Superpositionsprinzip

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Mathematik

Das Superpositionsprinzip („Überlagerungsprinzip“; von lat. super „über“ und positio „Lage, Setzung, Stellung“) beschreibt in der Mathematik eine grundlegende Eigenschaft homogener linearer Gleichungen, nachdem auch jede Linearkombination ihrer Lösungen weitere gültige Lösungen liefert. Superpositionen erfüllen zwei einfache Bedingungen:

LaTeX: f(x) = f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n) = \sum_{i=1}^{n}{f(x_i)} Additivität
LaTeX: f(ax) = a f(x) Homogenität

Eine Superposition („Überlagerung“) lässt sich daher in folgender allgemeiner Form darstellen:

LaTeX: f(x) = \sum_{i=1}^{n}{a_i f(x_i)}

Physik

Kräfteparallelogramm
Eine stehende Welle (schwarz) als Überlagerung (Superposition) zweier gegenläufiger Wanderwellen (rot und blau). Die Knoten der stehenden Welle befinden sich an den roten Punkten.

In der Physik lässt sich das Superpositionsprinzip für die Überlagerung gleicher physikalischer Größen anwenden, die sich sich gegenseitig nicht stören, d.h. wenn sie mathematisch durch linearer Gleichungen bzw. lineare Differentialgleichungen beschrieben werden können.

Überlagerung von Kräften in der klassischen Mechanik

Ein einfaches Beispiel aus der klassischen Mechanik ist die ungestörte Überlagerung von mehreren Kräften LaTeX: \vec F_i zu einer resultierenden Gesamtkraft LaTeX: \vec F_R, die sich im einfachsten Fall von zwei wirkenden Kräften auch grafisch durch ein Kräfteparallelogramm veranschaulichen lässt:

LaTeX: \vec F_R = \sum_{i=1}^{n} \vec F_i

Interferenz

Interferenzerscheinungen werden in der Physik durch die Überlagerung von Wellen (z.B. Schallwellen, Wasserwellen, elektromagnetische Wellen) beschrieben. Die resultierende Wellenfunktion LaTeX: \psi(\vec x, t) ergibt sich dabei aus der Summe der überlagerten Wellen LaTeX: \psi_i(\vec x, t), d.h.:

LaTeX: \psi(\vec x, t) = \sum_{i=1}^n \psi_i(\vec x, t)

Quantenphysik

Dieses Prinzip lässt sich auch in der Quantenmechanik anwenden, da Quantenzustände auch durch eine spezielle Wellenfunktion, die Schrödingergleichung, beschrieben werden können. In der von Paul Dirac eingeführten Bra-Ket-Notation lässt sich der resultiernde Gesamtzustand LaTeX: |\psi\rangle als Summe der orthonormierten Einzelzustände LaTeX: |\varphi_i\rangle formal einfach wie folgt darstellen:

LaTeX: |\psi\rangle=\sum\limits_{i=1}^n c_i|\varphi_i\rangle

Die Betragsquadrate LaTeX: |c_i|^2 der komplexen Wahrscheinlichkeitsamplituden LaTeX: c_i entsprechen nach der Bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Wahrscheinlichkeit der jeweiligen Zustände.

Siehe auch