällen aus den Sätzen über Quadratische Mengen.

Polarinvolution als Polarität auf einer Geraden

Hinführendes Beispiel

Es sei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K=\R} – die folgenden Überlegungen gelten aber über beliebigen Körpern mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{char}(K)\neq 2} . Wir betrachten die „Geometrie“ im Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^2} , die nur aus den Ursprungsgeraden, also den eindimensionalen Teilräumen besteht. Jeder Teilraum Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g_{\vec{v}}} ist durch eine „Richtung“ Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v}=(v_1,v_2)^T\in \R^2\setminus\{(0,0)\}} gekennzeichnet. Es ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{x}\in g \Leftrightarrow \exist s\in K, \vec{x}=s\cdot\vec{v}} . Andererseits gilt genau für die Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x_1,x_2)^T} einer Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g_{\vec{v}}} die homogene Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -v_2\cdot x_1+v_1\cdot x_2=0} . Der Koeffizientenvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (-v_2,v_1)} ist Normalenvektor der Geraden. Da sowohl die Richtungs- als auch die Normalenvektoren „homogen“ sind (nur bestimmt bis auf eine Multiplikation mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s\in\R^*} ), ist die betrachtete Geometrie eine eindimensionale projektive Geometrie und die Zuordnung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v}\mapsto \vec{n}=A\cdot \vec{v}} mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}} ist eine projektive, involutorische Korrelation dieser projektiven Geraden, also eine eindimensionale projektive Polarität. Beschreibt man die affine Ebene über Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} mit „Orthogonalität“ als eigentliche Ebene innerhalb der projektiven Ebene über Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} , dann hat man durch diese eindimensionale projektive Polarität auf der Ferngeraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_0=0} , also der Geraden mit den Koordinaten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [1,0,0]} eine projektive Invariante, die die (im beschriebenen Falle gewohnte) Orthogonalität projektiv beschreibt: Die projektive Geometrie selbst ordnet jeder Parallelenschar einen Fernpunkt als Richtung zu, die Polarinvolution ordnet jeder Richtung die zu ihr „polare“ Richtung zu, die wiederum die zu der Parallelenschar, von der man ausgegangen ist, senkrechte Schar ist.

Allgemein nennt man eine Polarität auf einer projektiven Geraden, die Teil eines (mindestens zweidimensionalen) projektiven Raumes ist, Polarinvolution. Da bei einer projektiven Geraden die Menge der Punkte zu sich selbst dual ist, ist jede Korrelation der Geraden auch eine Kollineation, jede projektive Korrelation eine Projektivität und in der Regel ist nur dieser Fall einer projektiven Korrelation auf einer Geraden in einem größeren projektiven Raum geometrisch interessant.

Spezielle Polarinvolutionen

• Eine Polarinvolution heißt projektiv, wenn sie als Kollineation projektiv, also eine (eindimensionale) Projektivität ist.
• Eine Polarinvolution heißt elliptisch, wenn sie keine Fixpunkte hat. Diese Definition überträgt die entsprechende Eigenschaft der zweidimensionalen Polarität, mit der Verschärfung, dass hier Inzidenz für Punkte Gleichheit bedeutet.
• Eine Polarinvolution heißt hyperbolisch, wenn sie wenigstens einen Fixpunkt hat.

Die eindimensionale projektive Gruppe Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{PGL}(2,K), \operatorname{char}(K)\neq 2} operiert scharf dreifach transitiv auf der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{P}^1(K)} , deshalb kann eine nichtidentische projektive Kollineation hier nur keinen, einen oder genau zwei Fixpunkte haben. Damit zeigt sich eine Analogie zum zweidimensionalen Fall: Die Fixelementmengen, die bei einer hyperbolischen, projektiven Polarinvolution auftreten können, bestehen aus einem „(doppelt zählenden) Punkt“ oder einem Punktepaar. Das sind genau die „Kegelschnitte“, die im eindimensionalen Raum neben der leeren Menge und der ganzen Geraden auftreten können.

Im Fall einer endlichen Geraden ist die Gesamtzahl der Punkte auf der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q+1} wegen der generellen Voraussetzung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{char}(K)\neq 2} gerade, da die Ordnung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q} der Geraden ungerade ist und der Fall genau eines Fixpunktes für eine Involution ausgeschlossen.

Eine hyperbolische, projektive Polarinvolution ist aber im Allgemeinen durch die Menge ihrer Fixpunkte nicht eindeutig bestimmt, anders als im zweidimensionalen Fall eine hyperbolische, projektive Polarität durch die Menge ihrer selbst-konjugierten Punkte.

