Keplersche Gesetze

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Grafische Veranschaulichung der drei Keplerschen Gesetze:
1. Zwei ellipsenförmige Umlaufbahnen, Brennpunkte ƒ1 und ƒ2 für Planet 1, ƒ1 und ƒ3 für Planet 2. Die Sonne (sun) in ƒ1.
2. Die beiden grauen Sektoren A1 und A2, die in derselben Zeit überstrichen werden, haben dieselbe Fläche.
3. Große Halbachsen a1 und a2. Die Gesamtumlaufzeiten der Planeten 1 und 2 verhalten sich wie a13/2 : a23/2.

Die drei Keplerschen Gesetze beschreiben mathematisch die Gesetzmäßigkeiten, nach denen sich die Planeten um die Sonne bewegen und bilden damit die Grundlage der Himmelsmechanik. Sie wurden in den Jahren von 1609 bis 1618 von Johannes Kepler (1571-1630) entdeckt und erforscht. Kepler selbst bezeichnete sie allerdings niemals als „Gesetze“, vielmehr waren sie ihm Ausdruck der Weltharmonie, nach der Gott die Welt erschaffen hatte.

Kepler fand die Gesetzmäßigkeiten rein empirisch aus den beobachteten Daten der Planetenbewegungen ohne, wie später Isaac Newton, theoretische Erwägungen über die physikalischen Ursachen der Bewegungen zugrundezulegen. Später formulierte Newton gerade auf Grundlage der Keplerschen Gesetze sein Gravitationsgesetz. Die Basis für Keplers Erwägungen bildeten die Rudolfinischen Tafeln, die auf Tycho Brahes Beobachtungen und seinen eigenen als dessen Assistent beruhten. Insbesondere aus den Daten der Marsbahn war ihm bald klar, dass die Bewegungen offenbar von der idealen Kreisbahn abwichen, von der auch noch Kopernikus ausgegangen war. Als nächste Möglichkeit boten sich elliptische Bahnen an. Die ersten beiden Gesetze konnte Kepler realtiv rasch formulieren und veröffentlichte sie 1609 in seiner Astronomia Nova („Neue Astronomie“). Die Suche nach dem dritten Gesetz erwies sich als weitaus schwieriger. Erst als er musikalische Harmonien im Sinne einer umfassenden Sphärenharmonie einbezog, eröffnete sich ihm der richtige Weg. Mitte 1618 konnte er auch das dritte Gesetz mathematisch formulieren und veröffentlichte es im folgenden Jahr in seiner Harmonice mundi („Weltharmonie“).

Die drei Keplerschen Gesetze lauten:

1. Keplersches Gesetz (Ellipsensatz)
Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, in deren einem gemeinsamen Brennpunkt die Sonne steht.
2. Keplersches Gesetz (Flächensatz)
Ein von der Sonne zum Planeten gezogener Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen.
3. Keplersches Gesetz
Die Quadrate der Umlaufzeiten LaTeX: T zweier Planeten verhalten sich zueinander wie die Kuben der großen Halbachsen LaTeX: a der Bahnellipsen.

Aus dem 3. Keplerschen Gesetz leitet sich die Kepler-Konstante LaTeX: C = \frac{T^2}{a^3} , die für ein gegebenes Zentralobjekt näherungsweise konstant ist. Für unsere Sonne ergibt sich der Wert:

LaTeX: C_\mathrm{s} = 2{,}97 \cdot 10^{-19} \,\frac{\mathrm{s}^2}{\mathrm{m}^3}.

Der Wert der Kepler-Konstante kann auch aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz abgeleitet werden:

LaTeX: C = \frac{4 \, \pi^2}{G \, (M+m)}

wobei

  • LaTeX: G die Gravitationskonstante,
  • LaTeX: M die Masse des Zentralkörpers und
  • LaTeX: m die Masse des umlaufenden Körpers (Planeten) ist, die aber in erster Näherung vernachlässigt werden kann, da sie wesentlich geringer als die Masse des Zentralgestirns ist.

Die beiden ersten Keplerschen Gesetze sind exakte Lösungen des Zweikörperproblems der klassischen Mechanik unter Vernachlässigung relativistischer Effekte und beschreiben damit die klassische elliptische Keplerbahn. Das dritte Gesetz ist eine gute Näherungslösung des nur numerisch lösbaren Mehrkörperproblems unter der Bedingung, dass eine Masse, nämlich die der Sonne, wesentlich größer ist als alle anderen.

