Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die Wahrscheinlichkeitstheorie, auch Wahrscheinlichkeitsrechnung oder Probabilistik, ist ein Teilgebiet der Mathematik, das aus der Formalisierung, der Modellierung und der Untersuchung von Zufallsgeschehen hervorgegangen ist. Gemeinsam mit der mathematischen Statistik, die anhand von Beobachtungen zufälliger Vorgänge Aussagen über das zugrunde liegende Modell trifft, bildet sie das mathematische Teilgebiet der Stochastik.

Die zentralen Objekte der Wahrscheinlichkeitstheorie sind zufällige Ereignisse, Zufallsvariablen und stochastische Prozesse.

Axiomatischer Aufbau

Wie jedes Teilgebiet der modernen Mathematik wird auch die Wahrscheinlichkeitstheorie mengentheoretisch formuliert und auf axiomatischen Vorgaben aufgebaut. Ausgangspunkt der Wahrscheinlichkeitstheorie sind Ereignisse, die als Mengen aufgefasst werden und denen Wahrscheinlichkeiten zugeordnet sind; Wahrscheinlichkeiten sind reelle Zahlen zwischen 0 und 1; die Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten zu Ereignissen muss gewissen Mindestanforderungen genügen.

Diese Definitionen geben keinen Hinweis darauf, wie man die Wahrscheinlichkeiten einzelner Ereignisse ermitteln kann; sie sagen auch nichts darüber aus, was Zufall und was Wahrscheinlichkeit eigentlich sind. Die mathematische Formulierung der Wahrscheinlichkeitstheorie ist somit für verschiedene Interpretationen offen, ihre Ergebnisse sind dennoch exakt und vom jeweiligen Verständnis des Wahrscheinlichkeitsbegriffs unabhängig.

Definitionen

Konzeptionell wird als Grundlage der mathematischen Betrachtung von einem Zufallsvorgang oder Zufallsexperiment ausgegangen. Alle möglichen Ergebnisse dieses Zufallsvorgangs fasst man in der Ergebnismenge $\Omega$ zusammen. Häufig interessiert man sich jedoch gar nicht für das genaue Ergebnis $\omega \in \Omega$ , sondern nur dafür, ob es in einer bestimmten Teilmenge der Ergebnismenge liegt, was so interpretiert werden kann, dass ein Ereignis eingetreten ist oder nicht. Ein Ereignis ist also als eine Teilmenge von $\Omega$ definiert. Enthält das Ereignis genau ein Element der Ergebnismenge, handelt es sich um ein Elementarereignis. Zusammengesetzte Ereignisse enthalten mehrere Ergebnisse. Das Ergebnis ist also ein Element der Ergebnismenge, das Ereignis jedoch eine Teilmenge.

Damit man den Ereignissen in sinnvoller Weise Wahrscheinlichkeiten zuordnen kann, werden sie in einem Mengensystem aufgeführt, der Ereignisalgebra oder dem Ereignissystem $\Sigma$ über $\Omega$ , einer Menge von Teilmengen von $\Omega$ , für die gilt: Sie enthält $\Omega$ und ist ein σ-Körper, d. h., sie ist gegenüber den Mengenoperationen der Vereinigung und der Komplementbildung (relativ bzgl. $\Omega$ ) abgeschlossen genauso wie gegenüber der unendlichen Vereinigung abzählbar vieler Mengen. Die Wahrscheinlichkeiten sind dann Bilder einer gewissen Abbildung $P$ des Ereignisraums in das Intervall [0,1]. Solch eine Abbildung heißt Wahrscheinlichkeitsmaß. Das Tripel Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)} wird als Wahrscheinlichkeitsraum bezeichnet.

Axiome von Kolmogorow

Die axiomatische Begründung der Wahrscheinlichkeitstheorie wurde in den 1930er Jahren von Andrei Kolmogorow entwickelt. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß muss demnach folgende drei Axiome erfüllen:

Axiome:

Für jedes Ereignis $A\in \Sigma$ ist die Wahrscheinlichkeit von $A$ eine reelle Zahl zwischen 0 und 1: $0\leq P(A)\leq 1$ .
Das sichere Ereignis $\Omega \in \Sigma$ hat die Wahrscheinlichkeit 1: $P(\Omega )=1$ .
Die Wahrscheinlichkeit einer Vereinigung abzählbar vieler inkompatibler Ereignisse ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse. Dabei heißen Ereignisse $A_{i}$ inkompatibel, wenn sie paarweise disjunkt sind, also bei $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$ für alle $i\neq j$ . Es gilt daher Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle P\left(A_{1}\;\;\!\!{\dot {\cup }}\;\;\!\!A_{2}\;\;\!\!{\dot {\cup }}\;\;\!\!\!\cdots \right)=\sum P(A_{i})} . Diese Eigenschaft wird auch σ-Additivität genannt.

