Quasi-Isometrie

Der Begriff der Quasi-Isometrie dient in der Mathematik dazu, die „grobe“ globale Geometrie metrischer Räume zu untersuchen. Er spielt in zahlreichen Gebieten der Geometrie, Analysis und geometrischen Gruppentheorie eine wichtige Rolle, etwa in der Theorie der hyperbolischen Gruppen oder in Beweisen von Starrheitssätzen.

Definitionen

Seien $(M_1,d_1)$ und $(M_2,d_2)$ zwei metrische Räume. Eine (nicht notwendig stetige) Abbildung $f:M_1\to M_2$ ist eine quasi-isometrische Einbettung, wenn es Konstanten $A\ge 1$ und $B\ge 0$ gibt, sodass

$\frac{1}{A}{d}_1(x,y)-B\le d_2(f(x),f(y))\le A{d}_1(x,y)+B\text{für alle}x,y\in M_1$.

Die Abbildung heißt quasi-dicht, wenn eine Konstante $C\ge 0$ existiert, sodass es für jedes $u\in M_2$ ein $x\in M_1$ gibt mit

$d_2(u,f(x))\le C.$

Eine Quasi-Isometrie ist eine quasi-dichte, quasi-isometrische Einbettung.

Zwei Abbildungen $f,g:M_1\to M_2$ haben endlichen Abstand, falls $\underset{x\in M_1}{\sup }{d}_2(f(x),g(x))<\mathrm{\infty }$.

Die Räume $(M_1,d_1)$ und $(M_2,d_2)$ heißen quasi-isometrisch, wenn es eine Quasi-Isometrie $f:M_1\to M_2$ gibt.

Beispiele

Die Einbettung $\mathbb{\mathbb{Z}}\to \mathbb{ℝ}$ ist eine Quasi-Isometrie

Jeder beschränkte metrische Raum ist quasi-isometrisch zum Punkt.

Die Einbettung $f:{\mathbb{\mathbb{Z}}}^n\to {\mathbb{ℝ}}^n$ ist eine Quasi-Isometrie für die euklidische Metrik auf ${\mathbb{\mathbb{Z}}}^n$ und ${\mathbb{ℝ}}^n$. Man kann in obiger Definition $A=1$, $B=0$ und $C=1$ setzen.

Die zu verschiedenen endlichen Erzeugendensystemen $S_1$, $S_2$ einer Gruppe $G$ zugeordneten Cayley-Graphen sind quasi-isometrisch.

Švarc-Milnor-Lemma: Wenn eine endlich erzeugte Gruppe $G$ kokompakt und eigentlich diskontinuierlich durch Isometrien auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit $Y$ wirkt, dann ist (der Cayley-Graph von) $G$ quasi-isometrisch zu $Y$. (Siehe auch Satz von Švarc-Milnor.)

Mit $Y=\tilde{X}$ erhält man daraus insbesondere: Die Fundamentalgruppe ${\pi }_{1}X$ einer kompakten riemannschen Mannigfaltigkeit $X$ ist quasi-isometrisch zur universellen Überlagerung $\tilde{X}$.

Eigenschaften

• Die identische Abbildung auf einem metrischen Raum ist eine Quasi-Isometrie.
• Die Verkettung von quasi-isometrischen Einbettungen (Quasi-Isometrien) ist wieder eine quasi-isometrische Einbettung (Quasi-Isometrie).
• Eine Abbildung, die einen endlichen Abstand von einer quasi-isometrischen Einbettung (Quasi-Isometrie) hat, ist wieder eine quasi-isometrische Einbettung (Quasi-Isometrie).
• Zwei metrische Räume $(M_1,d_1)$ und $(M_2,d_2)$ sind genau dann quasi-isometrisch, wenn es quasi-isometrische Einbettungen $f:M_1\to M_2$ und $g:M_2\to M_1$ gibt, sodass sowohl $g\circ f$ und ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_{M_1}$ als auch $f\circ g$ und ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_{M_2}$ endlichen Abstand haben.

Kategorien

Die metrischen Räume mit den quasi-isometrischen Einbettungen bilden nach obigen Eigenschaften eine Kategorie. Diese ist allerdings für Quasi-Isometrien nicht interessant, da ihre Isomorphismen bijektiv sein müssen und daher viele wichtige Quasi-Isometrien keine Isomorphismen sind, wie zum Beispiel die in den obigen Beispielen genannte Quasi-Isometrie zwischen ${\mathbb{\mathbb{Z}}}^n$ und ${\mathbb{ℝ}}^n$.

Man geht daher zu einer Kategorie über, in der die metrischen Räume immer noch die Objekte sind, aber die Morphismen sind Äquivalenzklassen quasi-isometrischer Einbettungen. Dabei heißen zwei quasi-isometrische Einbettungen äquivalent, wenn sie endlichen Abstand haben, und dies definiert offenbar eine Äquivalenzrelation. Bezeichnet $[f]$ die Äquivalenzklasse der quasi-isometrischen Einbettung $f$, so ergeben die Definitionen

• $1_M:=[{\mathrm{i}\mathrm{d}}_M]$
• $[f]\circ [g]:=[f\circ g]$ (Wohldefiniertheit!)

eine Kategorie. In dieser Kategorie sind die Isomorphismen genau die Äquivalenzklassen von Quasi-Isometrien. Die in dieser Kategorie gebildete Automorphismengruppe eines metrischen Raums heißt dessen Quasi-Isometrie-Gruppe.

Siehe auch

• Quasi-Isometrie - Artikel in der deutschen Wikipedia

Literatur

• Clara Löh: Geometric group theory, an introduction. Skript zur Vorlesung Geometrische Gruppentheorie an der Universität Regensburg, 2015. (Engl.; PDF; 1,3 MB), Kapitel 5.
• Michael Kapovich: Lectures in quasi-isometric rigidity. (Engl.; PDF; 319 kB).