Mandelbrot-Menge

Mandelbrot-Menge (schwarz) mit farbig dargestellter Umgebung. Jedem Pixel ist eine komplexe Zahl $c$ zugeordnet. Farbig kodiert ist die Anzahl der Iterationen $z_{n+1}=z_{n}^{2}+c$, die notwendig ist, einen Betrag von $10^{3}$ zu überschreiten. Sie wächst von Farbstreifen zu Farbstreifen um 1.

Die Mandelbrot-Menge, benannt nach Benoît Mandelbrot, ist die Menge der komplexen Zahlen $c$, für welche die durch die Iteration

$z_{n+1}=z_{n}^{2}+c$

definierte Folge $(z_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ beschränkt ist.

Geometrisch als Teil der Gaußschen Zahlenebene interpretiert, ist die Mandelbrotmenge ein Fraktal, das im allgemeinen Sprachgebrauch oft Apfelmännchen genannt wird. Bilder davon können erzeugt werden, indem ein Pixelraster auf die Zahlenebene gelegt und so jedem Pixel ein Wert von $c$ zugeordnet wird. Wenn die Folge mit dem entsprechenden $c$ beschränkt ist, es also zur Mandelbrotmenge gehört, wird das Pixel z. B. schwarz gefärbt, und ansonsten weiß. Wird stattdessen die Farbe danach bestimmt, wie viele Folgenelemente berechnet werden müssen, bis feststeht, dass die Folge nicht beschränkt ist, entsteht ein sog. Geschwindigkeitsbild der Mandelbrotmenge: Die Farbe jedes Pixels gibt an, wie schnell die Folge mit dem betreffenden $c$ gegen Unendlich strebt.

Die ersten computergrafischen Darstellungen wurden 1978 von Robert Brooks und Peter Matelski vorgestellt. 1980 veröffentlichte Benoît Mandelbrot eine Arbeit über das Thema. Später wurde sie von Adrien Douady und John Hamal Hubbard in einer Reihe grundlegender mathematischer Arbeiten systematisch untersucht. Die mathematischen Grundlagen dafür wurden bereits 1905 von dem französischen Mathematiker Pierre Fatou erarbeitet.

Mandelbrot-Menge, andere Darstellung

Definition

Die Mandelbrot-Menge (schwarz) in der komplexen Ebene

Definition über Rekursion

Die Mandelbrot-Menge $\mathbb {M}$ ist die Menge aller komplexen Zahlen $c$, für welche die rekursiv definierte Folge komplexer Zahlen $z_{0},z_{1},z_{2},\dotsc$ mit dem Bildungsgesetz

$z_{n+1}=z_{n}^{2}+c$

und dem Anfangsglied

$z_{0}=0$

beschränkt bleibt. Das heißt, eine komplexe Zahl $c$ ist Element der Mandelbrotmenge $\mathbb {M}$, wenn die Beträge der mit diesem $c$ berechneten $z_{n}$ nicht über jede Grenze wachsen, unabhängig davon, wie groß $n$ wird. Dies lässt sich wie folgt schreiben:

$z_{0}=0,z_{n+1}=z_{n}^{2}+c;\;\;c\in \mathbb {M} \iff \exists g\in \mathbb {R} :\limsup _{n\to \infty }|z_{n}|\leq g$.

Man kann leicht zeigen, dass der Betrag der $z_{n}$ über jede Grenze wächst, wenn ein $z_{n}$ mit $|z_{n}|>2$ auftritt, somit ist diese Definition gleichbedeutend mit:

$z_{0}=0,z_{n+1}=z_{n}^{2}+c;\;\;c\in \mathbb {M} \iff \limsup _{n\to \infty }|z_{n}|\leq 2$.

Definition über komplexe quadratische Polynome

Die Mandelbrotmenge lässt sich auch über komplexe quadratische Polynome beschreiben:

$P_{c}:\mathbb {C} \to \mathbb {C} ,\,z\mapsto z^{2}+c$

mit einem komplexen Parameter $c$. Für jedes $c$ wird die Folge

$(P_{c}^{0}(0),\;P_{c}^{1}(0),\,P_{c}^{2}(0),\,\dotsb )=(\,P_{c}^{n}(0)\,)_{n\in \mathbb {N} }$

iterativ berechnet, wobei $P_{c}^{n}$ die $n$-fache Hintereinanderausführung der Iteration bedeutet, also

$P_{c}^{0}(z)=z$

$P_{c}^{n+1}(z)=P_{c}(P_{c}^{n}(z)),\;n\in \mathbb {N}$.

