Goldener Schnitt

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Proportionen beim Goldenen Schnitt einer Strecke:LaTeX: \Phi=\frac{a}{b} = \frac{a + b}{a}

Als Goldener Schnitt (lateinisch: sectio aurea, proportio divina) wird das Teilungsverhältnis einer Strecke oder anderen Größe bezeichnet, bei dem das Verhältnis des Ganzen zu seinem größeren Teil (auch Major genannt) dem Verhältnis des größeren zum kleineren Teil (dem Minor) entspricht. Als Formel ausgedrückt (mit LaTeX: a als Major und LaTeX: b als Minor) gilt:

LaTeX: \frac{a + b}{a} = \frac{a}{b} oder LaTeX: \frac{a}{a + b} = \frac{b}{a}

Das mittels Division dieser Größen als Zahl berechnete Teilungsverhältnis des Goldenen Schnittes ist eine irrationale Zahl, das heißt eine Zahl, die sich nicht als Bruch ganzer Zahlen darstellen lässt. Diese Zahl wird ebenfalls als Goldener Schnitt oder auch als Goldene Zahl bezeichnet. Als mathematisches Symbol für diese Zahl wird meist der griechische Buchstabe Phi (LaTeX: \Phi, LaTeX: \phi oder LaTeX: \varphi), seltener auch Tau (LaTeX: \Tau, LaTeX: \tau) oder LaTeX: g verwendet:

LaTeX:  \Phi=\frac{a }{ b} = \frac{a + b}{ a}

Die Kenntnis des Goldenen Schnittes ist in der mathematischen Literatur seit der Zeit der griechischen Antike (Euklid von Alexandria) nachgewiesen. Vereinzelt schon im Spätmittelalter (Campanus von Novara) und besonders dann in der Renaissance (Luca Pacioli, Johannes Kepler) wurde er auch in philosophische und theologische Zusammenhänge gestellt. Seit dem 19. Jahrhundert wurde er zunächst in der ästhetischen Theorie (Adolf Zeising) und dann auch in künstlerischer, architektonischer und kunsthandwerklicher Praxis als ein ideales Prinzip ästhetischer Proportionierung bewertet. Die Nachweisbarkeit einer derart besonderen ästhetischen Wirkung ist in der Forschung allerdings umstritten, desgleichen die historische Frage, ob der Goldene Schnitt auch schon bei der Proportionierung von Kunst- und Bauwerken älterer Epochen eine Rolle gespielt hat.

Das Verhältnis des goldenen Schnitts ist nicht nur in Mathematik, Kunst oder Architektur von Bedeutung, sondern findet sich auch in der Natur, beispielsweise bei der Anordnung von Blättern und in Blütenständen mancher Pflanzen wieder.

Definition und elementare Eigenschaften

Beide Rechtecke sind Goldene Rechtecke (animierte Darstellung)

Eine Strecke LaTeX: \overline{AB} der Länge LaTeX: s wird durch einen inneren Punkt LaTeX: T so geteilt, dass das Verhältnis der Länge LaTeX: a des größeren Teilabschnitts LaTeX: \overline{AT} zur der Länge LaTeX: b des kleineren Teilabschnitts LaTeX: \overline{TB} dem Verhältnis der gesamten Streckenlänge LaTeX: s=a+b zur Länge LaTeX: a des größeren Teilabschnitts entspricht. Es gilt somit LaTeX: \overline{AB}:\overline{AT}=\overline{AT}:\overline{TB} beziehungsweise LaTeX: (a+b):a=a:b. Diese Teilung heißt Goldener Schnitt der Strecke LaTeX: \overline{AB}. Man spricht dann davon, dass der Punkt LaTeX: T die Strecke LaTeX: \overline{AB} im Goldenen Schnitt teilt oder auch von der stetigen Teilung der Stecke LaTeX: \overline{AB} durch den Punkt LaTeX: T. Das Verhältnis LaTeX: a : b der Streckenabschnitte LaTeX: \overline{AB} und LaTeX: \overline{TB} wird Goldene Zahl genannt.

Eine einfache Rechnung zeigt:

LaTeX: \Phi=\frac{a}{b} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}6180339887

Wird eine Strecke LaTeX: s im Goldenen Schnitt geteilt, so gilt für den längeren Abschnitt

LaTeX: a=\frac{s}{\Phi} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}s = (\Phi - 1 ) s \approx 0{,}618 s

und für den kürzeren

LaTeX: b=s-\frac{s}{\Phi} = \frac{ 3 - \sqrt{5}}{2}s \approx 0{,}382 s
LaTeX: b=\frac{s}{\Phi^2} = \frac{4}{6+2\sqrt{5}}s \approx 0{,}382 s.