Beispiel: Im Rahmen einer physikalischen Modellbildung wird ein Wahrscheinlichkeitsmaß zur Beschreibung des Ergebnisses eines Münzwurfes angesetzt, die möglichen Ergebnisse (Ereignisse genannt) mögen Zahl und Kopf lauten.

Dann ist die Ergebnismenge $\Omega =\{{\text{Zahl}},{\text{Kopf}}\}$ .
Als Ereignisraum kann die Potenzmenge Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )\;} gewählt werden, also Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \Sigma =\{\emptyset ,\{{\text{Zahl}}\},\{{\text{Kopf}}\},\Omega \}} .
Für das Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ $P$ steht aufgrund der Axiome fest:
- $P(\emptyset )=0$
- Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle P(\{{\text{Zahl}}\})=1-P(\{{\text{Kopf}}\})}
- $P(\Omega )=1$

Zusätzliche physikalische Annahmen über die Beschaffenheit der Münze können nun etwa zur Wahl Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle P(\{{\text{Kopf}}\})=P(\{{\text{Zahl}}\})=0{,}5} führen.

Folgerungen

Aus den Axiomen ergeben sich unmittelbar einige Folgerungen:

1. Aus der Additivität der Wahrscheinlichkeit disjunkter Ereignisse folgt, dass komplementäre Ereignisse (Gegenereignisse) komplementäre Wahrscheinlichkeiten (Gegenwahrscheinlichkeiten) haben: $P(\Omega \setminus A)=1-P(A)$ .

Beweis: Es ist Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle (\Omega \setminus A)\cup A=\Omega } sowie

(\Omega \setminus A)\cap A=\emptyset

. Folglich nach Axiom (3): Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle P(\Omega \setminus A)+P(A)=P(\Omega )} und dann nach Axiom (2): Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle P(\Omega \setminus A)+P(A)=1} . Umgestellt ergibt sich:

P(\Omega \setminus A)=1-P(A)

.

2. Daraus folgt, dass das unmögliche Ereignis, die leere Menge, die Wahrscheinlichkeit Null hat: $P(\emptyset )=0$ .

Beweis: Es ist Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \emptyset \cup \Omega =\Omega } und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \emptyset \cap \Omega =\emptyset } , also nach Axiom (3):

P(\emptyset )+P(\Omega )=P(\Omega )

. Hieraus folgt

P(\emptyset )=0

.

3. Für die Vereinigung nicht notwendig disjunkter Ereignisse folgt: Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)} .

Beweis: Die für den Beweis erforderlichen Mengen sind im obigen Bild dargestellt. Die Menge

A\cup B

kann danach als Vereinigung von drei disjunkten Mengen dargestellt werden:

Hieraus folgt nach (3): Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle P(A\cup B)=P(A\setminus B)+P(A\cap B)+P(B\setminus A)} .

Andererseits ist nach (3) sowohl

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle P(A)=P(A\setminus B)+P(A\cap B)} als auch

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle P(B)=P(A\cap B)+P(B\setminus A)} .

Addition liefert:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle P(A)+P(B)=P(A\setminus B)+P(A\cap B)+P(A\cap B)+P(B\setminus A)=P(A\cup B)+P(A\cap B)} .

Umstellen ergibt

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

.

Die Siebformel von Poincaré-Sylvester verallgemeinert diese Behauptung im Falle n verschiedener (nicht notwendig disjunkter) Teilmengen.

Im Weiteren ist zwischen abzählbaren und überabzählbaren Ergebnismengen zu unterscheiden.

Abzählbare Ergebnismenge

Beispiel: Ein Glücksrad mit Ergebnismenge $\Omega =\{1,2,3\}$ , Ereignisraum $\Sigma$ (hier die Potenzmenge von $\Omega$ ) und Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ .

