Dichte

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Die Dichte LaTeX: \rho (rho) gibt in der Physik ganz allgemein an, wieviel von einer bestimmten physikalischen Größe (z.B. Masse, elektrische Ladung, ...) in einem gegebenen Volumen enthalten ist. Primär ist damit die Massendichte gemeint. Sie ist der Quotient aus der Masse LaTeX: m eines Körpers und seinem Volumen LaTeX: V:

LaTeX: \rho = \frac{m}{V}.

Sie wird oft in Gramm pro Kubikzentimeter oder in Kilogramm pro Kubikmeter angegeben. Bei flüssigen Körpern ist auch die Einheit Kilogramm pro Liter üblich. Die Dichte ist durch das Material des Körpers bestimmt und als intensive Größe unabhängig von seiner Form und Größe.

Im Allgemeinen dehnen sich Stoffe mit steigender Temperatur aus, wodurch ihre Dichte sinkt. Eine Ausnahme bilden Stoffe mit einer Dichteanomalie wie z. B. Wasser.

Abgrenzung zu anderen Begriffen

  • Während bei der Dichte die Masse im Verhältnis zum Volumen steht, gibt die Wichte (spezifisches Gewicht) die Gewichtskraft im Verhältnis zum Volumen an, ist also abhängig vom Schwerefeld.
  • Die relative Dichte ist das Verhältnis der Dichte zur Dichte eines Normals, also eine dimensionslose Größe.

Definiert werden diese Unterschiede in der DIN 1306 Dichte; Begriffe, Angaben. Die Dichte ist eine Quotientengröße.

Bestimmung der Dichte

Dichtebestimmung durch Auftrieb

An einem eingetauchten Körper angreifende Kräfte

Nach dem Prinzip von Archimedes erfährt ein vollständig in einem Fluid (einer Flüssigkeit oder einem Gas) eingetauchter Körper eine Auftriebskraft, die gleich der Gewichtskraft des Volumens des verdrängten Stoffes ist. Um die zwei Unbekannten Dichte und Volumen zu bestimmen, sind zwei Messungen erforderlich.

Taucht man einen beliebigen Körper mit dem Volumen LaTeX: V_\mathrm K vollständig in zwei Fluide mit bekannten Dichten LaTeX: \rho_1 und LaTeX: \rho_2 ein, ergeben sich resultierende Kräfte LaTeX: F_1 und LaTeX: F_2, die mittels einer einfachen Waage messbar sind. Die gesuchte Dichte LaTeX: \rho_\mathrm K des Körpers lässt sich daraus wie folgt bestimmen:

Ausgehend von den Formeln für die Gewichtskraft LaTeX: F_\mathrm G des Körpers und die Auftriebskraft LaTeX: F_{\mathrm A i} des Körpers in Fluid LaTeX: i

LaTeX: F_\mathrm G=V_\mathrm K \cdot \rho_\mathrm K \cdot g
LaTeX: F_{\mathrm A i}=V_\mathrm K \cdot \rho_i \cdot g

mit der Schwerebeschleunigung LaTeX: g misst eine Waage für den in Fluid LaTeX: i eingetauchten Körper die Kraft

LaTeX: F_i=F_\mathrm G-F_{\mathrm A i}.

Aus diesen zwei Gleichungen für die Fluide (LaTeX: i = 1,2) kann man das unbekannte Volumen LaTeX: V_\mathrm K eliminieren und erhält die Lösung:

LaTeX: \rho_\mathrm K = \frac{F_1 \cdot \rho_2 - F_2 \cdot \rho_1}{F_1-F_2}

Falls eine Dichte sehr viel kleiner als die andere ist, LaTeX: \rho_1 \ll \rho_2 (etwa bei Luft und Wasser), vereinfacht sich die Formel zu:

LaTeX: \rho_\mathrm K = \frac{F_1}{F_1-F_2}\cdot \rho_2

Falls man nur eine Flüssigkeit, z. B Wasser mit Dichte LaTeX: \rho_1 hat, lässt sich stattdessen das Volumen des Körpers durch das Volumen des Wassers bestimmen, das bei vollständigem Eintauchen verdrängt wird, indem man beispielsweise den Überlauf aus einem vollen Gefäß mit einem Messzylinder misst. Aus obiger Gleichung

LaTeX: F_1=F_\mathrm G-F_{\mathrm A 1}=V_\mathrm K \cdot g \cdot (\rho_\mathrm K -\rho_1)

erhält man durch Umformen:

LaTeX: \rho_\mathrm K=\rho_1+\frac{F_1}{V_\mathrm K \cdot g}

Nach dieser Methode bestimmte schon Archimedes die Dichte der Krone eines Königs, der bezweifelte, dass diese wirklich aus reinem Gold bestehe (ρK = 19320 kg/m3).

Auf dieser Auftriebswägung von Flüssigkeiten beruhen das Aräometer (Spindel) und die Mohrsche Waage.

Weitere Methoden

  • Pyknometer, Dichtebestimmung von Festkörpern oder Flüssigkeiten durch Messen der verdrängten Flüssigkeitsvolumina
  • Isotopenmethode, Dichtebestimmung durch Strahlungsabsorption
  • Biegeschwinger, Dichtebestimmung, insbesondere von durchströmender Flüssigkeit, durch Schwingungsmessung
  • Resistograph, Dichtebestimmung von Holz über Festigkeit.
  • Schwebemethode, Dichtebestimmung durch Gleichgewichtsbestimmung mit Hilfe einer Schwerflüssigkeit

Eine einfache Abschätzung der Dichte lässt sich mit der Girolami-Methode erhalten.