Die Goldene Zahl ist eine irrationale Zahl, das heißt, sie lässt sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen. Sie ist jedoch eine algebraische Zahl vom Grad 2, insbesondere kann sie mit Zirkel und Lineal konstruiert werden.

Geometrische Aussagen

Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

Als Konstruktionsverfahren werden nach den Postulaten des Euklid nur diejenigen Verfahren akzeptiert, die sich auf die Verwendung von Zirkel und Lineal (ohne Skala) beschränken. Für die Teilung einer Strecke im Verhältnis des Goldenen Schnittes gibt es eine Fülle derartiger Verfahren, von denen im Folgenden exemplarisch nur einige erwähnt werden. Unterschieden wird dabei eine innere und äußere Teilung. Bei der äußeren Teilung wird der in der Verlängerung der Ausgangsstrecke außen liegende Punkt gesucht, der die vorhandene Strecke zum (größeren) Teil des Goldenen Schnittes macht. Der Goldene Schnitt stellt dabei einen Spezialfall der harmonischen Teilung dar. Aufgeführt werden im Folgenden auch zwei moderne, von Künstlern gefundene Konstruktionen.

Innere Teilung

Klassische innere Teilung
Klassisches Verfahren mit innerer Teilung, das wegen seiner Einfachheit beliebt ist:
  1. Errichte auf der Strecke AB im Punkt B eine Senkrechte der halben Länge von AB mit dem Endpunkt C.
  2. Der Kreis um C mit dem Radius CB schneidet die Verbindung AC im Punkt D.
  3. Der Kreis um A mit dem Radius AD teilt die Strecke AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.
Innere Teilung: Verfahren nach Euklid Innere Teilung nach Euklid:
Goldener Schnitt, innere Teilung nach Euklid

Johann Friedrich Lorenz beschrieb im Jahr 1781 in seinem Buch Euklids Elemente folgende Aufgabenstellung von Euklid: „Eine gegebne gerade Linie, AB, so zu schneiden, daß das Rectangel aus der Ganzen und Einem der Abschnitte, dem Quadrat des anderen Abschnitts gleich sey.“[1]

Das Ergebnis der nebenstehenden Animation zeigt, die Strecke LaTeX: \overline{AB} ist in einem Verhältnis geteilt, das man heute als den Goldenen Schnitt mit innerer Teilung bezeichnet.

Als Darstellung dieses Verfahrens hat sich eine vereinfachte Konstruktion, siehe linkes Bild, bewährt:

  1. Errichte auf der Strecke AB im Punkt A eine Senkrechte der halben Länge von AB mit dem Endpunkt C.
  2. Der Kreis um C mit dem Radius CB schneidet die Verlängerung von AC im Punkt D.
  3. Der Kreis um A mit dem Radius AD teilt die Strecke AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.
Konstruktion nach Hofstetter Konstruktion nach dem österreichischen Künstler Kurt Hofstetter, die dieser 2005 im Forum Geometricorum[2] publizierte:
  1. Halbiere die Strecke AB in M durch Streckensymmetrale mit Radius AB und konstruiere dabei ein gleichseitiges Dreieck ABC mit der Seitenlänge AB und C unterhalb von AB.
  2. Konstruiere ein gleichschenkeliges Dreieck MBD mit Schenkellänge AB über der Grundlinie MB
  3. Die Strecke CD teilt die Strecke AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.



Äußere Teilung

Äußere Teilung
01-Fünfeck-Seite-vorgegeben-wiki.svg

Klassisches Verfahren mit äußerer Teilung:

  1. Errichte auf der Strecke AS im Punkt S eine Senkrechte der Länge AS mit dem Endpunkt C.
  2. Konstruiere die Mitte M der Strecke AS.
  3. Der Kreis um M mit dem Radius MC schneidet die Verlängerung von AS im Punkt B. S teilt AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.

Nebenstehendes Beispiel:

Fünfeck bei gegebener Seitenlänge
LaTeX: \widehat{=} A, G LaTeX: \widehat{=} M, A LaTeX: \widehat{=} S, H LaTeX: \widehat{=} C und J LaTeX: \widehat{=} B.
(Beispiel: B des rechten Bildes LaTeX: \widehat{=} A des linken Bildes)
Konstruktion nach Odom Konstruktion nach dem amerikanischen Künstler George Odom, die dieser 1982 entdeckte:
  1. Konstruiere ein gleichseitiges Dreieck.
  2. Konstruiere den Umkreis, also den Kreis, der durch alle Ecken des Dreiecks verläuft.
  3. Halbiere zwei Seiten des Dreiecks in den Punkten A und S.
  4. Die Verlängerung von AS schneidet den Kreis im Punkt B. S teilt AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.
Begonnen wird mit der Strecke AS, so wird über der halben Strecke das in S rechtwinklige Dreieck mit dem Umkreismittelpunkt (Höhe: AS/2, 2. Kathete: AS) konstruiert.