Bei einer abzählbaren Ergebnismenge kann jedem Elementarereignis eine positive Wahrscheinlichkeit zugewiesen werden. Wenn $\Omega$ endlich oder abzählbar unendlich ist, kann man für die σ-Algebra $\Sigma$ die Potenzmenge von $\Omega$ wählen. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse aus $\Omega$ ist hier 1.

Überabzählbare Ergebnismenge

Ein Prototyp einer überabzählbaren Ergebnismenge ist die Menge der reellen Zahlen. In vielen Modellen ist es nicht möglich, allen Teilmengen der reellen Zahlen sinnvoll eine Wahrscheinlichkeit zuzuordnen. Als Ereignissystem wählt man statt der Potenzmenge der reellen Zahlen hier meist die Borelsche σ-Algebra, das ist die kleinste σ-Algebra, die alle Intervalle von reellen Zahlen als Elemente enthält. Die Elemente dieser σ-Algebra nennt man Borelsche Mengen oder auch (Borel)-messbar. Wenn die Wahrscheinlichkeit Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle P(A)} jeder Borelschen Menge $A$ als Integral

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle P(A)=\int _{A}f(x)\,\mathrm {d} x}

über eine Wahrscheinlichkeitsdichte $f$ geschrieben werden kann, wird $P$ absolut stetig genannt. In diesem Fall (aber nicht nur in diesem) haben alle Elementarereignisse {x} die Wahrscheinlichkeit 0. Die Wahrscheinlichkeitsdichte eines absolut stetigen Wahrscheinlichkeitsmaßes $P$ ist nur fast überall eindeutig bestimmt, d. h., sie kann auf einer beliebigen Lebesgue-Nullmenge, also einer Menge vom Lebesgue-Maß 0, abgeändert werden, ohne dass $P$ verändert wird. Wenn die erste Ableitung der Verteilungsfunktion von $P$ existiert, so ist sie eine Wahrscheinlichkeitsdichte von P. Die Werte der Wahrscheinlichkeitsdichte werden jedoch nicht als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.

Spezielle Eigenschaften im Fall diskreter Wahrscheinlichkeitsräume

Laplace-Experimente

Wenn man annimmt, dass nur endlich viele Elementarereignisse möglich und alle gleichberechtigt sind, d. h. mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eintreten (wie zum Beispiel beim Werfen einer idealen Münze, wobei {Zahl} und {Kopf} jeweils die Wahrscheinlichkeit 0,5 besitzen), so spricht man von einem Laplace-Experiment. Dann lassen sich Wahrscheinlichkeiten einfach berechnen: Wir nehmen eine endliche Ergebnismenge $\Omega$ an, die die Mächtigkeit Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle |\Omega |=n} besitzt, d. h., sie hat $n$ Elemente. Dann ist die Wahrscheinlichkeit jedes Elementarereignisses einfach Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle P={\tfrac {1}{n}}} .

Beweis: Wenn Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle |\Omega |=n} ist, dann gibt es

n

Elementarereignisse Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle E_{1},\ldots ,E_{n}} . Es ist dann einerseits Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \Omega =E_{1}\cup \cdots \cup E_{n}} und andererseits sind je zwei Elementarereignisse disjunkt (inkompatibel: wenn das eine eintritt, kann das andere nicht eintreten). Also sind die Voraussetzungen für Axiom (3) erfüllt, und es gilt:

P(E_{1})+\cdots +P(E_{n})=P(\Omega )=1.

Da nun andererseits

P(E_{1})=\cdots =P(E_{n})=P

sein soll, ist Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle n\cdot P=1} und daher umgestellt: Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle P={\tfrac {1}{n}}} , wie behauptet.

Als Konsequenz folgt, dass für Ereignisse, die sich aus mehreren Elementarereignissen zusammensetzen, die entsprechend vielfache Wahrscheinlichkeit gilt. Ist $A$ ein Ereignis der Mächtigkeit Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle |A|=m} , so ist $A$ die Vereinigung von $m$ Elementarereignissen. Jedes davon hat die Wahrscheinlichkeit Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle P={\tfrac {1}{n}}} , also ist Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle P(A)=m\cdot {\tfrac {1}{n}}={\tfrac {m}{n}}} . Man erhält also den einfachen Zusammenhang

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}.}

Bei Laplace-Versuchen ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich der Zahl der für dieses Ereignis günstigen Ergebnisse, dividiert durch die Zahl der insgesamt möglichen Ergebnisse.