In Abhängigkeit vom Wert des Parameters $c$ wird diese Folge dann entweder unendlich, so dass also $c$ kein Element der Mandelbrotmenge ist, oder sie verbleibt innerhalb eines Bereichs um den Ursprung der Zahlenebene, und $c$ ist Element der Mandelbrotmenge.

Die Mandelbrotmenge ist eine Untermenge der komplexen Zahlen mit der Definition

$\mathbb {M} =\lbrace c\in \mathbb {C} \;|\;\exists s\in \mathbb {R} :\forall n\in \mathbb {N} :|P_{c}^{n}(0)|\leq s\rbrace$

oder gleichbedeutend

$\mathbb {M} =\lbrace c\in \mathbb {C} \;|\;\forall n\in \mathbb {N} :|P_{c}^{n}(0)|\leq 2\rbrace$

Zur Erläuterung werden einige Eigenschaften und Beispiele angeführt:

• Aufgrund der zuvor beschriebenen Feststellung kann $s=2$ gesetzt werden. Dabei gibt der Wert $s=2$ den Radius um den Ursprung an, innerhalb dessen ein Element von $\mathbb {M}$ liegen kann. Außerhalb dieses Kreises sind keine Elemente von $\mathbb {M}$ zu finden.
• Wegen der Betragsfunktion ist $\mathbb {M}$ symmetrisch zur reellen Achse.
• Um die Menge $\mathbb {M}$ grafisch darzustellen, müssen die Werte des Parameter $c$ alle einzeln bis zu einer selbstbestimmten Anzahl von Iterationen berechnet werden.
• Ist $c=-2$ so lautet die Folge $0,-2,2,2,2,2,\dotsc$ und ist beschränkt. Daher ist $c=-2$ Element von $\mathbb {M}$.
• Für $c=2$ zeigt die iterative Folge $0,2,6,38,\dotsc$ Divergenz und $c=2$ ist kein Element von $\mathbb {M}$.

Definition über Julia-Mengen

Die Mandelbrot-Menge $\mathbb {M}$ wurde von Benoît Mandelbrot ursprünglich zur Klassifizierung von Julia-Mengen eingeführt, die bereits Anfang des 20. Jahrhunderts von den französischen Mathematikern Gaston Maurice Julia und Pierre Fatou untersucht wurden. Die Julia-Menge $J_{c}$ zu einer bestimmten komplexen Zahl $c$ ist definiert als der Rand der Menge aller Anfangswerte $z_{0}$, für die die obige Zahlenfolge beschränkt bleibt. Es kann bewiesen werden, dass die Mandelbrot-Menge $\mathbb {M}$ genau die Menge der Werte $c$ ist, für die die zugehörige Julia-Menge $J_{c}$ zusammenhängend ist.

Dieses Prinzip wird in vielen Resultaten über das Verhalten der Mandelbrotmenge $\mathbb {M}$ vertieft. So zeigt Shishikura, dass der Rand der Mandelbrotmenge $\mathbb {M}$ ebenso wie die zugehörige Julia-Menge $J_{c}$ die Hausdorff-Dimension 2 hat. Ein unveröffentlichtes Manuskript von Jean-Christophe Yoccoz diente John Hamal Hubbard als Grundlage für seine Ergebnisse über lokal zusammenhängende Julia-Mengen $J_{c}$ und lokal zusammenhängende Mandelbrot-Mengen $\mathbb {M}$.

Geometrische und mathematische Eigenschaften

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Animation: Zoom in eine Mandelbrot-Menge

Die Mandelbrotmenge ist abgeschlossen (da ihr Komplement offen ist) und in der abgeschlossenen Scheibe mit dem Radius 2 um den Ursprung enthalten und somit kompakt.