Anstatt stets neu konstruieren zu müssen, wurde im 19. Jahrhundert von Künstlern und Handwerkern ein Goldener Zirkel – ein auf das Goldene Verhältnis eingestellter Reduktionszirkel – benutzt. Insbesondere im Schreinerhandwerk wurde ein ähnliches Instrument in Form eines Storchschnabels benutzt.[* 1]

Der Goldene Schnitt im Fünfeck und im Pentagramm

Hauptartikel: Pentagramm und Fünfeck

Regelmäßiges Fünfeck und Pentagramm bilden jeweils eine Grundfigur, in der das Verhältnis des Goldenen Schnittes wiederholt auftritt. Die Seite eines regelmäßigen Fünfecks z. B. befindet sich im Goldenen Schnitt zu seinen Diagonalen. Die Diagonalen untereinander wiederum teilen sich ebenfalls im goldenen Verhältnis, d. h. LaTeX: \overline{AD} verhält sich zu LaTeX: \overline{BD} wie LaTeX: \overline{BD} zu LaTeX: \overline{CD}. Der Beweis dazu nutzt die Ähnlichkeit geeignet gewählter Dreiecke.

Das Pentagramm, eines der ältesten magischen Symbole der Kulturgeschichte, steht in einer besonders engen Beziehung zum Goldenen Schnitt. Zu jeder Strecke und Teilstrecke im Pentagramm findet sich ein Partner, der mit ihr im Verhältnis des Goldenen Schnittes steht. In der Abbildung sind alle drei möglichen Streckenpaare jeweils blau (längere Strecke) und orange (kürzere Strecke) markiert. Sie lassen sich über das oben beschriebene Verfahren der stetigen Teilung nacheinander erzeugen. Im Prinzip ist es damit in das verkleinerte Pentagramm fortsetzbar, das in das innere Fünfeck gezeichnet werden könnte, und damit in alle weiteren. Stünden die beiden Strecken in einem Verhältnis ganzer Zahlen, müsste dieses Verfahren der fortgesetzten Subtraktion irgendwann Null ergeben und damit abbrechen. Die Betrachtung des Pentagramms zeigt aber anschaulich, dass das nicht der Fall ist. Eine Weiterentwicklung dieser Geometrie findet sich bei der Penrose-Parkettierung.

Für den Beweis, dass es sich um den Goldenen Schnitt handelt, beachte man, dass neben den vielen Strecken, die aus offensichtlichen Symmetriegründen gleich lang sind, auch LaTeX: \overline{\mathrm{CD}}=\overline{\mathrm{CC'}} gilt. Ursache ist, dass das Dreieck LaTeX: DCC^\prime zwei gleiche Winkel besitzt, wie durch Parallelverschiebung der Strecke LaTeX: CC^\prime erkannt werden kann, und daher gleichschenklig ist. Nach dem Strahlensatz gilt:

LaTeX: \frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\overline{\mathrm{BB'}}} = \frac{\overline{\mathrm{AC}}}{\overline{\mathrm{CC'}}}

Wird LaTeX: \overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{BC}} ersetzt und die Gleichheit der auftretenden Teilstücke beachtet, so wird genau die obige Definitionsgleichung für den Goldenen Schnitt erhalten.

Goldenes Rechteck und Goldenes Dreieck

Ein Rechteck, dessen Seitenverhältnis dem Goldenen Schnitt entspricht, wird als Goldenes Rechteck benannt und ebenso ein gleichschenkliges Dreieck, bei dem zwei Seiten in diesem Verhältnis stehen, als Goldenes Dreieck.

Goldener Winkel

Der Goldene Winkel (LaTeX: \approx 137{,}5^\circ) ist der Kreiswinkel des kleineren Kreisbogens LaTeX: b, wenn er mit dem größeren Kreisbogen LaTeX: a einen Kreis vom Umfang LaTeX: a + b bildet und das Verhältnis LaTeX: a : b dem Goldenen Schnitt entspricht.
Blattstand einer Pflanze mit einem Blattabstand nach dem Goldenen Winkel

Der Goldene Winkel wird erhalten, wenn der Vollwinkel im Goldenen Schnitt geteilt wird. Dies führt auf den überstumpfen Winkel LaTeX: \tfrac{2 \pi}{\Phi} \approx 3{,}88 \approx 222{,}5^\circ. Gewöhnlich wird aber seine Ergänzung zum Vollwinkel, LaTeX:  2\pi - \tfrac{2 \pi}{\Phi} \approx 2{,}40 \approx 137{,}5^\circ als Goldener Winkel bezeichnet. Dies ist dadurch gerechtfertigt, dass Drehungen um LaTeX: \pm 2\pi keine Rolle spielen und das Vorzeichen nur den Drehsinn des Winkels bezeichnet.