Verallgemeinerungen

Desarguessche Räume beliebiger, endlicher Dimension

Geraden, Punkte

Auf einer projektiven Geraden ist die Menge der Punkte zu sich selbst dual und der Begriff Korrelation fällt mit dem Begriff Kollineation zusammen. Jede Bijektion der Punktmenge (also der Punkte auf der einzigen Geraden) ist eine Korrelation. Interessant ist hier nur die Untersuchung der involutorischen, projektiven Kollineationen. Projektive „Räume“ der Dimension Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} (Punkte) und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -1} (leere Menge) liefern offensichtlich nichts Interessantes.

Mindestens dreidimensionale Räume

Jede mindestens dreidimensionale projektive Geometrie ist desarguesch, also als Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -dimensionaler Raum Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{P}^n(K), n\geq 3} über einem Schiefkörper Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} darstellbar. Hier kann der Begriff Korrelation fast ohne Einschränkungen übertragen werden, wenn Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} isomorph zu seinem Gegenring ist: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{P}^n(K), n\geq 3} ist als Inzidenzstruktur mit den Grundgebilden Punkt, Gerade, …, Hyperebene isomorph zur dualen Struktur (Inzidenz kehrt sich dabei ggf. um). Jede bijektive Abbildung, die jedem Punkt eine Hyperebene, jeder Geraden einen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n-2} -dimensionalen Teilraum usw. inzidenztreu zuordnet ist eine Korrelation. Wie im ebenen Fall gilt:

• Die vollständige Korrelation ist durch die Bilder der Punkte bestimmt. Ist ein Koordinatensystem fest gewählt, dann bestimmt jede semilineare Abbildung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A\circ\alpha} (Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} reguläre Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (n+1)\times (n+1)} -Matrix, Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} Schiefkörperautomorphismus von K) der Punktkoordinatenvektoren auf Hyperebenenkoordinatenvektoren die Korrelation eindeutig, jede Korrelation ist so darstellbar.
• Eine Korrelation ist genau dann projektiv, wenn die Punktabbildung bezüglich eines Koordinatensystems (und dann in jedem Koordinatensystem) linear also der Körperautomorphismus Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} identisch ist.
• Eine solche Korrelation ist unter den gleichen Bedingungen involutorisch wie im zweidimensionalen Fall.
• Für die Komposition von zwei Korrelationen und das Quadrat einer Korrelation gelten die gleichen Beziehungen zu Kollineationen bzw. zur Identität wie sie oben für den zweidimensionalen Fall angegeben sind.
• Die selbstkonjugierten Punkte einer projektiven involutorischen Korrelation bilden eine (eventuell leere) Hyperfläche zweiter Ordnung und die selbstkonjugierten Hyperebenen sind genau die Tangentialhyperebenen dieser Hyperfläche, falls Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} kommutativ ist und seine Charakteristik nicht Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2} ist. Ohne diese Voraussetzungen muss dies nicht gelten! Daher setzt man in der Regel eine pappussche Geometrie, die dem Fano-Axiom genügt, voraus, wenn man von Polaritäten spricht.

Nichtdesarguessche Ebenen

Für eine beliebige projektive Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E=(\mathfrak{P}, \mathfrak{G}, I)} ist die duale Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E^D=(\mathfrak{G}, \mathfrak{P}, I^{-1})} stets wieder eine projektive Ebene. Im Allgemeinen ist die Ebene aber nicht isomorph zu ihrer dualen Ebene. Nur wenn Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\cong E^D} ist, existiert also überhaupt eine Korrelation, dann wird sie auch so bezeichnet. Eine Korrelation existiert immer unter der folgenden Bedingung:

E ist eine desarguessche Ebene über einem Schiefkörper, der zu seinem Gegenring isomorph ist.

Dann gilt über die Darstellung der Korrelation als semilineare Punktabbildung das im vorigen Abschnitt Gesagte.

Literatur

Projektive Geometrie (im Sinne der üblichen Linearen Algebra)

•  Günther Eisenreich: Lineare Algebra und analytische Geometrie. 3., erw. und berichtigte Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 3-05-501301-8, S. 286–290.
•  Benno Klotzek: Analytische Geometrie und Lineare Algebra. Harri Deutsch, Thun/ Frankfurt am Main 1997, ISBN 3-8171-1532-6, S. 218f.
•  Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik, Band II: Lineare Algebra. In: Lehrbuch der Mathematik für Mathematiker, Informatiker und Physiker: in 4 Bänden. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim/ Leipzig/ Wien/ Zürich 1990, ISBN 3-411-14101-8.

Anwendung in der absoluten Geometrie

•  Friedrich Bachmann: Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff. 2. ergänzte Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 1973, ISBN 3-540-06136-3.