Gilt $P_{c}(z)=z^{2}+c$ und bezeichnet $P_{c}^{n}(z)$ die $n$-te Iteration, dann gehört ein Punkt $c$ genau dann zur Mandelbrotmenge, falls

$|P_{c}^{n}(0)|\leq 2$ für alle $n\geq 0.$

Wird der Betrag von $P_{c}(0)$ größer als 2, entkommt der Punkt bei Iteration ins Unendliche und gehört damit nicht zur Mandelbrotmenge.

Der ungeheure Formenreichtum der Mandelbrot-Menge erschließt sich aus ihrem Bezug zu Julia-Mengen. Julia-Mengen zur Iteration $z\to z^{2}+c$ sind Fraktale, außer für einige $c$-Werte wie $c=-2$ (Strecke) oder $c=0$ (Kreis). Die Formen dieser fraktalen Strukturen sind innerhalb einer Julia-Menge stets die gleichen, umspannen aber für Julia-Mengen zu verschiedenem Parameter $c$ einen enormen Formenreichtum. Es zeigt sich, dass die Strukturen der Mandelbrot-Menge in der Umgebung eines bestimmten Wertes $c$ genau die Strukturen der zugehörigen Julia-Menge $J_{c}$ wiedergeben. Damit enthält die Mandelbrot-Menge den kompletten Formenreichtum der unendlich vielen Julia-Mengen (s. u.).

In den fraktalen Strukturen am Rand finden sich verkleinerte ungefähre Kopien der gesamten Mandelbrot-Menge, die Satelliten. Jeder Bildausschnitt der Mandelbrot-Menge, der sowohl Punkte aus $\mathbb {M}$ als auch solche außerhalb von $\mathbb {M}$ umfasst, enthält unendlich viele dieser Satelliten. Unmittelbar am Rand eines Satelliten treten fast die gleichen Strukturen auf wie an den entsprechenden Stellen des Originals. Diese Strukturen sind jedoch nach weiter außen hin mit den Strukturen kombiniert, die für die größere Umgebung des Satelliten typisch sind.

Da jeder Satellit wiederum mit Satelliten höherer Ordnung bestückt ist, lässt sich immer eine Stelle finden, an der eine beliebige Anzahl beliebiger verschiedener Strukturen in beliebiger Reihenfolge kombiniert auftritt. Diese Strukturen sind allerdings nur bei extremer Vergrößerung erkennbar.

Die Mandelbrot-Menge ist spiegelsymmetrisch zur reellen Achse. Sie ist zusammenhängend (das heißt, sie bildet keine Inseln), wie Adrien Douady und John Hamal Hubbard 1984 bewiesen, und es wird vermutet (Douady/Hubbard), dass sie lokal zusammenhängend ist (MLC-Vermutung). Dies ist eine der großen offenen Fragen in der komplexen Dynamik und bisher unbewiesen (obwohl es Teilresultate zum Beispiel von Jean-Christophe Yoccoz gibt, der lokalen Zusammenhang für bestimmte Werte von $c$ bewies, für die endlich-renormalisierbaren Punkte). Die MLC erlaubt weitreichende Folgerungen über die Topologie der Mandelbrotmenge. Beispielsweise würde daraus die Hyperbolizitätsvermutung folgen, dass jede offene Menge in der Mandelbrotmenge (also das Innere der Mandelbrotmenge) aus Punkten mit attraktiven Zyklen besteht. Die Mandelbrot-Menge ist zwar selbstähnlich, aber nicht exakt, denn keine zwei Teilstrukturen ihres Randes sind exakt gleich; aber in der Nähe vieler Randpunkte bilden sich bei fortgesetzter Ausschnittvergrößerung im Grenzfall periodische Strukturen. An speziellen Punkten hat die Mandelbrotmenge Selbstähnlichkeit (vermutet von John Milnor und bewiesen von Mikhail Lyubich 1999).

Da die Mandelbrot-Menge Kardioid- und Kreisflächen enthält, hat sie die fraktale Dimension 2. Der Rand der Mandelbrot-Menge hat eine unendliche Länge, und seine Hausdorff-Dimension beträgt nach Arbeiten von Mitsuhiro Shishikura ebenfalls 2; das impliziert, dass die Box-Dimension den Wert 2 hat. Es ist denkbar, dass der Rand der Mandelbrot-Menge einen positiven (notwendig endlichen) Flächeninhalt hat; andernfalls wäre dieser Flächeninhalt null. Der Flächeninhalt der Mandelbrot-Menge ist nicht bekannt und beträgt nach numerischen Schätzungen etwa 1,5065918849.