Durch wiederholte Drehung um den Goldenen Winkel entstehen immer wieder neue Positionen, etwa für die Blattansätze im Bild. Wie bei jeder irrationalen Zahl werden dabei nie exakte Überdeckungen entstehen. Weil die Goldene Zahl im unten beschriebenen Sinn die „irrationalste“ Zahl darstellt, wird dabei erreicht, dass die Überdeckung der Blätter, welche die Photosynthese behindert, in der Summe minimiert wird.

Dabei zerlegen die ersten LaTeX: n Positionen den Kreis in LaTeX: n Abschnitte. Diese LaTeX: n Abschnitte haben höchstens drei verschiedene Winkel. Im Fall einer Fibonacci-Zahl LaTeX: n=f_k treten nur zwei Winkel LaTeX: \tfrac{2\pi}{\Phi^{k-1}}, \tfrac{2\pi}{\Phi^{k}} auf. Für LaTeX: f_k<n<f_{k+1} tritt der Winkel LaTeX: \tfrac{2\pi}{\Phi^{k+1}} hinzu.[3]

Betrachtet man für wachsendes LaTeX: n fortfolgend die sich verfeinernden Zerlegungen des Kreises, so teilt die LaTeX: (n+1)-te Position stets einen der verbliebenen größten Abschnitte, und zwar immer den im Verlauf der Teilungen zuerst entstandenen, d. h. den „ältesten“ Abschnitt. Diese Teilung erfolgt im goldenen Verhältnis, sodass, im Uhrzeigersinn gesehen, ein Winkel LaTeX: \tfrac{2\pi}{\Phi^{l}} mit geradem LaTeX: l vor einem Winkel LaTeX: \tfrac{2\pi}{\Phi^{l\pm 1}} mit ungeradem LaTeX: l\pm 1 liegt.[4]

Wenn wir den Abschnitt mit dem Winkel LaTeX: \tfrac{2\pi}{\Phi^{k}} mit LaTeX: w_k bezeichnen, so erhalten wir so nacheinander die Kreiszerlegungen LaTeX: w_0, LaTeX: w_2w_1, LaTeX: w_2w_2w_3, LaTeX: w_4w_3w_2w_3, LaTeX: w_4w_3w_4w_3w_3, LaTeX: w_4w_3w_4w_3w_4w_5, LaTeX: w_4w_4w_5w_4w_3w_4w_5, LaTeX: w_4w_4w_5w_4w_4w_5w_4w_5, LaTeX: w_6w_5w_4w_5w_4w_4w_5w_4w_5, LaTeX: w_6w_5w_4w_5w_6w_5w_4w_5w_4w_5 usw.

Goldene Spirale

Goldene Spirale, genähert durch Viertelkreise. Das Verhältnis der Radien der Kreissektoren entspricht der Fibonacci-Folge.

Die Goldene Spirale ist ein Sonderfall der logarithmischen Spirale. Diese Spirale lässt sich mittels rekursiver Teilung eines Goldenen Rechtecks in je ein Quadrat und ein weiteres, kleineres Goldenes Rechteck konstruieren (siehe nebenstehendes Bild). Sie wird oft durch eine Folge von Viertelkreisen approximiert. Ihr Radius ändert sich bei jeder 90°-Drehung um den Faktor LaTeX: \Phi.[* 2]

Es gilt

LaTeX: \textstyle r(\theta) = a e^{k\theta} = a \Phi^\frac{2\theta}{\pi}

mit der Steigung LaTeX: \textstyle k = \pm \frac{\ln{\Phi}}{\alpha_\llcorner}, wobei LaTeX: \alpha_\llcorner hierbei der Zahlenwert für den rechten Winkel, also 90° bzw. LaTeX: \tfrac{\pi}{2} ist, also LaTeX: \textstyle k = \frac{2\ln(\Phi)}{\pi} mit der Goldenen Zahl LaTeX: \textstyle \Phi = \frac{\sqrt{5}+1}{2}.

