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Kosmologie/Die Stabilität der Himmelskörper und ihrer Bahnen
Die Stabilität der Himmelskörper und ihrer Bahnen
Ehe wir uns mit der Entstehung und den Eigenschaften der Planeten und ihrer Monde beschäftigen, ist es an der Zeit, dass wir uns Gedanken über die Kriterien für ihre Stabilität und ihrer Bahnen machen. Zwei verschiedene, aber verwandte Konzepte, die beide die Stabilität und Dynamik von Himmelskörpern beeinflussen, spielen dabei eine wesentliche Rolle: Die Roche-Grenze und die Hill-Sphäre, die gelegentlich auch als Roche-Sphäre bezeichnet wird. Die Roche-Grenze bezieht sich auf den minimalen Abstand, innerhalb dessen ein Himmelskörper durch die Gezeitenkräfte des größeren Himmelskörpers, den er umkreist, auseinandergerissen werden kann. Die Hill-Sphäre hingegen bezieht sich auf die Region um einen Himmelskörper, innerhalb derer seine Gravitation dominiert und er Objekte, wie Monde oder kleinere Himmelskörper, stabil auf ihrer Bahn halten kann. Eine wichtige Rolle spielen dabei auch die sogennanten Lagrange-Punkte, die zuerst besprochen werden sollen.
Die Lagrange-Punkte: Balancepunkte im Weltraum
Die Lagrange-Punkte sind Stellen im Raum, an denen die Gravitationskräfte zweier großer Körper, die auf einen dritten, kleineren Körper wirken, ausgeglichen sind. Die Zentrifugalkraft, die durch die Umlaufbewegung des kleinsten Körpers entsteht, spielt ebenfalls eine entscheidende Rolle bei der Aufrechterhaltung dieses Gleichgewichts. Ein typisches Beispiele dafür ist das Sonne-Erde-Mond-System oder ein System, das aus Sonne, Erde und einem künstlichen Satelliten gebildet wird, der die Erde umkreist. Benannt sind die Lagrange-Punkte nach dem italienischen Mathematiker Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), der 1772 erstmals eine Lösung dieses eingeschränkten Dreiköperproblems vorschlug, bei dem die Wirkung der vergleichsweise geringen Masse des kleinsten Körpers vernachlässigt werden kann.[1] In jedem Dreikörpersystem gibt es fünf Lagrange-Punkte, bezeichnet als L1, L2, L3, L4 und L5.[2][3]
Die Punkte L1, L2 und L3 liegen auf der Linie zwischen den beiden großen Körpern und sind Positionen des instabilen Gleichgewichts. Ein kleiner Stoß oder eine geringe Störung kann ein Objekt aus diesen Punkten vertreiben. Jedoch können Satelliten mit aktiver Steuerung diese Punkte nutzen, um eine relativ stabile Position mit minimalem Treibstoffverbrauch zu halten. Der innere Lagrange-Punkt L1 liegt zwischen den beiden größeren Körpern und ermöglicht es dem dritten Körper, sich in der gleichen Umlaufzeit wie der kleinere der beiden Hauptkörper synchron mit ihnen zu bewegen. L1 wird häufig als Standort für Sonnenobservatorien, wie das Solar and Heliospheric Observatory (SOHO), verwendet, da es eine ständige Sicht auf die Sonne ermöglicht.[4] Der äußere Lagange-Punkt L2 liegt auf der gegenüberliegenden Seite des kleineren der beiden Hauptkörper und wird oft für Observatorien genutzt, die den Hintergrundhimmel frei vom Erdschein beobachten sollen, wie das James Webb Space Telescope.[5] Die weiter unten noch zu besprechende Hill-Sphäre wird annähernd durch die kreisförmige Linie beschrieben, die die Lagrange-Punkte L1 und L2 berührt.
L3 liegt auf der anderen Seite des größeren Himmelskörpers und ist von der Erde aus gesehen immer der Sonne gegenüber. Dieser Punkt hat hauptsächlich theoretisches Interesse und bisher keine praktische Anwendung gefunden.