Nachstehend ein Beispiel beim Würfeln mit einem idealen Würfel.

\Omega =\{

⚀⚁⚂⚃⚄⚅

\}

H=\{

⚄⚅

\}

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle P(H)={\frac {|H|}{|\Omega |}}={\frac {2}{6}}={\frac {1}{3}}}

Das Ereignis $H$ = Hohe Augenzahl (5 oder 6) hat die Wahrscheinlichkeit 1/3.

Ein typischer Laplace-Versuch ist auch das Ziehen einer Karte aus einem Spiel mit $n$ Karten oder das Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit $n$ Kugeln. Hier hat jedes Elementarereignis die gleiche Wahrscheinlichkeit. Um die Anzahl der Elementarereignisse bei Laplace-Versuchen zu bestimmen, werden häufig Methoden der Kombinatorik verwendet.

Das Konzept der Laplace-Experimente lässt sich auf den Fall einer stetigen Gleichverteilung verallgemeinern.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Unter einer bedingten Wahrscheinlichkeit versteht man die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $A$ unter der Voraussetzung, dass das Eintreten eines anderen Ereignisses $B$ bereits bekannt ist. Natürlich muss $B$ eintreten können, es darf also nicht das unmögliche Ereignis sein. Man schreibt dann Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle P(A|B)} oder seltener Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle P_{B}(A)} für „Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Voraussetzung $B$ “, kurz „ $P$ von $A$ , vorausgesetzt $B$ “.

Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, aus einem Skatblatt eine Herz-Karte zu ziehen (Ereignis $A$ ), beträgt 1/4, denn es gibt 32 Karten und darunter 8 Herz-Karten. Dann ist Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle P({\text{Herz}})={\tfrac {8}{32}}={\tfrac {1}{4}}} . Das Gegenereignis ist dann Karo, Pik oder Kreuz und hat deshalb die Wahrscheinlichkeit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{24}{32} = \tfrac 3 4} .

Ergebnismenge beim Ziehen einer Karte aus einem Skatspiel

Wenn nun aber bereits das Ereignis Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} „Die Karte ist rot“ eingetreten ist (es wurde eine Herz- oder Karo-Karte gezogen, es ist aber nicht bekannt, welche der beiden Farben), man also nur noch die Auswahl unter den 16 roten Karten hat, dann ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(A|B) = \tfrac 8{16} = \tfrac 1 2} die Wahrscheinlichkeit, dass es sich dann um das Herz-Blatt handelt.

Diese Überlegung galt für einen Laplaceversuch. Für den allgemeinen Fall definiert man die bedingte Wahrscheinlichkeit von „Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} , vorausgesetzt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} “ als

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(A \vert B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.}

Dass diese Definition sinnvoll ist, zeigt sich daran, dass die so definierte Wahrscheinlichkeit den Axiomen von Kolmogorow genügt, wenn man sich auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} als neue Ergebnismenge beschränkt; d. h., dass gilt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0 \le P(A \vert B) \le 1}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(B \vert B)=1}
Wenn Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_1,\ldots,A_k} paarweise disjunkt sind, so ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(A_1 \cup \cdots \cup A_k \vert B) = P(A_1 \vert B) + \cdots + P(A_k \vert B)}

Beweis:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(A \vert B)} ist Quotient zweier Wahrscheinlichkeiten, für welche nach Axiom (1) gilt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(A \cap B) \ge 0} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(B) \ge 0} . Da Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} nicht das unmögliche Ereignis sein soll, ist sogar Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(B) > 0} . Also gilt auch für den Quotienten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(A \vert B) \ge 0} . Ferner sind Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \cap B} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B \setminus A} disjunkt, und ihre Vereinigung ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} . Also ist nach Axiom (3): Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(A \cap B) = P(B) - P(B \setminus A)} .
Da Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(B \setminus A) \ge 0} ist, folgt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(A \cap B) \le P(B)} und daher Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(A \vert B) \le 1} .
Es ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(B \vert B) = \frac{P(B \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B)}{P(B)} = 1.}
Des Weiteren ergibt sich:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} P(A_1 \cup \cdots \cup A_k \vert B) &= \frac{P((A_1 \cup \cdots \cup A_k) \cap B)}{P(B)}\\ &= \frac{P((A_1\cap B)\cup\cdots\cup(A_k \cap B))}{P(B)}\\ &= \frac{P(A_1 \cap B) + \cdots + P(A_k \cap B)}{P(B)}\\ &= \frac{P(A_1 \cap B)}{P(B)} + \cdots + \frac{P(A_k \cap B)}{P(B)} \\ \\ &= P(A_1 \vert B) + \cdots + P(A_k \vert B). \end{align}}

