Umfang (Geometrie)

Umfang des Kreises:
U = d·π (hier ist d = 1)

Umfang des Rechtecks:
U = 2·a + 2·b = 2·(a + b)

Der Umfang einer ebenen Figur, die durch eine Linie begrenzt ist, bezeichnet die Länge ihrer Begrenzungslinie.

Die Formel für den Kreisumfang lautet:

$U=\pi d=2\pi r$

• $U$ steht dabei für den Umfang,
• $r$ für den Radius des Kreises,
• $\pi$ für die Kreiszahl mit dem Wert 3,14159265… und
• $d$ für den Kreisdurchmesser.

Der Umfang eines Vielecks ist die Summe seiner Seitenlängen.

Herzkurve $\gamma :[0,2\pi ]\to {\mathbb{ℝ}}^2$
(Zeichnung mit $a=1$)
$x(t)=2a\cos (t)(1+\cos (t))$
$y(t)=2a\sin (t)(1+\cos (t))$
$U=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2}\mathrm{d}t=16a$

Wird die Begrenzungslinie der Figur durch eine geschlossene stückweise glatte Parameterkurve $\gamma :[a,b]\to {\mathbb{ℝ}}^2$ beschrieben mit

$\gamma (t)=\left(\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\end{array}\right)$,

so lässt sich ihr Umfang $U$ über das folgende Integral berechnen:

$U=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2}\mathrm{d}t$. (siehe Länge (Mathematik))

Literatur

• Karl Barth: Die technischen Hilfswissenschaften: Mathematik, Geometrie und Chemie. Oldenbourg, S. 95–96

Weblinks

 Wiktionary: Umfang – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Eric W. Weisstein: Perimeter. In: MathWorld (englisch).
• Umfang und Flächen elementarer Figuren