Energie-Impuls-Tensor

Der Energie-Impuls-Tensor ist ein Tensor, der vor allem in der Feldtheorie verwendet wird. Er kann in der folgenden allgemeinen Form angegeben und interpretiert werden:

$(T^{\alpha \beta })=\left(\begin{array}{cccc}w& \frac{S_x}{c}& \frac{S_y}{c}& \frac{S_z}{c}\\ \frac{S_x}{c}& G_{xx}& G_{xy}& G_{xz}\\ \frac{S_y}{c}& G_{yx}& G_{yy}& G_{yz}\\ \frac{S_z}{c}& G_{zx}& G_{zy}& G_{zz}\end{array}\right)$

• $w$ ist eine Energiedichte (Energie pro Volumen). Sie ist bei kleinen Geschwindigkeiten von der Dichte der Masse dominiert, aber auch Photonen, die keine Masse besitzen, tragen mit ihrer Energie $E=h\cdot \nu$ zur Energiedichte bei.
• $(S_x,S_y,S_z)$ ist eine Energiestromdichte (Energiedichte multipliziert mit einer Geschwindigkeit).
• $c$ ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum.
• $G_{ik}$ ist im Fall der Anwendung auf elektromagnetische Strahlung das Negative des maxwellschen Spannungstensors. Er beinhaltet den räumlichen Impulstransport, z. B. in den Diagonaltermen den Druck, den das elektromagnetische Strahlungsfeld ausübt. Die Nichtdiagonalterme dieses Spannungstensors beschreiben Scherspannungen.

Im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie und der allgemeinen Relativitätstheorie ist der Energie-Impuls-Tensor ein Vierertensor zweiter Stufe.

Geometrische raumzeitliche Interpretation in 4D-Sprechweise

Zur Vereinfachung werden in diesem Artikel Planck-Einheiten verwendet. So ist die Lichtgeschwindigkeit $c$ auf Eins normiert, sodass aufgrund der Äquivalenz von Masse und Energie $E=m{c}^2$ Masse $m$ und Energie $E$ miteinander identifiziert werden.

• Die Komponente $T^{00}$ (Energiedichte, Massendichte) beschreibt den Energiefluss (Massenfluss) in zeitartiger Richtung, also den Energiefluss durch ein raumartiges 3D-Volumenelement.
• Die Komponenten $T^{i0}$; $i=1,\dots ,3$ (räumlicher Energiefluss, räumlicher Massenfluss) beschreiben die Energiestromdichte (Massenstromdichte) in räumlicher i-Richtung, also den Energiefluss durch ein 3D-Volumenelement mit einer zeitartigen und zwei raumartigen Achsen.
• Die Komponenten $T^{0k}$; $k=1,\dots ,3$ (Impulsdichte) beschreiben den Impulsfluss der k-ten Komponente des Impulses in zeitartiger Richtung, also den Impulsfluss der k-ten Komponente des Impulses durch ein raumartiges 3D-Volumenelement.
• Die Komponenten $T^{ik}$; $i,k=1,\dots ,3$ (Impulsstromdichte) beschreiben den Impulsfluss der k-ten Komponente des Impulses in räumlicher i-Richtung, also den Impulsfluss der k-ten Komponente durch ein 3D-Volumenelement mit einer zeitartigen und zwei raumartigen Achsen.

Die Symmetrie $T^{\alpha \beta }=T^{\beta \alpha }$ enthält folgende Information:

• $T^{\alpha 0}=T^{0\alpha }$: Die Massenstromdichte (Energiestromdichte) ist gleich der Impulsdichte; das ist eine Konsequenz aus dem Schwerpunktsatz.
• Die Scherspannungen sind symmetrisch: Ein Transport der k-ten Komponente des Impulses in i-Richtung ist stets begleitet von einem gleich großen Transport der i-ten Komponente des Impulses in k-Richtung ($i,k=1,\dots ,3$); das ist eine Konsequenz der Drehimpulserhaltung.

Die Energie-Impuls-Erhaltung wird in der Relativitätstheorie durch die Bilanzgleichung

${\mathrm{\nabla }}_{\alpha }{T}^{\alpha \beta }=0$

beschrieben, wobei $(T^{\alpha \beta })$ den Energie-Impuls-Tensor aller beteiligten Felder bezeichnet. Beschreibt $(T^{\alpha \beta })$ nur den Energie-Impuls-Tensor eines Feldes, das mit anderen Feldern wechselwirkt, zum Beispiel der elektromagnetischen Strahlung alleine (siehe unten), so lautet die Energie-Impuls-Bilanzgleichung

${\mathrm{\nabla }}_{\alpha }{T}^{\alpha \beta }=f^{\beta }$,

wobei die rechte Seite die Viererkraftdichte, also den Viererimpulsaustausch mit anderen Feldern pro 4D-Volumenelement bezeichnet. Die Komponenten mit $\beta =1,\dots ,3$ beschreiben hier die Impulsbilanz, die Komponente mit $\beta =0$ die Energiebilanz (Massenbilanz).

Zusammen mit einer geeigneten Volumenform kann mit Hilfe des Energie-Impuls-Tensors der Energie-Impuls-Vierervektor berechnet werden, der zu diesem 3D-Volumenelement gehört.

Siehe auch

• Energie-Impuls-Tensor - Artikel in der deutschen Wikipedia

Literatur

• Richard Feynman: Vorlesungen über Physik Band 3: Quantenmechanik. Oldenbourg 1991 (SI), ISBN 3-486-25134-1.
• Walter Greiner: Klassische Elektrodynamik. Verlag Harri Deutsch, 1991 (Gauss-System), ISBN 3-8171-1184-3.
• Torsten Fließbach: Allgemeine Relativitätstheorie. BI Wissenschaftsverlag, 1990, ISBN 3-8274-1356-7 (mit einem Abschnitt über Hydrodynamik und einem Kapitel über Kosmologie).
• Edwin F. Taylor, John Archibald Wheeler: Physik der Raumzeit. Spektrum, 1994, ISBN 3-86025-123-6.

Weblinks

• Einführende Vortragsfolien zum elektromagnetischen Energie-Impuls-Tensor (PDF; 948 kB).