Dichte von Lösungen

Die Summe der Massenkonzentrationen der Bestandteile einer Lösung ergibt die Dichte der Lösung, indem man die Summe der Massen der Bestandteile durch das Volumen der Lösung teilt.

LaTeX: \rho = \frac{1}{V} \sum_i m_i = \frac{\sum_i  \rho_i V_i}{V}

Dabei sind die LaTeX: m_i die einzelnen Teilmassen, LaTeX: V_i die einzelnen Teilvolumina und V das Gesamtvolumen.

Ortsabhängige Dichte

Mit LaTeX: \mathrm dm werde die Masse in einem gewissen Kontrollvolumen LaTeX: \mathrm dV bezeichnet. Bei stetig verteilter Masse kann man einen Grenzübergang durchführen, d. h., man lässt das Kontrollvolumen immer kleiner werden und kann so die Massendichte LaTeX: \rho(\mathbf x) durch

LaTeX: \mathrm dm = \rho(\mathbf x) \,\mathrm dV

definieren. Die Funktion LaTeX: \rho\colon\R^3 \to \R wird auch als Dichtefeld bezeichnet.

Für einen homogenen Körper, dessen Massendichte in seinem Inneren überall den Wert LaTeX: \rho_0 hat, ist die Gesamtmasse LaTeX: m das Produkt von Dichte und Volumen LaTeX: V, d. h., es gilt:

LaTeX: m = \rho_0\,V

Bei inhomogenen Körpern ist die Gesamtmasse allgemeiner das Volumenintegral

LaTeX: m = \int_V \rho(\mathbf x)\,\mathrm dV

über die Massendichte.

Die Dichte ergibt sich aus den Massen der Atome, aus denen das Material besteht und aus ihren Abständen. In homogenem Material, zum Beispiel in einem Kristall, ist die Dichte überall gleich. Sie ändert sich normalerweise mit der Temperatur und bei kompressiblen Materialien (wie z. B. Gasen) auch mit dem Druck. Daher ist beispielsweise die Dichte der Atmosphäre ortsabhängig und nimmt mit der Höhe ab.

Der Kehrwert der Dichte wird spezifisches Volumen genannt und spielt vor allem in der Thermodynamik der Gase und Dämpfe eine Rolle. Das Verhältnis der Dichte eines Stoffes zur Dichte im Normzustand wird als relative Dichte bezeichnet.

In der ersten Ausgabe der DIN 1306 Dichte und Wichte; Begriffe vom August 1938 wurde die Dichte im heutigen Sinn als mittlere Dichte genormt und die ortsabhängige Dichte in einem Punkt als Dichte schlechthin definiert: „Die Dichte (ohne den Zusatz ‚mittlere‘) in einem Punkte eines Körpers ist der Grenzwert, dem die mittlere Dichte in einem den Punkt enthaltenden Volumen zustrebt, wenn man dieses so weit verkleinert denkt, dass es klein wird gegen die Abmessungen des Körpers, aber noch groß bleibt gegen die Gefügeeinheiten seines Stoffs.“ In der Ausgabe vom August 1958 wurde dann die mittlere Dichte in Dichte umbenannt mit der Erläuterung: „Masse, Gewicht und Volumen werden an einem Körper bestimmt, dessen Abmessungen groß sind gegen seine Gefügebestandteile.“

Tabelle mit Beispielen und Links

Die Dichte einzelner Materialien ist auf der Wikipedia-Seite des jeweiligen Materials zu finden. Für die Elemente findet sie sich in der Liste der chemischen Elemente.

Material Massendichte
Interstellare Materie 102 … 109 Atome/m3  ≈  10−13 … 10−6 g/km3
Gase 0,1785 kg/m3 (Helium) … 1,293 kg/m3 (Luft) … 12,4 kg/m3 (Wolfram(VI)-fluorid)
Holz 200 kg/m3 … 1 200 kg/m3
Flüssigkeiten 616 kg/m3 (Isopentan) … 1 834 kg/m3 (Schwefelsäure H2SO4) … 3 119 kg/m3 (Brom Br2) … (siehe auch Schwerflüssigkeiten)
Metalle 534 kg/m3 (Lithium) … 13 595 kg/m3 (Quecksilber Hg) … 19 302 kg/m3 (Gold) … 22 590 kg/m3 (Osmium)
Beton 1 000 kg/m3 (Leichtbeton) … 2 400 kg/m3 (normal) … 4 500 kg/m3 (Schwerbeton)
Sterne 1 400 kg/m3 (unsere Sonne) … 1,1 · 106 kg/m3 (bei Heliumbrennen) … 1013 kg/m3 (Kernfusion schwerer Elemente)
Neutronenstern 1017 … 2,5 · 1018 kg/m3

Dichten von Pulvern und porösen Materialien

Bei porösen Materialien muss man zwischen der Skelett- oder Reindichte, bei der die Masse auf das Volumen ohne die Poren bezogen wird, und der scheinbaren Dichte unterscheiden, die sich auf das Gesamtvolumen einschließlich der Poren bezieht. Bei Pulvern, Schüttgütern und Haufwerken hängt die scheinbare Dichte auch davon ab, ob das Material lose aufgeschüttet oder gestampft wurde. Dementsprechend unterscheidet man zwischen der Schüttdichte und der Rüttel- oder Stampfdichte. Das Verhältnis zwischen Schüttvolumen und Stampfvolumen heißt auch Hausner-Faktor.

Siehe auch

Literatur

Weblinks

 Wiktionary: Dichte – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
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