Dies war zu zeigen.

Beispiel: Es sei wie oben Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} das Ereignis „Ziehen einer Herz-Karte“ und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} das Ereignis „Es ist eine rote Karte“. Dann ist:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(A \cap B) = \frac 8{32} = \frac 1 4}

und

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(B)= \frac{16}{32} = \frac 1 2.}

Folglich gilt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(A \vert B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac 1 4}{\frac 1 2} = \frac 1 2.}

Aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit ergeben sich folgende Konsequenzen:

Verbundwahrscheinlichkeit (Schnittmengen von Ereignissen)

Das gleichzeitige Eintreten zweier Ereignisse Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} entspricht mengentheoretisch dem Eintreten des Verbund-Ereignisses Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A\cap B} . Die Wahrscheinlichkeit hiervon berechnet sich zur gemeinsamen Wahrscheinlichkeit oder Verbundwahrscheinlichkeit

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \vert A) = P(B) \cdot P(A \vert B).}

Beweis: Nach Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit ist einerseits

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(A \vert B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}}

und andererseits auch

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(B \vert A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}.}

Umstellen nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(A \cap B)} liefert dann sofort die Behauptung.

Beispiel: Es wird eine Karte aus 32 Karten gezogen. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} sei das Ereignis: „Es ist ein König“. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} sei das Ereignis: „Es ist eine Herz-Karte“. Dann ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A\cap B} das gleichzeitige Eintreten von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} , also das Ereignis: „Die gezogene Karte ist ein Herz-König“. Offenbar ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(A) = \tfrac 4{32} = \tfrac 1 8} . Ferner ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(B|A) = \tfrac 1 4} , denn es gibt nur eine Herz-Karte unter den vier Königen. Und in der Tat ist dann Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B\vert A) = \tfrac 1 8 \cdot \tfrac 1 4 = \tfrac 1{32}} die Wahrscheinlichkeit für den Herz-König.

Satz von Bayes

Die bedingte Wahrscheinlichkeit von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} unter der Bedingung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} lässt sich durch die bedingte Wahrscheinlichkeit von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} unter der Bedingung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} durch

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(A \mid B)=\frac{P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B)}}

ausdrücken, wenn man die totalen Wahrscheinlichkeiten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(B)} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(A)} kennt (Satz von Bayes).

Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Ereignissen

Ereignisse nennt man unabhängig voneinander, wenn das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht beeinflusst. Im umgekehrten Fall nennt man sie abhängig. Man definiert:

Zwei Ereignisse Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} sind unabhängig, wenn Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)} gilt.

Ungenau, aber einprägsam formuliert: Bei unabhängigen Ereignissen kann man die Wahrscheinlichkeiten multiplizieren.

Dass dies dem Begriff „Unabhängigkeit“ gerecht wird, erkennt man durch Umstellen nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(A)} :

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = P(A \vert B).}

Das bedeutet: Die totale Wahrscheinlichkeit für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} ist ebenso groß wie die Wahrscheinlichkeit für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} , vorausgesetzt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} ; das Eintreten von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} beeinflusst also die Wahrscheinlichkeit von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} nicht.

Beispiel: Es wird eine aus 32 Karten gezogen. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} sei das Ereignis „Es ist eine Herz-Karte“. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} sei das Ereignis „Es ist eine Bild-Karte“. Diese Ereignisse sind unabhängig, denn das Wissen, dass man eine Bild-Karte zieht, beeinflusst nicht die Wahrscheinlichkeit, dass es eine Herz-Karte ist (Der Anteil der Herz-Karten unter den Bilder-Karten ist ebenso groß wie der Anteil der Herz-Karten an allen Karten). Offenbar ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(A) = \tfrac 8{32} = \tfrac 1 4} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(B) = \tfrac{12}{32} = \tfrac 3 8} . Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \cap B} ist das Ereignis „Es ist eine Herz-Bildkarte“. Da es davon drei gibt, ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(A \cap B) = \tfrac 3{32}} . Und in der Tat stellt man fest, dass Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac 1 4 \cdot \tfrac 3 8 = \tfrac 3{32}} ist.