Die Punkte L4 und L5 bilden ein gleichschenkliges Dreieck mit den beiden Hauptkörpern und liegen auf der Umlaufbahn des kleineren Körpers. Sie sind besonders bemerkenswert, da sie als "gravitative Senken" wirken und dadurch langfristig stabile Umlaufbahnen ermöglichen. Objekte, die sich in der Nähe dieser Punkte befinden, neigen dazu, sich auf diese zuzubewegen, was sie ideal für die langfristige Platzierung von Satelliten macht. Trojaner, die einem Planeten oder Mond auf seiner Bahn um 60° vorauseilen, besetzen den Lagrange-Punkt L4; solche, die ihm im Winkelabstand von 60° folgen hingegen den Lagrange-Punkt L5. Die Trojaner-Asteroiden von Jupiter sind ein bekanntes Beispiel für natürliche Objekte, die stabil an den Punkten L4 und L5 orbitieren.[6]
Die Stabilität der Umlaufbahnen an den Lagrange-Punkten kann jedoch durch Faktoren wie die Gravitation anderer Planeten, die nichtkugelförmige Form der beteiligten Himmelskörper und Sonnenstrahlungsdruck beeinflusst werden.[7] Daher erfordert die Platzierung und Aufrechterhaltung von Satelliten an diesen Punkten eine sorgfältige Planung und Überwachung.
Roche-Grenze
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Die Roche-Grenze (eng. Roche limit) wurde nach dem französischen Astronomen Édouard Albert Roche (1820 - 1883) benannt, der das Konzept im 19. Jahrhundert entwickelte.[8] Roche ging in seinem Modell zunächst von einem plastisch leicht verformbaren flüssigen Himmelskörper aus, der sich, solange er weit genug entfernt von anderen Himmelskörpern und massereich genug ist, sich durch die Wirkung seiner eigenen Schwerkraft infolge des sich ausbildenden hydrostatischen Gleichgewichts zu einer annähernd kugelförmigen Gestalt formt. Bei sehr kleinen, massearmen Körpern, wie das etwa bei Phobos und Deimos, den beiden sehr kleinen Monden des Mars, aber auch bei vielen Monden der großen Gasplaneten der Fall ist, reicht die eigene Masse dazu nicht aus. Sie nehmen daher eine sehr unregelmäßige Form an. Ihr innerer Zusammenhalt ist vorwiegend durch die Kohäsionskräfte der Materialen bedingt, aus denen er entstanden ist.
Die Roche-Grenze kann mithilfe der Dichte und der Größe der beteiligten Himmelskörper berechnet werden. Die Formel für die Roche-Grenze basiert auf der Annahme, dass die auf einen kleineren Himmelskörper einwirkenden Gravitationskräfte durch die Gezeitenkräfte des größeren Himmelskörpers ausgeglichen werden. Für die Roche-Grenze bei flüssigen Körpern (in Kilometern) lautet sie:
- (flüssiger Körper)
Hierbei ist die Roche-Grenze, der Radius des größeren Himmelskörpers, die Dichte des größeren Himmelskörpers und die Dichte des kleineren Himmelskörpers. Wenn ein Himmelskörper innerhalb der Roche-Grenze eines anderen Himmelskörpers liegt, wird er aufgrund der Gezeitenkräfte instabil und kann auseinanderbrechen. „Flüssig“ bedeutet in diesem Zusammenhang, dass sich der kleinere Körper der Verformung durch die Gezeitenkräfte überhaupt nicht widersetzt.
Das andere Extrem ist ein starrer Körper, der sich durch die Gezeitenkräfte überhaupt nicht verformen läßt und daher viel leichter zerbricht. Seine Roche-Grenze ist naturgemäß deutlich kleiner und kann sogar innerhalb des größeren Körpers liegen, wie das etwa bei vielen felsigen Monden der Gasriesen unseres Sonnensystems der Fall ist. Es gilt dann die Formel:
- (starrer Körper)
Die tatsächliche Roche-Grenze liegt in der Regel zwischen diesen beiden Extremen.
Ein Beispiel für die Anwendung der Roche-Grenze ist die Untersuchung der Stabilität von Monden in unserem Sonnensystem. Die meisten Monde sind stabil, weil sie sich außerhalb der Roche-Grenze des jeweiligen Planeten befinden. Anders ist das bei dem Saturnmond Prometheus, der eine längliche, unregelmäßige Form hat und sich nahe der Roche-Grenze des Planeten bewegt, was einen größeren Mond in diesem Bereich zum Zerbersten bringen würde. Prometheus bricht vermutlich nur wegen seiner geringen Größe von etwa 126 × 80 × 60 km und seiner geringen Dichte von ca. 0,48 g/cm3 nicht auseinander.