Die Mandelbrotmenge enthält deformierte Kopien aller Julia-Mengen, wie Tan Lei 1990 für die Misiurewicz-Punkte der Mandelbrotmenge bewiesen hat, die dicht im Rand der Mandelbrotmenge liegen. Das ist ein weiterer Beleg für die enge Verwandtschaft der Struktur von Julia- und Mandelbrotmengen. So wurden in den Beweisen von Yoccoz für lokalen Zusammenhang der Mandelbrotmenge bei endlich renormalisierbaren Punkten und von Shishikura über die fraktale Dimension des Randes der Mandelbrotmenge zuerst die entsprechenden Eigenschaften bei den zum Parameterwert gehörigen Julia-Mengen untersucht und dann auf die Mandelbrotmenge übertragen.

Die Frage, ob die Mandelbrot-Menge entscheidbar ist, ergibt zunächst keinen Sinn, da $\mathbb {M}$ überabzählbar ist. Einen Ansatz, den Begriff der Entscheidbarkeit auf überabzählbare Mengen zu verallgemeinern, stellt das Blum-Shub-Smale-Modell dar. Innerhalb dessen ist die Mandelbrot-Menge nicht entscheidbar.

Bildergalerie einer Zoomfahrt

Die folgende exemplarische Bildersequenz einer Zoomfahrt an eine bestimmte Stelle $c$ gibt einen Eindruck vom geometrischen Formenreichtum und erläutert gewisse typische Strukturelemente. Die Vergrößerung im letzten Bild beträgt etwa 1 zu 60 Milliarden. Bezogen auf einen üblichen Computerbildschirm verhält sich dieser Ausschnitt wie zu der Gesamtgröße der Mandelbrotmenge von 2,5 Millionen Kilometern, dessen Rand in dieser Auflösung eine unvorstellbare Fülle verschiedenster fraktaler Strukturen aufweist.

Bild Beschreibung Startbild Startbild: Die Mandelbrot-Menge mit stufenlos eingefärbtem Außenraum. Ausschnitt 1 Ausschnitt 1: Spalte zwischen „Kopf“ und „Körper“, „Tal der Seepferdchen“ genannt. Ausschnitt 2 Ausschnitt 2: Links Doppelspiralen, rechts „Seepferdchen“. Ausschnitt 3 Ausschnitt 3: „Seepferdchen“. Der „Körper“ wird von 25 „Speichen“ gebildet, von denen sich zwei Zwölfergruppen nach Art einer Metamorphose auf jeweils einen der beiden „Finger“ an der „oberen Hand“ der Mandelbrotmenge zurückführen lassen. Die Zahl der „Speichen“ nimmt daher von einem „Seepferdchen“ zum nächsten um zwei zu. Die „Nabe“ wird von einem Misiurewicz-Punkt gebildet (s. u.). Zwischen „Oberkörper“ und „Schwanz“ ist ein deformierter Satellit erkennbar. Ausschnitt 4 Ausschnitt 4: Der „Seepferdchenschwanz“ endet ebenfalls in einem Misiurewicz-Punkt. Ausschnitt 5 Ausschnitt 5: Teil des „Schwanzes“. Der einzige Pfad, der sich durch den gesamten „Schwanz“ windet, und damit gewährleistet, dass $\mathbb {M}$ einfach zusammenhängend ist, führt im Zickzack von einer „Schwanzseite“ zur anderen und passiert dabei die „Naben“ der großen 25-spiraligen Gebilde. Ausschnitt 6 Ausschnitt 6: Satellit. Die beiden „Seepferdchenschwänze“ bilden den Auftakt für eine Folge von konzentrischen Kränzen mit dem Satelliten im Zentrum. Ausschnitt 7 Ausschnitt 7: Jeder dieser Kränze besteht aus gleichartigen Strukturelementen, deren Anzahl pro Kranz mit Potenzen von 2 wächst, ein typisches Phänomen in der Umgebung von Satelliten. Der oben erwähnte Pfad durch den „Seepferdchenschwanz“ passiert den Satelliten über die Kerbe der Kardioide und die Spitze der „Antenne“ auf dem „Kopf“.

