Planck-Skala

Die Planck-Skala, benannt nach Max Planck, markiert eine Grenze für die Anwendbarkeit der bekannten Gesetze der Physik. Auf Distanzen der Größenordnung der Planck-Länge (ca. 10⁻³⁵ m) müsste die Physik mit Hilfe einer Quantentheorie der Gravitation beschrieben werden, die bisher nur in Ansätzen existiert. Bei Teilchenenergien entsprechend der Planck-Masse wird die De-Broglie-Wellenlänge $\lambda =\frac{h}{p}$ vergleichbar mit dem Schwarzschild-Radius.

In der Planck-Zeit, ~10⁻⁴³ s, durchläuft das Licht die Planck-Länge. Um Zeiten auf der Skala der Planck-Zeit aufzulösen, sind Energien in der Größenordnung der Planck-Energie nötig (siehe Energie-Zeit-Unschärferelation) – mit den oben genannten Konsequenzen.

Größenordnungen

Die Planck-Länge $l_{\mathrm{P}}$ ist um einen Faktor von etwa 10²⁰ kleiner als der Durchmesser des Protons und damit weit jenseits einer direkten experimentellen Zugänglichkeit. Wollte man derartig kleine Strukturen mit einem Teilchenbeschleuniger untersuchen, so müsste die De-Broglie-Wellenlänge $\frac{h}{p}$ der verwendeten Teilchen vergleichbar mit $l_{\mathrm{P}}$ sein, bzw. ihre Energie vergleichbar mit $E_{\mathrm{P}}$. Die über $E=m{c}^2$ zugeordnete Masse wäre über 10¹⁶ mal so groß wie die Masse des schwersten bekannten Elementarteilchens, des Top-Quarks, nämlich rund $10^{18}$ Giga-Elektronenvolt (GeV). Ein entsprechender Beschleuniger hätte mindestens den Durchmesser unseres Sonnensystems. Der einzige denkbare Prozess, bei dem vergleichbare Energien aufgetreten sein könnten, ist das Universum ungefähr eine Planck-Zeiteinheit nach dem hypothetischen Urknall. Die Planck-Masse ist sogar fast schon auf der „menschlichen“ Größenskala – ein Floh wiegt 4000 bis 5000 Planck-Massen.

Ableitung der Planck-Masse

Wie oben bereits angedeutet, führt die gleichzeitige Anwendung der Gesetze der Quantenmechanik und der allgemeinen Relativitätstheorie bei hinreichend kleinen räumlichen und zeitlichen Abständen zu Problemen, wie die folgende Überlegung zeigt: Befindet sich ein Objekt oder Teilchen in einem Raumgebiet mit dem Durchmesser $\mathrm{\Delta }x$, so ist aufgrund der Unschärferelation sein Impuls nur bis auf $\mathrm{\Delta }p$ genau bestimmt, wobei

$\mathrm{\Delta }x\cdot \mathrm{\Delta }p\ge \frac{\hslash }{2}$

gilt. Das bedeutet, dass der Impuls mindestens Werte im Bereich bis $\mathrm{\Delta }p=\frac{\hslash }{2\mathrm{\Delta }x}$ annehmen muss. Selbst für ein Teilchen ohne invariante Masse ist damit eine Energie $E$ und daher auch eine Mindestmasse $m$ verbunden, wobei

$m{c}^2=E=\mathrm{\Delta }pc=\frac{\hslash c}{2\mathrm{\Delta }x}$

Befindet sich die Masse $m$ in einem Raumgebiet mit einem Radius kleiner als ihr Schwarzschildradius

$r=\frac{2Gm}{c^2}$,

so wird sie zum Schwarzen Loch. Das ist durch die Wahl eines hinreichend kleinen $\mathrm{\Delta }x$ erreichbar, denn mit einer Verkleinerung von $\mathrm{\Delta }x$ wächst $\mathrm{\Delta }p$ und damit auch $m$ und $r$ bis schließlich $r\approx \mathrm{\Delta }x$ wird. Diese Situation entzieht sich jedoch einer Beschreibung durch die bekannte Physik. Man erhält die Formel für die Planck-Länge und Planck-Masse der Größenordnung nach, indem man $r=\mathrm{\Delta }x$ setzt und die beiden letzten Gleichungen nach $r$ und $m$ auflöst.

Literatur

• Giovanni Amelino-Camelia, Jurek Kowalski-Glikman (Hrsg.): Planck scale effects in astrophysics and cosmology, Lecture notes in Physics 669, Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-25263-0
• Richard L.Amoroso, Geoffrey Hunter, Menas Kafatos and Jean-Pierre Vigier (Hrsg.): Gravitation and cosmology – from the Hubble radius to the Planck scale., Vigier 80th Birthday Symposium, Kluwer Academic, Dordrecht 2002, ISBN 1-4020-0885-6
• Nick Huggett, Craig Callender: Physics meets philosophy at the Planck scale – contemporary theories in quantum gravity. Cambridge Univ. Press, Cambridge 2001, ISBN 0-521-66445-4