Mithin gilt für die Steigung:

LaTeX: \textstyle |k| \approx 0{,}005346798 /{}^\circ \approx 0{,}30634896 / \mathrm{rad}

Die Goldene Spirale ist unter den logarithmischen Spiralen durch die folgende Eigenschaft ausgezeichnet. Seien LaTeX: P_1,P_2,P_3,P_4 vier auf der Spirale aufeinanderfolgende Schnittpunkte mit einer Geraden durch das Zentrum. Dann sind die beiden Punktepaare LaTeX: P_1,P_4 und LaTeX: P_2,P_3 harmonisch konjugiert, d. h., für ihr Doppelverhältnis gilt[5]

LaTeX: (P_\theta,P_{\theta+3\pi};P_{\theta+\pi},P_{\theta+2\pi}) = \frac{(-\Phi^6-\Phi^4)(-\Phi^2-1)}{(-\Phi^6+\Phi^2)(\Phi^4-1)} = \frac{-\Phi^2}{(-\Phi^2+1)^2} = -1.

Zu weitere Themen siehe auch

Siehe auch

Literatur

Historische Literatur

  • Luca Pacioli; Constantin Winterberg (Hrsg. und Übers.): De divina proportione. Venedig 1509. Carl Graeser, Wien 1889 (im Internet-Archiv: Online, bei alo: Online.)
  • Adolf Zeising: Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers. Rudolph Weigel, Leipzig 1854 (bei Google Books.)
  • Adolf Zeising: Das Normalverhältniss der chemischen und morphologischen Proportionen. Rudolph Weigel, Leipzig 1856 (bei Google Books.)
  • Gustav Theodor Fechner: Zur experimentalen Ästhetik. Hirzel, Leipzig 1871.

Neuere Literatur

  • Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Spektrum, Heidelberg/Berlin/Oxford 1996. ISBN 3-86025-404-9.
  • Priya Hemenway: Divine Proportion. Phi in Art, Nature and Science. Sterling, New York 2005, ISBN 1-4027-3522-7. ( Priya Hemenway: Der Geheime Code: Die rätselhafte Formel, die Kunst, Natur und Wissenschaft bestimmt. Taschen Verlag, Köln 2008, ISBN 978-3-8365-0708-0.)
  • Roger Herz-Fischler: A mathematical History of the Golden Ratio. Dover Publications, New York 1998, ISBN 0-486-40007-7.
  • Jürgen Fredel: Maßästhetik. Studien zu Proportionsfragen und zum Goldenen Schnitt. Lit, Hamburg 1998, ISBN 3-8258-3408-5.
  • Albert van der Schoot: Die Geschichte des goldenen Schnitts. Aufstieg und Fall der göttlichen Proportion. Frommann-Holzboog, Stuttgart 2005, ISBN 3-7728-2218-5.
    Susanne Deicher: Rezension von: Albert van der Schoot: Die Geschichte des goldenen Schnitts. In: sehepunkte 5 (2005), Nr. 12 [15. Dezember 2005], Weblink.
  • Hans Walser: Der Goldene Schnitt. Teubner, Stuttgart 1993. ISBN 3-8154-2511-5.
  • Georg Markowsky: Misconceptions about the Golden Mean. (PDF; 2,05 MB). The College Mathematics Journal, Band 23, Ausgabe 1, Januar 1992.
  • Clement Falbo: The Golden Ratio: A Contrary Viewpoint. (PDF; 625 kB). The College Mathematics Journal, Band 36, Ausgabe 2, März 2005.

Weblinks

Commons-logo.png Commons: Goldener Schnitt - Weitere Bilder oder Audiodateien zum Thema

Deutsch

Englisch

Einzelnachweise

  1.  Johann Friedrich Lorenz, Im Verlag der Buchhandlung des Waysenhauses (Hrsg.): Euklids Elemente, fünfzehn Bücher. Halle 1781, S. 31 ff. (Euklids Elemente, Zweytes Buch, Der 11. Satz. Eine gegebne gerade Linie, AB, so zu schneiden …, abgerufen am 19. Dezember 2016).
  2. Forum Geometricorum Volume 5 (2005) 135–136. (PDF; 26 kB).
  3. Stanisław Świerczkowski: On successive settings of an arc on the circumference of a circle. Fundamenta Mathematicae 46.2 (1958) 187-189.
  4. Tony van Ravenstein: Optimal Spacing of Points on a Circle. The Fibonacci Quaterly 27 (1989) 18-24. (Online-Kopie).
  5. Forum Geometricorum Volume 16 (2016) 429–430.

  • Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Spektrum, Heidelberg, Berlin, Oxford 1988. ISBN 3-411-03155-7.
  1. S. 26–29
  2. S. 157–161


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