Die Roche-Grenze ist auch für die Entstehung von Planetenringen verantwortlich.[9] Wenn ein Himmelskörper, z.B. ein Mond oder ein Asteroid, innerhalb die Roche-Grenze eines Planeten gerät, kann er durch die Gezeitenkräfte auseinandergebrochen werden. Die Trümmerstücke verteilen sich dann in einer kreisförmigen Bahn um den Planeten und bilden einen Ring. Ein anschauliches Beispiel hierfür ist das Ringsystem des Saturn, das vermutlich durch die Zerstörung eines oder mehrerer ehemaliger Monde oder eingeschlossener Asteroiden entstanden ist. Die Trümmerstücke haben sich dann durch ihre Bahnbewegungen allmählich zu den beeindruckenden Ringstrukturen geformt, die wir heute beobachten können. Befindet sich Material, das sich noch nicht zu einem Einzelkörper zusammengeballt hat, auf einer Umlaufbahn um den Hauptkörper, so wird sich dieses Material innerhalb der Roche-Grenze ebenfalls ringförmig auf dem Orbit verteilen, während es außerhalb der Grenze einen Klumpen bildet.
Die Roche-Grenze ist ein nützliches Konzept zur Beschreibung der Stabilität von Himmelskörpern und der Entstehung von Ringen. Es ist jedoch wichtig zu beachten, dass diese Berechnungen auf vereinfachten Annahmen beruhen, wie zum Beispiel homogenen Himmelskörpern und der Vernachlässigung von Rotation und anderen Kräften. In der Realität können verschiedene Faktoren die Stabilität eines Himmelskörpers beeinflussen, wie etwa die Rotation, die innere Struktur und die Anziehungskräfte anderer Himmelskörper in der Nähe.
Ein weiterer Faktor, der die Anwendung der Roche-Grenze einschränkt, ist die Tatsache, dass sie nur für Himmelskörper gilt, die durch ihre eigene Gravitationskraft zusammengehalten werden. Himmelskörper, die zusätzlich durch chemische Bindungen oder andere Kräfte stabilisiert sind, können widerstandsfähiger gegen Gezeitenkräfte sein und somit näher an einem größeren Himmelskörper existieren, ohne auseinanderzubrechen.
Die Roche-Grenze ist auch für das Verständnis von Doppelsternsystemen bedeutsam, die das gemeinsame Schwerezentrum umrunden. Neben den Gravitationskräften müssen daher auch die Fliehkräfte berücksichtig werden, die durch ein um diese korrigiertes effektives Potential beschrieben werden können. Die Roche-Grenze des Systems, das durch die beiden Sterne gebildet wird, erzeugt dabei zwei tropfenförmigen Äquipotentialflächen, deren Spitzen einander genau im Lagrange-Punkt L1 des Systems berühren und damit gemeinsam die Figur einer asymmetrischen Acht bilden.
Das im Englischen als „Roche Lobe“ (deutsch auch „Roche-Lappen“ oder „Roche-Volumen“[10]) bezeichnete Modell wird oft zur Berechnung des Massenaustauschs in engen Doppelsternsystemen verwendet. In solchen Systemen stehen die Sterne so nah beieinander, dass Materie von einem Stern zum anderen übertragen werden kann. Wenn ein Stern in einem solchen Doppelsternsystem Material verliert, weil es seinen Roche-Lappen überfüllt, d. h. das Roche-Volumen überschreitet, spricht man von einem Roche-Lappen-Überlauf (englisch: Roche Lobe Overflow). Das kann z. B. geschehen, wenn einer der beiden Partner ein pulsationsveränderlicher Stern ist oder sich einer der beiden Sterne zu einem Roten Riesen entwickelt. Der Roche-Lappen-Überlauf führt dann zu einem Massentransfer von einem Stern zum anderen und kann verschiedene Phänomene verursachen, wie zum Beispiel die Entstehung von Akkretionsscheiben um den empfangenden Stern mit axial ausgeworfenen Jets, die Entstehung von Röntgendoppelsternen und die Bildung von kataklysmischen Veränderlichen, wie Novae und Zwergnovae.
