Planck-Skala

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Die Planck-Skala, benannt nach Max Planck, markiert eine Grenze für die Anwendbarkeit der bekannten Gesetze der Physik. Auf Distanzen der Größenordnung der Planck-Länge (ca. 10−35 m) müsste die Physik mit Hilfe einer Quantentheorie der Gravitation beschrieben werden, die bisher nur in Ansätzen existiert. Bei Teilchenenergien entsprechend der Planck-Masse wird die De-Broglie-Wellenlänge LaTeX: \lambda = \frac{h}{p} vergleichbar mit dem Schwarzschild-Radius.

In der Planck-Zeit, ~10−43 s, durchläuft das Licht die Planck-Länge. Um Zeiten auf der Skala der Planck-Zeit aufzulösen, sind Energien in der Größenordnung der Planck-Energie nötig (siehe Energie-Zeit-Unschärferelation) – mit den oben genannten Konsequenzen.

Größenordnungen

Die Planck-Länge LaTeX: l_\mathrm{P} ist um einen Faktor von etwa 1020 kleiner als der Durchmesser des Protons und damit weit jenseits einer direkten experimentellen Zugänglichkeit. Wollte man derartig kleine Strukturen mit einem Teilchenbeschleuniger untersuchen, so müsste die De-Broglie-Wellenlänge LaTeX: \frac{h}{p} der verwendeten Teilchen vergleichbar mit LaTeX: l_\mathrm{P} sein, bzw. ihre Energie vergleichbar mit LaTeX: E_\mathrm{P}. Die über LaTeX: E = mc^2 zugeordnete Masse wäre über 1016 mal so groß wie die Masse des schwersten bekannten Elementarteilchens, des Top-Quarks, nämlich rund LaTeX: 10^{18} Giga-Elektronenvolt (GeV). Ein entsprechender Beschleuniger hätte mindestens den Durchmesser unseres Sonnensystems. Der einzige denkbare Prozess, bei dem vergleichbare Energien aufgetreten sein könnten, ist das Universum ungefähr eine Planck-Zeiteinheit nach dem hypothetischen Urknall. Die Planck-Masse ist sogar fast schon auf der „menschlichen“ Größenskala – ein Floh wiegt 4000 bis 5000 Planck-Massen.

Ableitung der Planck-Masse

Wie oben bereits angedeutet, führt die gleichzeitige Anwendung der Gesetze der Quantenmechanik und der allgemeinen Relativitätstheorie bei hinreichend kleinen räumlichen und zeitlichen Abständen zu Problemen, wie die folgende Überlegung zeigt: Befindet sich ein Objekt oder Teilchen in einem Raumgebiet mit dem Durchmesser LaTeX: \Delta x, so ist aufgrund der Unschärferelation sein Impuls nur bis auf LaTeX: \Delta p genau bestimmt, wobei

LaTeX: \Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}

gilt. Das bedeutet, dass der Impuls mindestens Werte im Bereich bis LaTeX: \Delta p = \frac{\hbar}{2\Delta x} annehmen muss. Selbst für ein Teilchen ohne invariante Masse ist damit eine Energie LaTeX: E und daher auch eine Mindestmasse LaTeX: m verbunden, wobei

LaTeX: m c^2 = E = \Delta p c = \frac{\hbar c}{2 \Delta x}

Befindet sich die Masse LaTeX: m in einem Raumgebiet mit einem Radius kleiner als ihr Schwarzschildradius

LaTeX: r = \frac{2 G m}{c^2},

so wird sie zum Schwarzen Loch. Das ist durch die Wahl eines hinreichend kleinen LaTeX: \Delta x erreichbar, denn mit einer Verkleinerung von LaTeX: \Delta x wächst LaTeX: \Delta p und damit auch LaTeX: m und LaTeX: r bis schließlich LaTeX: r \approx \Delta x wird. Diese Situation entzieht sich jedoch einer Beschreibung durch die bekannte Physik. Man erhält die Formel für die Planck-Länge und Planck-Masse der Größenordnung nach, indem man LaTeX: r = \Delta x setzt und die beiden letzten Gleichungen nach LaTeX: r und LaTeX: m auflöst.

Literatur

  • Giovanni Amelino-Camelia, Jurek Kowalski-Glikman (Hrsg.): Planck scale effects in astrophysics and cosmology, Lecture notes in Physics 669, Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-25263-0
  • Richard L.Amoroso, Geoffrey Hunter, Menas Kafatos and Jean-Pierre Vigier (Hrsg.): Gravitation and cosmology – from the Hubble radius to the Planck scale., Vigier 80th Birthday Symposium, Kluwer Academic, Dordrecht 2002, ISBN 1-4020-0885-6
  • Nick Huggett, Craig Callender: Physics meets philosophy at the Planck scale – contemporary theories in quantum gravity. Cambridge Univ. Press, Cambridge 2001, ISBN 0-521-66445-4


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