Konvergenz

Aus AnthroWiki
(Weitergeleitet von Grenzwert)
Wechseln zu: Navigation, Suche

Konvergenz (von lat. convergere „sich annähern, zusammenlaufen“) bedeutet in der Mathematik, dass eine unendliche Folge oder eine Funktion (Mathematik) einem bestimmten Grenzwert oder Limes beliebig nahe kommt. Existiert ein solcher Grenzwert nicht, spricht man von Divergenz (von lat. divergere „auseinanderlaufen, auseinanderstreben“).

Grenzwert einer Folge

Grenzwert LaTeX: L der Funktion LaTeX: f(x) an der Stelle LaTeX: p.

Die Folge LaTeX: \frac{1}{n} konvergiert gegen den Grenzwert 0, d.h.:

LaTeX: \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0

Definition

Eine präzise Definition des Grenzwerts erlaubt die von Karl Weierstraß Ende des 19. Jahrhunderts eingeführte Epsilon-Umgebung:

Eine Zahl LaTeX: x \in \mathbb R heißt Grenzwert einer Folge LaTeX: \left(x_i\right)_{i\in\mathbb N} \in \mathbb R, wenn es zu jeder (beliebig kleinen) Zahl LaTeX: \epsilon > 0 eine natürliche Zahl LaTeX: n \in \mathbb N gibt, sodass für alle LaTeX: i \in \mathbb N gilt: LaTeX: |x_i - x| < \epsilon .

Grenzwert einer Funktion

Der Grenzwert einer Funktion lässt sich nach der Methode von Weierstraß ähnlich definieren (siehe Zeichnung):

Der Grenzwert LaTeX: L der Funktion LaTeX: f(x) an der Stelle LaTeX: p exisiert genau dann, wenn es zu jedem LaTeX: \epsilon > 0 ein LaTeX: \delta > 0 gibt, sodass für alle LaTeX: x mit LaTeX:  |x - p| < \delta auch LaTeX: | f(x) - L | < \epsilon gilt.

Absolut konvergente Reihe

Eine reellwertige oder komplexwertige Reihe LaTeX: \textstyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n heißt absolut konvergent, wenn die Reihe der Absolutbeträge konvergiert:

LaTeX: \sum_{n=0}^{\infty} |a_n| < \infty

Siehe auch

Literatur

  • Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel: Mathematik, 4. Auflage, Springer Spektrum 2018, ISBN 978-3662567401, eBook ISBN 978-3-662-56741-8