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Ring (Algebra): Unterschied zwischen den Versionen
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* <math>(R, \cdot)</math> ist eine [[Halbgruppe]], | * <math>(R, \cdot)</math> ist eine [[Halbgruppe]], | ||
* die [[Distributivgesetz]]e | * die [[Distributivgesetz]]e <math> a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c</math> und <math>(a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c</math> für alle <math>a, b, c \in R</math> sind erfüllt. | ||
Das neutrale Element <math>0</math> von <math>\left(R,+\right)</math> heißt ''Nullelement'' des Rings <math>R</math>. | Das neutrale Element <math>0</math> von <math>\left(R,+\right)</math> heißt ''Nullelement'' des Rings <math>R</math>. | ||
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Verfügt die Halbgruppe <math>(R,\cdot)</math> über ein (beidseitiges) '''neutrales Element''' <math>1</math>, spricht man von einem '''Ring mit Eins''' bzw. von einem '''unitären Ring''' | Verfügt die Halbgruppe <math>(R,\cdot)</math> über ein (beidseitiges) '''neutrales Element''' <math>1</math>, spricht man von einem '''Ring mit Eins''' bzw. von einem '''unitären Ring''' | ||
Ein Ring heißt ''kommutativ'', falls er bezüglich der Multiplikation kommutativ ist, d.h. <math>a \cdot b = b \cdot a</math>, andernfalls handelt es sich um einen ''nicht-kommutativen Ring''. | Ein Ring heißt '''kommutativ''', falls er bezüglich der Multiplikation kommutativ ist, d.h. <math>a \cdot b = b \cdot a</math>, andernfalls handelt es sich um einen '''nicht-kommutativen Ring'''. | ||
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Version vom 30. März 2018, 09:57 Uhr
Ein Ring ist eine algebraische Struktur, die aus einer Menge und zwei zweistelligen Verknüpfungen und („Addition“ und „Multiplikation“) besteht, sodass gilt:
- ist eine abelsche Gruppe,
- ist eine Halbgruppe,
- die Distributivgesetze und für alle sind erfüllt.
Das neutrale Element von heißt Nullelement des Rings .
Verfügt die Halbgruppe über ein (beidseitiges) neutrales Element , spricht man von einem Ring mit Eins bzw. von einem unitären Ring
Ein Ring heißt kommutativ, falls er bezüglich der Multiplikation kommutativ ist, d.h. , andernfalls handelt es sich um einen nicht-kommutativen Ring.