Hill-Sphäre
Die Hill-Sphäre, auch als Roche-Sphäre bekannt, umschreibt jenes annähernd kugelförmige Gebiet im Raum, in dem die Gravitationskraft eines kleineren Himmelskörpers, etwa eines Planeten, gegenüber der gravitativen Einflusskraft eines größeren Himmelskörpers wie beispielsweise der Sonne dominiert. Weiter innerhalb der Hill-Sphäre kann ein dritter, noch kleiner Körper (Mond) den Planeten auf einer langfristig stabilen Bahn umkreisen, ohne durch die Gravitationswirkung des großen Zentralgestirns aus dieser herausbewegt zu werden. Hills Konzept spielt daher eine entscheidende Rolle bei der Erklärung, warum Monde ihre Planeten umkreisen und nicht direkt von der Sonne eingefangen werden.
Benannt wurde die Hill-Sphäre nach dem amerikanischen Astronomen George William Hill (1838-1914), der sie im 19. Jahrhundert formalisierte, wobei er auf die oben beschriebenen Arbeiten von Édouard Roche aufbaute. Hill richtete dabei seine Aufmerksamkeit aber nicht auf die Formstabilität des kleinsten Körpers, des Mondes, sondern auf die langfristige Stabilität von dessen Umlaufbahn.
Der Radius der Hill-Sphäre, der sogenannte Hill-Radius , hängt von der Masse des größeren Körpers (Zentralgestirn), von der Masse des kleineren Körpers (Planet) und vom mittleren Abstand der beiden Körper ab. Bei genauerer Betrachtung ist auch die Exzentrizität der Kepler-Bahn des Planeten zu berücksichtigen. Der Mond, um dessen Bahnstabilität es dabei eigentlich geht, wird dabei quasi als Testteilchen mit vergleichsweise verschwindender Masse betrachtet. Der Hill-Radius lässt sich dann wie folgt berechnen:
Im günstigsten Fall kann die Exzentrizität der Planetenbahn vernachlässigt werden, wodurch sich die folgende vereinfachte Formel ergibt:
Die Anwendung dieser Formel zeigt, dass der Radius der Hill-Sphäre eines Himmelskörpers mit seiner Masse und dem Abstand zum Zentralkörper zunimmt. Dies erklärt, warum beispielsweise die großen Gasriesen (Jupiter und Saturn) und Eisriesen (Uranus und Neptun) unseres Sonnensystems viele Monde haben, da ihre große Masse und ihr großer Abstand zur Sonne eine große Hill-Sphäre erzeugen, in der sie viele kleine Himmelskörper gravitativ binden können. Erklärlich wird damit auch, warum stark exzentrische Bahnen weniger stabil als nahezu kreisförmige Bahnen sind.
Im äußeren Bereich der Hill-Sphäre ist die Bahn eines Planeten oder Mondes bereits sehr instabil, sodaß er diese wahrscheinlich in verhältnismäßig kurzer Zeit verlassen wird. Für einen prograd, also im gleichen Drehsinn wie der Planet umlaufenden Mond beträgt der stabile Bereich knapp 50 % des Hill-Radius. Bei einem retrograd, also im Gegensinn umlaufenden Mond hingegen knapp 70 % des Hill-Radius. Daher ist es auch nicht verwunderlich, dass die inneren Monde der großen Gasplaneten prograd, die äußeren hingegen retrograd ihren Planeten umlaufen.[11]
Die nebenstehende Grafik versucht die wesentlichen Zusammenhänge anhand des Sonne-Erde-Mond-Systems zu veranschaulichen, wobei auch die jeweiligen Roche-Grenzen einbezogen sind, außerhalb derer die betroffenen Himmelskörper nicht durch die Gezeitenkräfte zerrissen werden. Wie man sieht, verläuft die Bahn der Erde weit außerhalb der auf die Sonne bezogenen Roche-Grenze, wodurch die Stabilität des Erdkörpers auch über viele Milliarden Jahre ermöglicht wird. Ähnlich umläuft auch der Mond die Erde weit außerhalb der zugeordneten Roche-Grenze und ist daher ebenfalls ein langfristig stabiler Himmelskörper. Was nun die Umlaufbahnen betrifft, so bewegt sich die Erde weit innerhalb Hill-Sphäre des Sonne-Erde-Systems, wodurch ihre Bahn um die Sonne sehr stabil ist. Ebenso umkreist der Mond die Erde tief innerhalb der Hill-Sphäre des Erde-Mond-Systems, weshalb auch der Mond langfristig an die Erde gebunden ist.
