Schwingung

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Rechts: Zwei Schwingungen, die um den Phasenwinkel LaTeX: \Delta \varphi gegeneinander verschoben sind. Links: Zwei rotierende Zeiger mit derselben Phasenverschiebung.

Eine Schwingung oder Oszillation (lat. oscillare „schaukeln“) ist eine zeitlich wiederkehrende (periodische oder chaotische) Schwankung einer oder mehrerer Zustandsgrößen um einen Mittelwert. Grundsätzlich sind alle rückgekoppelten Systeme, bei denen der Auslenkung eine entsprechende Rückstellkraft entgegenwirkt, schwingungsfähig. In der Physik wird ein solches schwingungsfähiges System als Oszillator bzw. im Fall einer sinusförmigen harmonischen Schwingung als harmonischer Oszillator bezeichnet. Periodische Schwingungen elastischer Körper werden auch als Vibrationen oder Erschütterungen (eng. chatter) bezeichnet, insbesondere wenn sie unmittelbar fühlbar und/oder hörbar sind. Dabei handelt es sich oft auch um unerwünschte Resonanzen schwingungsfähiger Bauteile, die Störgeräusche erzeugen.

Charakteristische Größen

Der schwingende Leuchter im Dom zu Pisa soll Galileo Galilei zur Entdeckung der Pendelgesetze angeregt haben.

Eine periodische Schwingung kann durch die Amplitude LaTeX: A, die maximale positive oder negative Auslenkung (Elongation) von der Ruhelage (d.h. die maximale Abweichung vom Mittelwert), und die Periodendauer LaTeX: T charakterisiert werden. Der Kehrwert der Periodendauer, die Frequenz LaTeX: \nu = \frac1T, gibt die Anzahl der Schwingungen pro Zeiteinheit an und wird üblicherweise in Hertz gemessen ( LaTeX: 1\ Hz = s^{-1}). Häufig verwendet man auch die Kreisfrequenz oder Winkelfrequenz  LaTeX: \omega = 2\pi f = \frac{2\pi}T.

Der Phasenwinkel LaTeX: \varphi, kurz genannt die Phase, gibt dabei die aktuelle Position innerhalb des periodischen Schwingungsvorgangs an. Eine volle Schwingungsperiode entspricht dem Phasenwinkel LaTeX: 2\pi. Zwei Schwingungen gleicher Periodendauer können um ein entsprechende Phasenverschiebung (auch: Phasendifferenz) LaTeX: \Delta \varphi gegeneinander verschoben sein.

Schwingungsgleichung

Der zeitliche Verlauf der Auslenkung LaTeX: y(t) einer harmonischen Schwingung kann durch eine Sinusfunktion dargestellt werden. Unter Berücksichtigung des Nullphasenwinkels LaTeX: \varphi_0 (des Phasenwinkel zum Zeitpunkt LaTeX: t=0) ergibt sich folgende Gleichung:

LaTeX: y(t)=A\cdot\sin(\omega t+\varphi_0)

Die Schwingungsenergie ist konstant, sofern man von der Reibung absieht, und setzt sich wie bei jedem mechanischen System aus der Summe der kinetischen Energie LaTeX: E_kin und der potentiellen Energie zusammen. Durch die Schwingung werden potentielle Energie und kinetische Energie beständig ineinander umgewandelt. Das lässt sich an einem Fadenpendel leicht veranschaulichen. An den beiden Umkehrpunkten ist die potentielle Energie maximal und die kinetische Energie gleich Null; beim Durchgang durch den tiefsten Punkt ist es genau umgekehrt. Damit lässt sich die Schwingungsenergie leicht berechnen. Für die kinetische Energie eines mechanischen Systems gilt ganz allgemein:

LaTeX: E_kin = \frac12 mv^2

Die Geschwindigkeit ergibt sich aus der zeitlichen Ableitung der Auslenkung LaTeX: y(t):

LaTeX: v = \frac{dy(t)}{dt} = A\cdot\cos(\omega t+\varphi_0)

Beim Durchgang durch den tiefsten Punkt ist LaTeX: \cos(\omega t+\varphi_0) = 1. Damit ergibt sich für die Schwingungsenergie LaTeX: E:

LaTeX: E =  \frac12 mv^2 = \frac 12 m \cdot A^2 \cdot \omega ^2

Die Schwingungsenergie ist somit von der Masse des Pendelkörpers, dem Quadrat der Amplitude und dem Quadrat der Winkelfrequenz abhängig.

Beispiele

Am anschaulichsten ist die mechanische Schwingung eines Körpers, etwa eines Pendels oder Federpendels. Es können aber auch elektrische und magnetische Feldgrößen schwingen, wie es etwa bei einer elektromagnetischen Schwingung in einem elektrischen Schwingkreis der Fall ist.

Eine harmonische Schwingung entsteht, wenn sich die rückstellende Kraft linear mit der Auslenkung ändert. Sie kann mathematisch durch eine Sinusfunktion beschrieben werden. Bei einer gedämpften Schwingung, wie sie wegen der stets vorhandenen Reibung in der Praxis meist vorliegt, nimmt die Amplitude mit der Zeit immer mehr ab. Im aperiodischen Grenzfall (etwa bei einem Stoßdämpfer) bildet sich keine Sinusschwingung aus, sondern die Amplitude sinkt exponentiell gegen Null ab.

Pendelschwingung.gif Schwingungsanimation nogif.svgHarmonischeSchw.gif Damped oscillation graph2.svgDamped spring.gif
Schwingung eines Fadenpendels Harmonischen Schwingung eines Federpendels Zeitlicher Verlauf einer gedämpften Schwingung

Siehe auch

Literatur

Steiner big.jpg
Literaturangaben zum Werk Rudolf Steiners folgen, wenn nicht anders angegeben, der Rudolf Steiner Gesamtausgabe (GA), Rudolf Steiner Verlag, Dornach/Schweiz
Email: verlag@steinerverlag.com URL: www.steinerverlag.com. Freie Werkausgaben gibt es auf fvn-rs.net, archive.org und im Rudolf Steiner Online Archiv.
Eine textkritische Ausgabe grundlegender Schriften Rudolf Steiners bietet die Kritische Ausgabe (SKA) (Hrsg. Christian Clement): steinerkritischeausgabe.com
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Weblinks

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