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Quasi-Isometrie
Der Begriff der Quasi-Isometrie dient in der Mathematik dazu, die „grobe“ globale Geometrie metrischer Räume zu untersuchen. Er spielt in zahlreichen Gebieten der Geometrie, Analysis und geometrischen Gruppentheorie eine wichtige Rolle, etwa in der Theorie der hyperbolischen Gruppen oder in Beweisen von Starrheitssätzen.
Definitionen
Seien Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (M_1,d_1)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (M_2,d_2)} zwei metrische Räume. Eine (nicht notwendig stetige) Abbildung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f \colon M_1 \to M_2} ist eine quasi-isometrische Einbettung, wenn es Konstanten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \ge 1} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B \ge 0} gibt, sodass
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{A}\; d_1(x,y)-B\leq d_2(f(x),f(y))\leq A\; d_1(x,y)+B\quad\mbox{für alle}\quad x,y\in M_1} .
Die Abbildung heißt quasi-dicht, wenn eine Konstante Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C \ge 0} existiert, sodass es für jedes Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u \in M_2} ein Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \in M_1} gibt mit
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d_2(u,f(x)) \le C.}
Eine Quasi-Isometrie ist eine quasi-dichte, quasi-isometrische Einbettung.
Zwei Abbildungen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f,g \colon M_1 \to M_2} haben endlichen Abstand, falls Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sup_{x\in M_1}d_2(f(x),g(x)) < \infty} .
Die Räume Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (M_1,d_1)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (M_2,d_2)} heißen quasi-isometrisch, wenn es eine Quasi-Isometrie Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f \colon M_1 \to M_2} gibt.[1]
Beispiele
Jeder beschränkte metrische Raum ist quasi-isometrisch zum Punkt.
Die Einbettung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f \colon \Z^n \to \R^n} ist eine Quasi-Isometrie für die euklidische Metrik auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Z^n} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n} . Man kann in obiger Definition Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=1} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B=0} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C=1} setzen.
Die zu verschiedenen endlichen Erzeugendensystemen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_1} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_2} einer Gruppe Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} zugeordneten Cayley-Graphen sind quasi-isometrisch.
Švarc-Milnor-Lemma: Wenn eine endlich erzeugte Gruppe Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} kokompakt und eigentlich diskontinuierlich durch Isometrien auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y} wirkt, dann ist (der Cayley-Graph von) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} quasi-isometrisch zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y} . (Siehe auch Satz von Švarc-Milnor.)
Mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y=\widetilde{X}} erhält man daraus insbesondere: Die Fundamentalgruppe Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi_1X} einer kompakten riemannschen Mannigfaltigkeit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} ist quasi-isometrisch zur universellen Überlagerung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \widetilde{X}} .
Eigenschaften
- Die identische Abbildung auf einem metrischen Raum ist eine Quasi-Isometrie.
- Die Verkettung von quasi-isometrischen Einbettungen (Quasi-Isometrien) ist wieder eine quasi-isometrische Einbettung (Quasi-Isometrie).
- Eine Abbildung, die einen endlichen Abstand von einer quasi-isometrischen Einbettung (Quasi-Isometrie) hat, ist wieder eine quasi-isometrische Einbettung (Quasi-Isometrie).
- Zwei metrische Räume Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (M_1,d_1)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (M_2,d_2)} sind genau dann quasi-isometrisch, wenn es quasi-isometrische Einbettungen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f \colon M_1 \to M_2} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g \colon M_2 \to M_1} gibt, sodass sowohl Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g\circ f} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{id}_{M_1}} als auch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\circ g} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{id}_{M_2}} endlichen Abstand haben.[2]
Kategorien
Die metrischen Räume mit den quasi-isometrischen Einbettungen bilden nach obigen Eigenschaften eine Kategorie. Diese ist allerdings für Quasi-Isometrien nicht interessant, da ihre Isomorphismen bijektiv sein müssen und daher viele wichtige Quasi-Isometrien keine Isomorphismen sind, wie zum Beispiel die in den obigen Beispielen genannte Quasi-Isometrie zwischen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Z^n} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n} .
Man geht daher zu einer Kategorie über, in der die metrischen Räume immer noch die Objekte sind, aber die Morphismen sind Äquivalenzklassen quasi-isometrischer Einbettungen. Dabei heißen zwei quasi-isometrische Einbettungen äquivalent, wenn sie endlichen Abstand haben, und dies definiert offenbar eine Äquivalenzrelation. Bezeichnet Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [f]} die Äquivalenzklasse der quasi-isometrischen Einbettung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} , so ergeben die Definitionen
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1_M := [\mathrm{id}_M]}
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [f] \circ [g] := [f\circ g]} (Wohldefiniertheit!)
eine Kategorie. In dieser Kategorie sind die Isomorphismen genau die Äquivalenzklassen von Quasi-Isometrien. Die in dieser Kategorie gebildete Automorphismengruppe eines metrischen Raums heißt dessen Quasi-Isometrie-Gruppe.[3]
Siehe auch
- Quasi-Isometrie - Artikel in der deutschen Wikipedia
Literatur
- Clara Löh: Geometric group theory, an introduction. Skript zur Vorlesung Geometrische Gruppentheorie an der Universität Regensburg, 2015. (Engl.; PDF; 1,3 MB), Kapitel 5.
- Michael Kapovich: Lectures in quasi-isometric rigidity. (Engl.; PDF; 319 kB).
Einzelnachweise
- ↑ Clara Löh: Geometric Group Theory, Springer-Verlag 2017, ISBN 978-3-319-72253-5, Definition 5.1.6
- ↑ Clara Löh: Geometric Group Theory, Springer-Verlag 2017, ISBN 978-3-319-72253-5, Proposition 5.1.10
- ↑ Clara Löh: Geometric Group Theory, Springer-Verlag 2017, ISBN 978-3-319-72253-5, 5.1.12 und 5.1.13
| Dieser Artikel basiert auf einer für AnthroWiki adaptierten Fassung des Artikels Quasi-Isometrie aus der freien Enzyklopädie de.wikipedia.org und steht unter der Lizenz Creative Commons Attribution/Share Alike. In Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar. |
