Planck-Einheiten

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Die Planck-Einheiten bilden ein System natürlicher Einheiten, deren Wert ausschließlich durch fundamentale Naturkonstanten bestimmt ist und durch keine mehr oder weniger willkürliche Definition festgelegt wird. Als Maßeinheiten sind sie daher besonders gut dazu geeignet, physikalische Größen miteinander zu vergleichen. Das System wurde erstmals 1899 von Max Planck vorgeschlagen[1] und später nach ihm benannt.

Die Planck-Skala begrenzt zugleich den Anwendungsbereich der bisher bekannten physikalischen Gesetze. Im Bereich der sogenannten Planck-Länge LaTeX: l_p, die vom Licht in der Planck-Zeit LaTeX: t_p durchlaufen wird, könnte das physikalische Geschehen nur durch eine Theorie der Quantengravitation beschrieben werden, die aber bislang noch nicht widerspruchsfrei formuliert werden konnte. In dieser Theorie müssten die beiden großen Theorien der modernen Physik, die allgemeinen Relativitätstheorie und die Quantentheorie, miteinander vereinigt werden. Für Partikel in der Größenordnung der Planckmasse LaTeX: m_p wird ihre charakteristische Größendimension, die sich aus ihrer Compton-Wellenlänge LaTeX: \lambda = \frac{h}{m c} ergibt, vergleichbar dem Schwarzschild-Radius LaTeX: r_\mathrm{S} = \frac{2 G m}{c^2} eines winzigen Schwarzen Loches mit dem Durchmesser der Planck-Länge LaTeX: l_p.

Definition

Die Grundgrößen der Planck-Einheiten ergeben sich aus einer einfachen Dimensionsbetrachtung aus folgenden universellen Naturkonstanten:

Daraus ergeben sich folgende elementare Planck-Einheiten, aus denen alle anderen Einheiten abgeleitet werden können.

Name Größe Definitionsgleichung Wert in SI-Einheiten
Planck-Masse Masse LaTeX: m_p = \sqrt{\frac{\hbar\,c}{G}} 2,176 · 10−8 kg[3]
Planck-Länge Länge LaTeX:  l_p = \sqrt{\frac{\hbar\,G}{c^3}} 1,616 · 10−35 m[4]
Planck-Zeit Zeit LaTeX: t_p = \frac{l_p}{c} 5,391 · 10−44 s[5]
Planck-Ladung Ladung LaTeX: q_p = \sqrt{\hbar\,c\,4\,\pi\,\varepsilon_0} 1,876 · 10−18 C
Planck-Temperatur Temperatur LaTeX: T_p = \frac{m_\mathrm{P}\,c^2}{k_\mathrm{B}} 1,417 · 1032 K[6]

Abgeleitete Größen

Aus den fünf Grundgrößen ergeben sich folgende abgeleitete Größen:

Name Größe Dimension Term Wert in SI-Einheiten
Planck-Fläche Fläche L2 LaTeX: l_\mathrm{P}^2 = \frac{\hbar G}{c^3} 2,612 · 10−70 m2
Planck-Volumen Volumen L3 LaTeX: l_\mathrm{P}^3 = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}^{\,3} 4,222 · 10−105 m3
Planck-Energie Energie ML2T−2 LaTeX: E_\mathrm{P} = m_\mathrm{P} c^2 = \frac{\hbar}{t_\mathrm{P}} = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{G}} 1,956 · 109 J
= 1,2209 · 1028 eV
= 543,4 kWh
Planck-Impuls Impuls MLT−1 LaTeX: m_\mathrm{P} c = \frac{\hbar}{l_\mathrm{P}} = \sqrt{\frac{\hbar c^3}{G}} 6,525 kg m·s−1
Planck-Kraft Kraft MLT−2 LaTeX: F_\mathrm{P} = \frac{E_\mathrm{P}}{l_\mathrm{P}} = \frac{\hbar}{l_\mathrm{P} t_\mathrm{P}} = \frac{c^4}{G} 1,210 · 1044 N
Planck-Leistung Leistung ML2T−3 LaTeX: P_\mathrm{P} = \frac{E_\mathrm{P}}{t_\mathrm{P}} = \frac{\hbar}{t_\mathrm{P}^2} = \frac{c^5}{G} 3,628 · 1052 W
Planck-Dichte Dichte ML−3 LaTeX: \rho_\mathrm{P} = \frac{m_\mathrm{P}}{l_\mathrm{P}^3} = \frac{\hbar t_\mathrm{P}}{l_\mathrm{P}^5} = \frac{c^5}{\hbar G^2} 5,155 · 1096 kg·m−3
Planck-Kreisfrequenz Kreisfrequenz T−1 LaTeX: \omega_\mathrm{P} = \frac{1}{t_\mathrm{P}} = \sqrt{\frac{c^5}{\hbar G}} 1,855 · 1043 s−1
Planck-Druck Druck ML−1T−2 LaTeX: p_\mathrm{P} = \frac{F_\mathrm{P}}{l_\mathrm{P}^2} = \frac{\hbar}{l_\mathrm{P}^3 t_\mathrm{P}} =\frac{c^7}{\hbar G^2} 4,633 · 10113 Pa
Planck-Strom Elektrischer Strom QT−1 LaTeX: I_\mathrm{P} = \frac{q_\mathrm{P}}{t_\mathrm{P}} = \sqrt{\frac{c^6  4 \pi \varepsilon_0}{G}} 3,479 · 1025 A
Planck-Spannung Elektrische Spannung ML2T−2Q−1 LaTeX: U_\mathrm{P} = \frac{E_\mathrm{P}}{q_\mathrm{P}} = \frac{\hbar}{t_\mathrm{P} q_\mathrm{P}} = \sqrt{\frac{c^4}{G 4 \pi \varepsilon_0} } 1,043 · 1027 V
Planck-Impedanz Widerstand ML2T−1Q−2 LaTeX: Z_\mathrm{P} = \frac{U_\mathrm{P}}{I_\mathrm{P}} = \frac{\hbar}{q_\mathrm{P}^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 c} = \frac{Z_0}{4 \pi} 29,98 Ω
Planck-Beschleunigung Beschleunigung LT−2 LaTeX: g_\mathrm{P}  = \frac{F_\mathrm{P}}{m_\mathrm{P}} = \sqrt{\frac{c^7}{\hbar G}} 5,56 · 1051 m·s−2
Planck-Magnetfeld Magnetische Flussdichte MQ−1T−1 LaTeX: B_\mathrm{P} = \sqrt{\frac{\mu_0}{4 \pi}p_\mathrm{P}} = \sqrt{\frac{c^5}{\hbar G^2 4 \pi \varepsilon_0} } 2,1526 · 1053 T
Planck-Magnetischer Fluss Magnetischer Fluss ML2T−1Q−1 LaTeX: \phi_\mathrm{P} = \frac{E_\mathrm{P}}{I_\mathrm{P}} = \sqrt{\frac{\hbar}{4 \pi \varepsilon_0 c} } 5,6227 · 10−17 Wb

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. Max Planck: Über Irreversible Strahlungsvorgänge. In: Sitzungsbericht der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften, 1899, erster Halbband S. 479–480.
  2. CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology. Abgerufen am 2. April 2018. Wert für die Gravitationskonstante in Basiseinheiten
  3. CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology. Abgerufen am 2. April 2018. Wert für die Planck-Masse
  4. CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology. Abgerufen am 2. April 2018. Wert für die Planck-Länge
  5. CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology. Abgerufen am 2. April 2018. Wert für die Planck-Zeit
  6. CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology. Abgerufen am 2. April 2018. Wert für die Planck-Temperatur