Ein weiteres Beispiel für sehr kleine und sehr große Wahrscheinlichkeiten findet sich in Infinite-Monkey-Theorem.

Maßtheoretische Sichtweise

Die klassische Wahrscheinlichkeitsrechnung betrachtet nur Wahrscheinlichkeiten auf diskreten Wahrscheinlichkeitsräumen und stetige Modelle mit Dichtefunktionen. Diese beiden Ansätze lassen sich durch die moderne Formulierung der Wahrscheinlichkeitstheorie, die auf den Konzepten und Ergebnissen der Maß- und Integrationstheorie beruht, vereinheitlichen und verallgemeinern.

Wahrscheinlichkeitsräume

In dieser Sichtweise ist ein Wahrscheinlichkeitsraum Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\Omega, \Sigma, P)} ein Maßraum mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} . Das bedeutet, die Ergebnismenge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega} ist eine beliebige Menge, der Ereignisraum Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Sigma} ist eine σ-Algebra mit Grundmenge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P \colon \Sigma \to [0,1]} ist ein Maß, das durch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(\Omega) = 1} normiert ist.

Wichtige Standardfälle von Wahrscheinlichkeitsräumen sind:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega} ist eine abzählbare Menge und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Sigma} ist die Potenzmenge von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega} . Dann ist jedes Wahrscheinlichkeitsmaß Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} eindeutig festgelegt durch seine Werte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(\{\omega\})} auf den einelementigen Teilmengen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega} und für alle Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \in \Sigma} gilt

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(A) = \sum_{\omega\in A} P(\{\omega\})} .

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega} ist eine Teilmenge von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^n} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Sigma} ist die Borelsche σ-Algebra auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega} . Ist das Wahrscheinlichkeitsmaß Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} absolut stetig bezüglich des Lebesgue-Maßes, dann besitzt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} nach dem Satz von Radon-Nikodým eine Lebesgue-Dichte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} , d. h., für alle Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \in \Sigma} gilt

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(A) = \int_A f(x) \, \mathrm d x} .

Umgekehrt wird für eine nichtnegative messbare Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} , welche die Normierungsbedingung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \int_\Omega f(x) \, dx = 1} erfüllt, durch diese Formel ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega} definiert.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle\Omega = \prod_{i\in I} \Omega_i} ist ein kartesisches Produkt und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle\Sigma = \bigotimes_{i\in I} \Sigma_i} ist die Produkt-σ-Algebra von σ-Algebren Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Sigma_i} auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega_i} . Sind Wahrscheinlichkeitsmaße Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_i} auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega_i} gegeben, dann wird durch das Produktmaß Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle P = \bigotimes_{i\in I} P_i} ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega} definiert, das die unabhängige Hintereinanderausführung der Einzelexperimente Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\Omega_i, \Sigma_i, P_i)_{i\in I}} modelliert.

Zufallsvariable

→ Hauptartikel: Zufallsvariable

Eine Zufallsvariable ist das mathematische Konzept für eine Größe, deren Wert vom Zufall abhängig ist. Aus maßtheoretischer Sicht handelt es sich um eine messbare Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} auf einem Wahrscheinlichkeitsraum Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\Omega, \Sigma, P)} in einen Messraum Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\Omega', \Sigma')} bestehend aus einer Menge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega'} und einer σ-Algebra Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Sigma'} auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega'} . Messbarkeit bedeutet dabei, dass für alle Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A' \in \Sigma'} das Urbild Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X^{-1}(A')} ein Element der σ-Algebra Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Sigma} ist. Die Verteilung von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} ist dann nichts anderes als das Bildmaß

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_X := P \circ X^{-1} : \Sigma' \to [0,1], \quad P \circ X^{-1}(A') = P(X^{-1}(A'))} ,

das von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} auf dem Messraum Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\Omega', \Sigma')} induziert wird und diesen zu einem Wahrscheinlichkeitsraum Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\Omega', \Sigma', P_X)} macht.