Bild Beschreibung Ausschnitt 8 Ausschnitt 8: „Antenne“ des Satelliten. Auf ihr sind mehrere Satelliten 2. Ordnung erkennbar. Ausschnitt 9 Ausschnitt 9: „Tal der Seepferdchen“ des Satelliten. Es zeigen sich die gleichen Strukturelemente wie in Ausschnitt 1. Ausschnitt 10 Ausschnitt 10: Doppelspiralen und „Seepferdchen“, die jedoch im Unterschied zu Ausschnitt 2 nach außen hin mit seepferdchenschwanzartigen Fortsätzen bestückt sind. Dieses Phänomen demonstriert die für Satelliten n-ter Ordnung typischen Verkettungen von $n+1$ Strukturelementen für den Fall $n=1$. Ausschnitt 11 Ausschnitt 11: Doppelspiralen mit Satelliten 2. Ordnung. Sie lassen sich als Metamorphose der „Antenne“ interpretieren. Ausschnitt 12 Ausschnitt 12: Im Bereich der äußeren Fortsätze sind stets inselartige Strukturen eingestreut, die Julia-Mengen Jc ähneln. Die im Bild größte ist im Zentrum des „Doppelhakens“ rechts gerade eben erkennbar. Ausschnitt 13 Ausschnitt 13: Teil des „Doppelhakens“. Ausschnitt 14 Ausschnitt 14: Diese Inseln scheinen auf den ersten Blick nach Art von Cantor-Mengen wiederum aus unendlich vielen unzusammenhängenden Teilstücken zu bestehen, wie es für die zugehörigen Jc tatsächlich der Fall ist, sie sind jedoch hier über filigrane Strukturen miteinander verbunden. Diese Strukturen gehen von einem Satelliten im Zentrum aus, der bei dieser Vergrößerung noch nicht sichtbar ist, und zwar derart, dass das Ganze ein einfach zusammenhängendes Gebilde ergibt. Der zum entsprechenden Jc gehörige $c$-Wert ist nicht der des Bildzentrums, sondern hat relativ zur Hauptkardioide die gleiche Position wie das Bildzentrum zum Satelliten, der in Ausschnitt 7 dargestellt ist. Ausschnitt 15 Ausschnitt 15: Details einer Insel. Ausschnitt 16 Ausschnitt 16: Details einer Spirale.

Zum Verhalten der Zahlenfolge siehe auch

• Mandelbrot-Menge#Verhalten der Zahlenfolge - Artikel in der deutschen Wikipedia

Zu vielen weiteren Themen siehe auch

• Mandelbrot-Menge - Artikel in der deutschen Wikipedia

Literatur

• Benoît Mandelbrot: Die fraktale Geometrie der Natur. ISBN 3-7643-2646-8.
• John Briggs, F. David Peat: Die Entdeckung des Chaos. ISBN 3-446-15966-5.
• Heinz-Otto Peitgen, Peter H. Richter: The Beauty of Fractals. ISBN 0-387-15851-0.
• Heinz-Otto Peitgen, Dietmar Saupe: The Science of Fractal Images. ISBN 0-387-96608-0.
• Karl Günter Kröber: Das Märchen vom Apfelmännchen – 1. Wege in die Unendlichkeit. ISBN 3-499-60881-2.
• Karl Günter Kröber: Das Märchen vom Apfelmännchen – 2. Reise durch das malumitische Universum. ISBN 3-499-60882-0.
• Dierk Schleicher: On Fibers and Local Connectivity of Mandelbrot and Multibrot Sets, in: M.Lapidus, M. van Frankenhuysen (eds): Fractal Geometry and Applications: A Jubilee of Benoît Mandelbrot. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 72, American Mathematical Society (2004), 477-507, 1999, pdf

Weblinks

Commons: Mandelbrot-Menge – Weitere Bilder oder Audiodateien zum Thema

 Wiktionary: Mandelbrotmenge – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• The Encyclopedia of the Mandelbrot Set (englisch)
• Animationen zur Zoomfahrt im hiesigen Artikel – bis zu 1024×768 Pixeln
• Video Mandelbulb
• Robert Devaney: Unveiling the Mandelbrot Set. Bei: Plus.Maths.org.