Lichtkegel

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Als Lichtkegel eines Ereignisses LaTeX: E bezeichnet man in der Relativitätstheorie die Menge aller Ereignisse LaTeX: E', die sich mit Lichtgeschwindigkeit LaTeX: c auf LaTeX: E auswirken oder von LaTeX: E mit Lichtgeschwindigkeit beeinflusst werden können.

Lichtkegel in einer Raumzeit mit zwei Raumdimensionen, Vorwärtskegel in positiver Zeitrichtung.
Der Beobachter eines Ereignisses LaTeX: E befindet sich im Schnittpunkt von Vergangenheits- und Zukunfts-Kegel (Gegenwart).

Der Lichtkegel ist ein Doppelkegel im vierdimensionalen Minkowski-Raum. Er besteht aus

  • dem Rückwärtslichtkegel, der genau die Ereignisse LaTeX: E' enthält, die vor LaTeX: E stattgefunden haben (Vergangenheit, LaTeX: t' < t) und LaTeX: E mit Lichtgeschwindigkeit bewirkt haben können (siehe Lokalität und Kausalität), und
  • dem Vorwärtslichtkegel, das sind die Ereignisse LaTeX: E', die später als LaTeX: E stattfinden (Zukunft, LaTeX: t' > t) und von LaTeX: E mit Lichtgeschwindigkeit verursacht worden sein können.

Definition

Seien

  • LaTeX: (t, x, y, z) die Orts- und Zeitkoordinaten von LaTeX: E,
  • LaTeX: (t', x', y', z') die Koordinaten von LaTeX: E',
  • LaTeX: (t'-t, x'-x, y'-y, z'-z) die Komponenten des Differenzvektors LaTeX: E' - E,
  • LaTeX: \mathrm ds^2 := c^2 \cdot \mathrm dt^2 - \mathrm dx^2 - \mathrm dy^2 - \mathrm dz^2 das Quadrat des differentiellen Abstands in der flachen Raumzeit, der für alle Beobachter identisch ist. Die hier verwendete Signatur ist LaTeX: (+,-,-,-). Für eine Signatur LaTeX: (-,+,+,+) gelten für LaTeX: \mathrm d s^2 analoge Definitionen mit umgekehrtem Vorzeichen.

Lichtartiger Differenzvektor

Wenn der Differenzvektor lichtartig ist:

LaTeX: \begin{matrix} && \mathrm ds^2 &= 0\\
\Leftrightarrow && c^2 \, (t'-t)^2 - (x'-x)^2 - (y'-y)^2 - (z'-z)^2 &= 0\\
\Leftrightarrow && \left( \frac{x'-x}{t'-t} \right)^2 + \left( \frac{y'-y}{t'-t} \right)^2 + \left( \frac{z'-z}{t'-t} \right)^2 &= c^2\\
\Leftrightarrow && v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 &= c^2,
\end{matrix}

dann liegt LaTeX: E' in der speziellen Relativitätstheorie auf dem Lichtkegel von LaTeX: E. Genau die Ereignisse auf dem Rückwärts- bzw. Vergangenheits-Lichtkegel sind aktuell für einen Beobachter sichtbar, der sich in LaTeX: E aufhält (ohne Berücksichtigung der Expansion des Universums).

Zeitartiger Differenzvektor

Ist der Differenzvektor zeitartig:

LaTeX: \begin{matrix} && \mathrm ds^2 &> 0\\
\Leftrightarrow && c^2 \, (t'-t)^2 - (x'-x)^2 - (y'-y)^2 - (z'-z)^2 &> 0\\
\Leftrightarrow && v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 &< c^2,
\end{matrix}

so liegt LaTeX: E' im Inneren des Rückwärts- oder Vorwärtslichtkegels von LaTeX: E, je nachdem, ob es vor oder nach LaTeX: E stattgefunden hat. Dann kann es sich bei LaTeX: E' um die Ursache oder um die Auswirkung von LaTeX: E handeln, die sich langsamer als Licht auswirkt. Ereignisse innerhalb des Rückwärts- bzw. Vergangenheits-Lichtkegels waren früher für einen Beobachter sichtbar, der sich an derselben Stelle im Raum aufhielt wie LaTeX: E (ohne Berücksichtigung der Expansion des Universums).

Raumartiger Differenzvektor

Ist der Differenzvektor raumartig:

LaTeX: \begin{matrix} && \mathrm ds^2 &< 0\\
\Leftrightarrow && c^2 \, (t'-t)^2 - (x'-x)^2 - (y'-y)^2 - (z'-z)^2 &< 0\\
\Leftrightarrow && v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 &> c^2,
\end{matrix}

so liegt LaTeX: E' außerhalb des Rückwärts- oder Vorwärtslichtkegels. Bei den Ereignissen kann es sich nicht um Ursache und Wirkung handeln, denn dann müsste sich eine Ursache mit Überlichtgeschwindigkeit auswirken. Ereignisse außerhalb des Rückwärts- bzw. Vergangenheits-Lichtkegels von LaTeX: E und vor LaTeX: E sind für einen Beobachter, der sich in LaTeX: E aufhält, (noch) nicht sichtbar (d. h. sie liegen hinter dem Ereignishorizont, ohne Berücksichtigung der Expansion des Universums).

Siehe auch

Literatur

Weblinks

 Wiktionary: Lichtkegel – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen


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