Der Erwartungswert einer reellwertigen Zufallsvariable Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} mittelt die möglichen Ergebnisse. Er lässt sich abstrakt definieren als Integral von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} :

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{E}(X) = \int_\Omega X \, \mathrm d P} .

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik werden zusammenfassend auch als Stochastik bezeichnet. Beide Gebiete stehen in enger wechselseitiger Beziehung:

Statistische Verteilungen werden regelmäßig unter der Annahme modelliert, dass sie das Resultat zufälliger Prozesse sind.
Statistische Verfahren können auf numerische Weise Anhaltspunkte für das Verhalten von Wahrscheinlichkeitsverteilungen liefern.

Anwendungsgebiete

Die Wahrscheinlichkeitstheorie entstand aus dem Problem der gerechten Verteilung des Einsatzes bei abgebrochenen Glücksspielen. Auch andere frühe Anwendungen stammen aus dem Bereich des Glücksspiels.

Heute ist die Wahrscheinlichkeitstheorie eine Grundlage der Statistik. Die angewandte Statistik nutzt Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie, um Umfrageergebnisse zu analysieren oder Wirtschaftsprognosen zu erstellen.

Große Bereiche der Physik wie die Thermodynamik und die Quantenmechanik nutzen die Wahrscheinlichkeitstheorie zur theoretischen Beschreibung ihrer Resultate.

Sie ist ferner die Grundlage für mathematische Disziplinen wie die Zuverlässigkeitstheorie, die Erneuerungstheorie und die Warteschlangentheorie und das Werkzeug zur Analyse in diesen Bereichen.

Auch in der Mustererkennung ist die Wahrscheinlichkeitstheorie von zentraler Bedeutung.

Wahrscheinlichkeitstheorie in der Schule

Aufgrund seiner vielseitigen Anwendungsbereiche und des Alltagsbezugs bereits junger Schüler wird die Wahrscheinlichkeitstheorie ab Klasse 1 in allen Schulformen im Rahmen des Mathematikunterrichts gelehrt. Geht es in der Grundschule noch darum, Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung kennenzulernen und erste Zufallsexperimente hinsichtlich ihrer Gewinnchancen zu bewerten^[1], wird in der Sekundarstufe I zunehmend der Wahrscheinlichkeitsbegriff analytisch in seiner Vielseitigkeit betrachtet und es stehen zunehmend komplexere Zufallsexperimente im Zentrum des Interesses^[2]. In der Sekundarstufe II werden die Vorkenntnisse um spezifische Aspekte wie Bernoulliketten, bedingte Wahrscheinlichkeit und Laplace-Experimente erweitert^[3].

Siehe auch

Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung - Artikel in der deutschen Wikipedia
Wahrscheinlichkeitstheorie - Artikel in der deutschen Wikipedia
Erwartungswert - Artikel in der deutschen Wikipedia
Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung - Artikel in der deutschen Wikipedia
Maßtheorie - Artikel in der deutschen Wikipedia
Stochastik - Artikel in der deutschen Wikipedia
Wahrscheinlichkeitsverteilung - Artikel in der deutschen Wikipedia
Zufallsvariable - Artikel in der deutschen Wikipedia

Literatur (Auswahl)

