Ring (Algebra)

Ein Ring ist eine algebraische Struktur, die aus einer Menge und zwei zweistelligen Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ („Addition“ und „Multiplikation“) besteht, sodass gilt:

• $(R,+)$ ist eine abelsche Gruppe,
• $(R,\cdot )$ ist eine Halbgruppe,
• die Distributivgesetze

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ und $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ für alle $a,b,c\in R$ sind erfüllt.

Das neutrale Element $0$ von $\left(R,+\right)$ heißt Nullelement des Rings $R$.

Verfügt die Halbgruppe $(R,\cdot )$ über ein (beidseitiges) neutrales Element $1$, spricht man von einem Ring mit Eins bzw. von einem unitären Ring

Ein Ring heißt kommutativ, falls er bezüglich der Multiplikation kommutativ ist, d.h. $a\cdot b=b\cdot a$, andernfalls handelt es sich um einen nicht-kommutativen Ring.