Nach Rudolf Steiner waren die Keplerschen Gesetze die Frucht einer früheren Inkarnation Keplers in der ägyptischen Zeit, in der er als Astrologe tätig gewesen war.

„Kepler hatte in seiner ägyptischen Inkarnation den Blick hinaufgelenkt zum Sternenhimmel; und was diese Individualität dort sah, das prägte sie aus in den großen spirituellen Wahrheiten der ägyptischen Astrologie. Bei ihrer Wiederverkörperung in dem Zeitalter, dem der Beruf des Materialismus zufiel, prägte dieselbe Individualität diese Tatsachen - unserem Zeitalter entsprechend - in den drei materialistisch gefärbten Keplerschen Gesetzen aus.“ (Lit.:GA 120, S. 167)

„Gehen wir aber objektiv, ohne Zeitvorurteile, auf Kepler selber ein, studieren wir ihn in seinen seelischen Eigentümlichkeiten, so finden wir das Merkwürdige, daß alles, was Keplers Blick in die Himmelsräume hinausgerichtet hat, was ihm die eigentlichen inneren Impulse gegeben hat, um seine großen, gewaltigen Gesetze aufzufinden, das Bewußtsein war, mit seiner Seele eingebettet zu sein in geistige Urgründe des Daseins, in die Wirksamkeit geistiger Wesenheiten, welche die Räume erfüllen und durch die Zeit hindurch wirken. Er war sich klar, daß das, was er den Planetenbewegungen als «Gesetze» zuschrieb, ihm nur dadurch eingegeben werden konnte, daß die Gesetze die Gedanken göttlich-geistiger Wesenheiten seien. Wenn wir nachforschen, worauf bei Kepler solche Impulse beruhten, so müssen wir sagen, sie beruhten eben darauf, daß der ganze Gang der Menschheitsentwickelung immer die menschliche Seele in Zusammenhang gehalten hat mit dem Geistig-Seelischen, und daß dasjenige, was man wie ein selbstverständliches Geistig-Seelisches hinnahm, zu Keplers Zeiten eben noch da war, da war in der Tradition, in dem allgemeinen Glauben, da war, um die Seele zu befeuern, zu beflügeln und in ihr Gedanken wach werden zu lassen.“ (Lit.:GA 62, S. 86f)

„Das kopernikanische Weltsystem ist so entstanden als eine Erinnerungsanschauung an die geistigen Erlebnisse im alten Ägypten. Ebenso steht es mit dem Weltsystem Keplers, Diese Menschen haben aus ihrer Erinnerung diese großen Gesetze wiedergeboren aus dem, was sie in der ägyptischen Zeit erlebt hatten. Und nun denken wir daran, wie so etwas in der Seele als eine leise Erinnerung auflebt, denken wir daran, daß dasjenige, was eigentlich ein solcher Geist denkt, im alten Ägypten in spiritueller Form von ihm erlebt worden ist. Was kann uns ein solcher Geist dann sagen? Daß es ihm ist, wie wenn er zurückblickte ins alte Ägypterland. Es ist so, wie wenn er das in neuer Gestalt nun wiederbringt, wenn ein solcher Geist sagt: «Nunmehr aber, nachdem mir seit anderthalb Jahren das erste Morgenrot, seit wenigen Monaten der volle Tag, seit wenigen Tagen endlich die reine Sonne der wundervollsten Betrachtungen aufgegangen, hält mich nichts mehr zurück; ich will schwärmen in heiliger Glut; ich will die Menschenkinder höhnen mit dem einfachen Geständnis, daß ich die goldenen Gefäße der Ägypter entwende, um meinem Gott ein Gezelt daraus zu bauen, weit entfernt von Ägyptens Grenzen.» Ist es nicht wie eine wirkliche Erinnerung, die der Wahrheit entspricht? Und diesen Ausspruch hat Kepler getan. Bei ihm finden wir auch den Ausspruch: «Es pocht die alte Erinnerung an mein Herz.» So wunderbar hängen die Dinge in der Menschheitsevolution zusammen.“ (Lit.:GA 106, S. 170f)

Literatur

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