Maxwell-Gleichungen

Die Maxwell-Gleichungen wurden von 1861 bis 1864 von James Clerk Maxwell entwickelt und geben eine mathematisch exakte Beschreibung aller Phänomene des klassischen Elektromagnetismus. Es handelt sich dabei um ein System partieller Differentialgleichungen, mit denen nach der physikalischen Feldtheorie die Eigenschaften elektrischer und magnetischer Felder berechnet werden können.

Für die elektrischen Feldstärke ${\vec {E}}$ und die elektrischen Flussdichte ${\vec {D}}$ bzw. für die magnetischen Feldstärke ${\vec {H}}$ und die magnetischen Flussdichte ${\vec {B}}$ (auch als magnetische Induktion bezeichnet) ergeben sich folgende Zusammenhänge:

Maxwell-Gleichungen in SI-Einheiten

differentielle Form	verknüpfender Integralsatz			Integralform
Physikalisches gaußsches Gesetz: Das ${\vec {D}}$-Feld ist ein Quellenfeld. Die Ladung (Ladungsdichte ρ) ist Quelle des elektrischen Feldes.		Gauß	Der (elektrische) Fluss durch die geschlossene Oberfläche $\partial V$ eines Volumens V ist direkt proportional zu der elektrischen Ladung in seinem Inneren.
$\operatorname {div} {\vec {D}}={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=\rho$		$\Longleftrightarrow$	$\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset \!\supset {\vec {D}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}=\iiint _{V}\rho \ \mathrm {d} V=Q(V)$
Quellenfreiheit des B-Feldes: Das ${\vec {B}}$-Feld ist quellenfrei. Es gibt keine magnetischen Monopole.		Gauß	Der magnetische Fluss durch die geschlossene Oberfläche eines Volumens ist gleich der magnetischen Ladung in seinem Inneren, nämlich Null, da es keine magnetischen Monopole gibt.
$\operatorname {div} {\vec {B}}={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0$		$\Longleftrightarrow$	$\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset \!\supset {\vec {B}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}=0$
Induktionsgesetz: Jede Änderung des ${\vec {B}}$-Feldes führt zu einem elektrischen Gegenfeld. Die Wirbel des elektrischen Feldes sind von der zeitlichen Änderung der magnetischen Flussdichte abhängig.		Stokes	Die (elektrische) Zirkulation über der Randkurve $\partial A$ einer Fläche A ist gleich der negativen zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses durch die Fläche.
$\operatorname {rot} {\vec {E}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$		$\Longleftrightarrow$	$\oint _{\partial A}\!\!\!{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=-\!\!\iint _{A}\!{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}$
Durchflutungsgesetz: Die Wirbel des Magnetfeldes hängen von der Leitungsstromdichte ${\vec {j_{\mathrm {l} }}}$ und von der elektrischen Flussdichte ${\vec {D}}$ ab. Die zeitliche Änderung von ${\vec {D}}$ wird auch als Verschiebungsstromdichte ${\vec {j_{\mathrm {v} }}}$ bezeichnet und ergibt als Summe mit der Leitungsstromdichte die totale Stromdichte ${\vec {j}}_{\,{\text{total}}}={\vec {j_{\mathrm {l} }}}+{\vec {j_{\mathrm {v} }}}$ .		Stokes	Die magnetische Zirkulation über der Randkurve $\partial A$ einer Fläche A ist gleich der Summe aus dem Leitungsstrom und der zeitlichen Änderung des elektrischen Flusses durch die Fläche.
$\operatorname {rot} {\vec {H}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\vec {j_{\mathrm {l} }}}\;+\;{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}$		$\Longleftrightarrow$	$\oint _{\partial A}\!\!\!{\vec {H}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=\iint _{A}\!{\vec {j}}_{\mathrm {l} }\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}\;\;+\;\;\iint _{A}\!{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}$

Siehe auch

• Maxwell-Gleichungen - Artikel in der deutschen Wikipedia