Krümmung

Dieser Artikel behandelt den mathematischen Begriff. Zum Begriff der Architektur siehe Kurvatur. Zur Kurvatur des Magens siehe Magen.

Krümmung ist ein Begriff aus der Mathematik, der in seiner einfachsten Bedeutung die lokale Abweichung einer Kurve von einer Geraden bezeichnet. Der gleiche Begriff steht auch für das Krümmungsmaß, welches für jeden Punkt der Kurve quantitativ angibt, wie stark diese lokale Abweichung ist.

Aufbauend auf dem Krümmungsbegriff für Kurven lässt sich die Krümmung einer Fläche im dreidimensionalen Raum beschreiben, indem man die Krümmung von Kurven in dieser Fläche untersucht. Ein gewisser Teil der Krümmungsinformation einer Fläche, die gaußsche Krümmung, hängt nur von der inneren Geometrie der Fläche ab, d. h. von der ersten Fundamentalform (bzw. dem metrischem Tensor), die festlegt, wie die Bogenlänge von Kurven berechnet wird.

Dieser intrinsische Krümmungsbegriff lässt sich verallgemeinern auf Mannigfaltigkeiten beliebiger Dimension mit einem metrischen Tensor. Auf solchen Mannigfaltigkeiten ist der Paralleltransport längs Kurven erklärt und die Krümmungsgrößen geben an, wie groß die Richtungsänderung von Vektoren beim Paralleltransport längs geschlossener Kurven nach einem Umlauf ist. Eine Anwendung ist die Allgemeine Relativitätstheorie, welche Gravitation als eine Krümmung der Raumzeit beschreibt. Noch allgemeiner lässt sich dieser Begriff auf Hauptfaserbündel mit Zusammenhang übertragen. Diese finden Anwendung in der Eichtheorie, in welcher die Krümmungsgrößen die Stärke der fundamentalen Wechselwirkungen (z. B. des elektromagnetischen Feldes) beschreiben.

Krümmung einer Fläche

Einer gewölbten regulären Fläche merkt man ihre Krümmung an einer nach außen quadratisch zunehmenden Abweichung der Fläche von ihrer Tangentialebene an. Eine verstärkte Krümmung macht sich dann als stärkere Abweichung von der Ebene bemerkbar.

In der Differentialgeometrie betrachtet man an jedem Punkt $p$ die Krümmungsradien der Schnittkurven mit den in $p$ errichteten Normalebenen (d. h. die Fläche senkrecht schneidenden Ebenen). Dabei wird den Krümmungsradien und Krümmungen das Vorzeichen bezüglich eines Einheitsnormalenvektorfeldes auf der Fläche, eingeschränkt auf die ebene Schnittkurve, zugeordnet. Unter diesen Krümmungsradien gibt es einen maximalen ($R_{1}$) und einen minimalen ($R_{2}$). Die Kehrwerte $k_{1}={\tfrac {1}{R_{1}}}$ und $k_{2}={\tfrac {1}{R_{2}}}$ werden als Hauptkrümmungen bezeichnet. Die entsprechenden Krümmungsrichtungen stehen senkrecht aufeinander.

Die gaußsche Krümmung $K$ und die mittlere Krümmung $H$ einer regulären Fläche in einem Punkt $p$ berechnen sich wie folgt:

$K={\frac {1}{R_{1}}}\cdot {\frac {1}{R_{2}}}=k_{1}\cdot k_{2}$

$H={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)={\frac {1}{2}}(k_{1}+k_{2})$

Die Gesamtkrümmung oder auch totale Krümmung einer Fläche ist das Integral der gaußschen Krümmung über diese Fläche:

$C=\int K\,dA=\int k_{1}k_{2}\,dA$

Krümmung in der riemannschen Geometrie

→ Hauptartikel: Riemannscher Krümmungstensor

Da riemannsche Mannigfaltigkeiten im Allgemeinen in keinen Raum eingebettet sind, wird in diesem Teilgebiet der Differentialgeometrie eine Krümmungsgröße gebraucht, die unabhängig von einem umgebenden Raum ist. Dazu wurde der riemannsche Krümmungstensor eingeführt. Dieser misst, inwieweit die lokale Geometrie der Mannigfaltigkeit von den Gesetzen der euklidischen Geometrie abweicht. Aus dem Krümmungstensor werden weitere Krümmungsgrößen abgeleitet. Die wichtigste Krümmung der riemannschen Geometrie ist die Schnittkrümmung. Diese abgeleitete Größe enthält alle Informationen, die auch im riemannschen Krümmungstensor enthalten sind. Andere einfachere abgeleitete Größen sind die Ricci-Krümmung und die Skalarkrümmung.

Eine Krümmung auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit zeigt sich beispielsweise, wenn man das Verhältnis zwischen Kreisumfang und Radius innerhalb der Mannigfaltigkeit ermittelt und zu dem Wert $2\pi$, den man in einem euklidischen Raum erhält, in Verhältnis setzt.

Bemerkenswert ist, dass man zum Beispiel auf der Oberfläche eines Torus eine Metrik definieren kann, die keine Krümmung aufweist. Dies lässt sich aus der Tatsache ableiten, dass man einen Torus als Quotientenraum aus einer ebenen Fläche bilden kann.

Anwendung in der Relativitätstheorie

→ Hauptartikel: Raumkrümmung

In der allgemeinen Relativitätstheorie wird die Gravitation durch eine Krümmung der Raum-Zeit beschrieben, die von den Massen der Himmelskörper verursacht wird. Körper und Lichtstrahlen bewegen sich auf den durch diese Krümmung bestimmten geodätischen Bahnen. Diese Bahnen erwecken den Anschein, dass eine Kraft auf die entsprechenden Körper ausgeübt werde.

Siehe auch

• Krümmung - Artikel in der deutschen Wikipedia

Literatur

• Wolfgang Walter: Analysis II. Springer, 1991, 2. Auflage, ISBN 3-540-54566-2, S. 171–174.
• Konrad Köngisberger: Analysis 1. 2-te Auflage, Springer, 1992, ISBN 3-540-55116-6, S. 238–41, 257.
• Ilja Nikolajewitsch Bronstein, Konstantin Adolfowitsch Semendjajew, Gerhard Musiol, Heiner Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, 7. Auflage 2008, ISBN 978-3-8171-2007-9, S. 251 ff (Auszug aus der englischen Ausgabe (Google))
• Matthias Richter: Grundwissen Mathematik für Ingenieure. Vieweg+Teubner 2001, 2. Auflage 2008, ISBN 978-3-8348-0729-8, S. 230 (Auszug (Google))
• A. Albert Klaf: Calculus Refresher. Dover 1956, ISBN 978-0-486-20370-6, S. 151–168 (Auszug (Google))
• James Casey: Exploring Curvature. Vieweg+Teubner, 1996, ISBN 978-3-528-06475-4.

Weblinks

Commons: Grafische Illustrationen der Krümmung von Kurven – Weitere Bilder oder Audiodateien zum Thema

• Animierte Illustrationen selbst erstellen: begleitendes Zweibein und Krümmungsfunktion (Maple-Worksheet)
• Eric W. Weisstein: Curvature. In: MathWorld (englisch).
• Curvature in der Encyclopaedia of Mathematics
• The History of Curvature (Memento vom 30. April 2013 im Internet Archive) (englisch)
• Curvature, Intrinsic and Extrinsic auf MathPages.com (englisch)