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Ring (Algebra): Unterschied zwischen den Versionen
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Ein '''Ring''' ist eine [[algebraische Struktur]], die aus einer [[Menge (Mathematik)|Menge]] und zwei [[Verknüpfung (Mathematik)|zweistelligen Verknüpfungen]] <math>+</math> und <math>\cdot</math> („Addition“ und „Multiplikation“) besteht, sodass gilt: | Ein '''Ring''' ist eine [[algebraische Struktur]], die aus einer [[Menge (Mathematik)|Menge]] und zwei [[Verknüpfung (Mathematik)|zweistelligen Verknüpfungen]] <math>+</math> und <math>\cdot</math> („Addition“ und „Multiplikation“) besteht, sodass gilt: | ||
# <math>(R, +)</math> ist eine [[abelsche Gruppe]], | |||
# <math>(R, \cdot)</math> ist eine [[Halbgruppe]], | |||
# die [[Distributivgesetze]] <math> a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c</math> und <math>(a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c</math> für alle <math>a, b, c \in R</math> sind erfüllt. | |||
Das neutrale Element <math>0</math> von <math>\left(R,+\right)</math> heißt ''Nullelement'' des Rings <math>R</math>. | Das neutrale Element <math>0</math> von <math>\left(R,+\right)</math> heißt ''Nullelement'' des Rings <math>R</math>. | ||
Verfügt die Halbgruppe <math>(R,\cdot)</math> über ein (beidseitiges) '''neutrales Element''' <math>1</math>, spricht man von einem '''Ring mit Eins''' bzw. von einem '''unitären Ring''' | Verfügt die Halbgruppe <math>(R,\cdot)</math> über ein (beidseitiges) '''neutrales Element''' <math>1</math> ('''Einselement'''), spricht man von einem '''Ring mit Eins''' bzw. von einem '''unitären Ring''' | ||
Ein Ring heißt '' | Ein Ring heißt ''[[kommutativ]]'', falls er bezüglich der Multiplikation kommutativ ist, d.h. <math>a \cdot b = b \cdot a</math>, andernfalls handelt es sich um einen '''nicht-kommutativen Ring'''. So ist etwa der Ring <math>\mathbb Z</math> der [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] ein kommutativer Ring. <math>\mathbb Q, \mathbb R, \mathbb C</math> sind ebenfalls Ringe, darüber hinaus aber auch [[Körper (Algebra)|Körper]]. | ||
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* [[Körper (Algebra)]] | |||
[[Kategorie:Algebra]] | |||
Aktuelle Version vom 20. August 2019, 16:50 Uhr
Ein Ring ist eine algebraische Struktur, die aus einer Menge und zwei zweistelligen Verknüpfungen und („Addition“ und „Multiplikation“) besteht, sodass gilt:
- ist eine abelsche Gruppe,
- ist eine Halbgruppe,
- die Distributivgesetze und für alle sind erfüllt.
Das neutrale Element von heißt Nullelement des Rings .
Verfügt die Halbgruppe über ein (beidseitiges) neutrales Element (Einselement), spricht man von einem Ring mit Eins bzw. von einem unitären Ring
Ein Ring heißt kommutativ, falls er bezüglich der Multiplikation kommutativ ist, d.h. , andernfalls handelt es sich um einen nicht-kommutativen Ring. So ist etwa der Ring der ganzen Zahlen ein kommutativer Ring. sind ebenfalls Ringe, darüber hinaus aber auch Körper.
Siehe auch
- Ring (Algebra) - Artikel in der deutschen Wikipedia
- Körper (Algebra)