Wichtig zu beachen ist dabei, dass die tatsächliche Stabilität von Monden und anderen kleinen Himmelskörpern von zahlreichen weiteren Faktoren abhängt. Dazu gehören die Störungen durch andere Himmelskörper, die inneren Eigenschaften der beteiligten Objekte und ihre relativen Geschwindigkeiten.[12] Obwohl die Konzepte der Roche-Grenze und der Hill-Sphäre auf vereinfachenden Annahmen beruhen, lieferen es dennoch wichtige Einblicke in die gravitative Wechselwirkung zwischen Himmelskörpern und ermöglichtes, das Verhalten von Monden, Asteroiden und anderen kleinen Objekten im Sonnensystem und darüber hinaus zu erklären. Insbesondere lassen sie sich auch auf die Untersuchung von extrasolaren Planeten und ihren potenziellen Monden anwenden.
Unter Einbeziehung der Bahnexzentrizität ergeben sich die Hill-Radien der Planeten und Zwergplaneten unseres Sonnensystems wie folgt:
| Planet / Zwergplanet | Hill-Radius (Millionen km) |
a (Millionen km) |
Exzentrizität | Masse (kg) |
|---|---|---|---|---|
| Merkur | 0,1753 | 57,909 | 0,2056 | 3,301 · 1023 |
| Venus | 1,0042 | 108,208 | 0,0068 | 4,875 · 1024 |
| Erde | 1,4716 | 149,597 | 0,0167 | 5,974 · 1024 |
| Mars | 0,9826 | 227,936 | 0,0934 | 6,417 · 1023 |
| Ceres | 0,2067 | 413,94 | 0,0757 | 9,394 ⋅ 1020 |
| Jupiter | 50,5503 | 778,412 | 0,0489 | 1,899 · 1027 |
| Saturn | 61,9239 | 1.426,725 | 0,0542 | 5,683 · 1026 |
| Uranus | 66,8205 | 2.870,972 | 0,0472 | 8,683 · 1025 |
| Neptun | 114,9660 | 4.498,252 | 0,00859 | 1,0243 · 1026 |
| Pluto | 5,7565 | 5.906 | 0,2488 | 1,303 · 1022 |
| Haumea | 4,5653 | 6.475,6 | 0,192 | 4,01 · 1021 |
| Makemake | 4,6147 | 6.773,8 | 0,1654 | 3,1 ⋅ 1021 |
| Eris | 4,7747 | 10.134 | 0,4421 | 1,67 ⋅ 1022 |
Einzelnachweise
- ↑ Lagrange, J. L. (1772). Essai sur le problème des trois corps. Oeuvres de Lagrange, 6, 229-332.
- ↑ Brouwer, D., & Clemence, G. M. (1961). Methods of Celestial Mechanics. Academic Press.
- ↑ Murray, C. D., & Dermott, S. F. (1999). Solar System Dynamics. Cambridge University Press.
- ↑ Suess, S. T., & Nerney, S. F. (1990). The mission of the solar and heliospheric observatory (SOHO). Advances in Space Research, 10(2), 153-161.
- ↑ Gardner, J. P., et al. (2006). The James Webb Space Telescope. Space Science Reviews, 123, 485–606.
- ↑ Sheppard, S. S., & Trujillo, C. A. (2010). Detection of a Trailing (L5) Neptune Trojan. Science, 329(5997), 1304-1304.
- ↑ Simó, C., & Gómez, G. (1991). On the normal behaviour of the invariant manifolds of the equilibrium points in the restricted three body problem. Journal of Applied Mathematics and Physics (ZAMP), 42(1), 138-154.
- ↑ Roche, É. (1849). De la figure d'une masse fluide soumise à l'attraction d'un point éloigné. Académie des sciences de Montpellier, 1:243–262.
- ↑ Roche, É. (1850). Sur la théorie des anneaux de Saturne. Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 30:607–610.
- ↑ „Roche-Volumen“. In: Lexikon der Astronomie. Spektrum.de
- ↑ Scott S. Sheppard, David Jewitt, Jan Kleyna: Ultra Deep Survey for Irregular Satellites of Uranus: Limits to Completeness. In: The Astronomical Journal. 129, 2005, S. 518–523. arxiv:astro-ph/0410059. doi:10.1086/426329.
- ↑ Hamilton, D. P., & Burns, J. A. (1991). Orbital Stability and the Structure of Saturn's Rings. Icarus, 92(1), 118-131.