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Krishna B. Athreya, Soumendra N. Lahiri: Measure Theory and Probability Theory. Springer Verlag, New York 2006, ISBN 978-0387-32903-1. MR2247694
Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie und Grundzüge der Maßtheorie. 4. Auflage. de Gruyter, Berlin 1991, ISBN 3-11-012191-3.
Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. 5., durchgesehene und verbesserte Auflage. de Gruyter, Berlin, New York 2002, ISBN 3-11-017236-4. MR1902050
Kai Lai Chung: A Course in Probability Theory. Academic Press, San Diego (u. a.) 2001, ISBN 0-12-174151-6. MR1796326
Bruno de Finetti: Wahrscheinlichkeitstheorie. Einführende Synthese mit kritischem Anhang. 4. Auflage. R. Oldenbourg Verlag, München (u. a.) 1981, ISBN 3-486-44701-7. MR0742141
Harald Cramér: Mathematical Methods of Statistics (= Princeton Mathematical Series). 11. Auflage. Princeton University Press, Princeton 1966.
Richard M. Dudley: Real Analysis and Probability (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics). Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-00754-2. MR1932358
Peter Gänssler, Winfried Stute: Wahrscheinlichkeitstheorie (= Hochschultext). Springer Verlag, Berlin Heidelberg, New York 1977, ISBN 3-540-08418-5. MR0501219
Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik (= Hochschulbücher für Mathematik). 8. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1976.
Boris Wladimirowitsch Gnedenko: Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitstheorie. Verlag Harri Deutsch, Thun, Frankfurt am Main 1997, ISBN 3-8171-1531-8.
Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 5. Auflage. de Gruyter, 2015, ISBN 978-3-11-035969-5.
Jørgen Hoffmann-Jørgensen: Probability with a View toward Statistics. Volume I (= Chapman & Hall Probability Series). Chapman and Hall, New York 1994, ISBN 0-412-05221-0. MR1278485
Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3., überarbeitete und ergänzte Auflage. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-6.
Oleg Klesov: Limit Theorems for Multi-Indexed Sums of Random Variables. Springer Verlag, Heidelberg, New York, Dordrecht, London 2014, ISBN 978-3-662-44387-3, doi:10.1007/978-3-662-44388-0. MR3244237
Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Reprint (= Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1973, ISBN 3-540-06110-X. MR0494348
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Alexander Jakowlewitsch Chintschin und A. N. Kolmogoroff: Über Konvergenz von Reihen, deren Glieder durch den Zufall bestimmt werden. In: Recueil mathématique de la Société mathématique de Moscou [Matematicheskii Sbornik]. 32, 1925, S. 668-677.
Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Für Studium, Berufspraxis und Lehramt (= Vieweg Studium: Aufbaukurs Mathematik). 8. erweiterte Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0063-5.
Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung (= Springer-Lehrbuch). 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi:10.1007/978-3-322-96418-2.
Radha Govinda Laha, Vijay K. Rohatgi: Probability Theory (= Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics). John Wiley & Sons, New York (u. a.) 1979, ISBN 0-471-03262-X. MR0534143
Michel Ledoux, Michel Talagrand: Probability in Banach Spaces. Isoperimetry and Processes (= Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3. Folge)). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1991, ISBN 3-540-52013-9. MR1102015
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Jacques Neveu: Mathematische Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie. Aus dem Französischen übersetzt von Karl Bosch. R. Oldenbourg Verlag, München, Wien 1969. MR0245056
Alfréd Rényi: Wahrscheinlichkeitsrechnung. Mit einem Anhang über Informationstheorie (= Hochschulbücher für Mathematik). 5. Auflage. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1977. MR0474442
Albert Nikolajewitsch Schirjajew: Wahrscheinlichkeit (= Hochschulbücher für Mathematik). Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1988, ISBN 3-326-00195-9. MR0967761
Vladimir Spokoiny, Thorsten Dickhaus: Basics of Modern Mathematical Statistics (= Springer Texts in Statistics). Springer-Verlag, Heidelberg, New York, Dordrecht, London 2015, ISBN 978-3-642-39908-4. MR3289985
James Victor Uspensky: Introduction to Mathematical Probability. MacGraw-Hill Book Company, Inc., New York, London 1937.
Nikolai Nikolajewitsch Vakhania, Važa I. Tarieladze, Sergei Čobanian: Probability Distributions on Banach Spaces (= Mathematics and its Applications (Soviet Series)). D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, Boston, Lancaster, Tokio 1987, ISBN 90-277-2496-2.
Walter Vogel: Wahrscheinlichkeitstheorie (= Studia Mathematica). Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1970. MR0286145

Einzelnachweise

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[1] ttps://kultusministerium.hessen.de/schulsystem/bildungsstandards-kerncurricula-und-lehrplaene/kerncurricula/primarstufe/mathematik

[2] ttps://kultusministerium.hessen.de/schulsystem/bildungsstandards-kerncurricula-und-lehrplaene/kerncurricula/sekundarstufe-i/mathematik

[3] ttps://kultusministerium.hessen.de/schulsystem/bildungsstandards-kerncurricula-und-lehrplaene/kerncurricula/gymnasiale-oberstufe-12

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