Maxwell-Gleichungen

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Die Maxwell-Gleichungen wurden von 1861 bis 1864 von James Clerk Maxwell entwickelt und geben eine mathematisch exakte Beschreibung aller Phänomene des klassischen Elektromagnetismus. Es handelt sich dabei um ein System partieller Differentialgleichungen, mit denen nach der physikalischen Feldtheorie die Eigenschaften elektrischer und magnetischer Felder berechnet werden können.

Für die elektrischen Feldstärke LaTeX: \vec{E} und die elektrischen Flussdichte LaTeX: \vec{D} bzw. für die magnetischen Feldstärke LaTeX: \vec{H} und die magnetischen Flussdichte LaTeX: \vec{B} (auch als magnetische Induktion bezeichnet) ergeben sich folgende Zusammenhänge:

Maxwell-Gleichungen in SI-Einheiten
differentielle Form verknüpfender Integralsatz Integralform
Physikalisches gaußsches Gesetz:
Das LaTeX: \vec D-Feld ist ein Quellenfeld. Die Ladung (Ladungsdichte ρ) ist Quelle des elektrischen Feldes.
Gauß Der (elektrische) Fluss durch die geschlossene Oberfläche LaTeX: \partial V eines Volumens V ist direkt proportional zu der elektrischen Ladung in seinem Inneren.
LaTeX: \operatorname{div} \vec D=\vec\nabla \cdot \vec D=\rho LaTeX: \Longleftrightarrow LaTeX: \iint_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\supset \vec D\cdot\mathrm{d}\vec A = \iiint_{V} \rho \ \mathrm{d}V = Q(V)
Quellenfreiheit des B-Feldes:
Das LaTeX: \vec B-Feld ist quellenfrei. Es gibt keine magnetischen Monopole.
Gauß Der magnetische Fluss durch die geschlossene Oberfläche eines Volumens ist gleich der magnetischen Ladung in seinem Inneren, nämlich Null, da es keine magnetischen Monopole gibt.
LaTeX: \operatorname{div} \vec B=\vec\nabla\cdot\vec B=0 LaTeX: \Longleftrightarrow LaTeX: \iint_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\supset \vec B\cdot\mathrm{d}\vec A = 0
Induktionsgesetz:
Jede Änderung des LaTeX: \vec B-Feldes führt zu einem elektrischen Gegenfeld.
Die Wirbel des elektrischen Feldes sind von der zeitlichen Änderung der magnetischen Flussdichte abhängig.
Stokes Die (elektrische) Zirkulation über der Randkurve LaTeX: \partial A einer Fläche A ist gleich der negativen zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses durch die Fläche[1].
LaTeX:  \operatorname{rot} \vec E = \vec\nabla\times\vec E = -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t} LaTeX: \Longleftrightarrow LaTeX: \oint_{\partial A}\!\!\!\vec E\cdot\mathrm{d}\vec s = -\!\!\iint_A\! \frac{\partial \vec B}{\partial t} \cdot\mathrm{d}\vec A
Durchflutungsgesetz:

Die Wirbel des Magnetfeldes hängen von der Leitungsstromdichte LaTeX: \vec{j_\mathrm l} und von der elektrischen Flussdichte LaTeX: \vec D ab.
Die zeitliche Änderung von LaTeX: \vec D wird auch als Verschiebungsstromdichte LaTeX: \vec{j_\mathrm v} bezeichnet und ergibt als Summe mit der Leitungsstromdichte die totale Stromdichte LaTeX: \vec j_{\,\text{total}} = \vec{j_\mathrm l} + \vec{j_\mathrm v} [2].

Stokes Die magnetische Zirkulation über der Randkurve LaTeX: \partial A einer Fläche A ist gleich der Summe aus dem Leitungsstrom und der zeitlichen Änderung des elektrischen Flusses durch die Fläche[1].
LaTeX:  \operatorname{rot} \vec H = \vec\nabla\times\vec H = \vec{j_\mathrm l} \;+\; \frac{\partial\vec D}{\partial t} LaTeX: \Longleftrightarrow LaTeX: \oint_{\partial A}\!\!\!\vec H\cdot\mathrm{d}\vec s=\iint_A\!\vec{j}_\mathrm l\cdot\mathrm{d}\vec A\;\;+\;\;\iint_A\!\frac{\partial \vec D}{\partial t}\cdot\mathrm{d}\vec A

Siehe auch

Einzelnachweise und Anmerkungen

  1. 1,0 1,1 Das eingeklammerte Doppelintegral ist Null, wenn die magnetische bzw. elektrische Induktion konstant bleibt. Auch in diesem Fall ergibt sich aber ein elektromotorischer Effekt, wenn in der betrachteten Zeit dt eine Änderung der Integrationsfläche LaTeX: \vec A auftritt, die zu einer Lorentzkraft führt.
    Siehe dazu die zweite der im unmittelbar folgenden Abschnitt angegebenen Gleichungen.
  2. In der Physikliteratur, und wenn aus dem Zusammenhang eindeutig erkennbar, wird die Leitungsstromdichte LaTeX: \vec{j_\mathrm l} meist als LaTeX: \vec j bezeichnet. In der Elektrotechnik ist die Bezeichnung LaTeX: \vec J üblich.
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