Koordinatensystem

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Krummlinige, affine und Kartesische Koordinaten

Ein Koordinatensystem wird in der Mathematik verwendet, um die Position in einem geometrischen n-dimensionalen Raum mittels eines n-Tupels von Zahlen, den Koordinaten, eindeutig zu kennzeichnen. Für n = 2 hat man es mit einer Ebene bzw. mit einer gekrümmten Fläche zu tun. Linien, auf denen bis auf jeweils eine alle anderen Koordinaten konstant sind, werden als Koordinatenlinien bezeichnet. Dabei wird grundsätzlich zwischen geradlinigen (affinen) und krummlinigen Koordinatensystemen unterschieden. Stehen die Koordinatenlinien überdies in jedem Punkt senkrecht aufeinander, so handelt es sich um ein orthogonales Koordinatensystem. Zur besseren Orientierung werden meist auch die durch den Koordinatenursprung (den Nullpunkt) verlaufenden Koordinatenachsen eingezeichnet.

Kartesisches Koordinatensystem

Das bekannte und im zwei- und dreidimensionalen Raum am häufigsten verwendete, nach René Descartes benannte kartesische Koordinatensystem ist ein geradliniges othogonales Koordinatensytem mit zwei bzw. drei senkrecht aufeinander stehenden Koordinatenachsen. In der Regel handelt es sich dabei um ein rechtshändiges Koordinatensystem, bei dem die horizontale x-Achse auch als Abszissenachse (von lat. linea abscissa „abgeschnittene Linie“) und die vertikale y-Achse als Ordinatenachse (von lat. linea ordinata „geordnete Linie“) bezeichnet wird.

Polarkoordinatensystem

Im zweidimensionalen Polarkoordinatensystem oder Kreiskoordinatensystem wird jeder Punkt einer gegebenen Ebene durch den Abstand von einem vorgegebenen festen Punkt - die Radialkoordinate LaTeX: r - und den Winkel zu einer festen Richtung - die Winkelkoordinate LaTeX: \phi beschrieben.

Ebene Polarkoordinaten und ihre Transformation in kartesische Koordinaten

Kugelkoordinatensystem

Das Kugelkoordinatensystem erweitert das Polarkoordinatensystem auf den dreidimensionalen euklidischen Raum, weshalb es auch als räumliches Polarkoordinatensystem bezeichnet wird. Jeder Punkt des Raumes wird dabei durch die die Radialkoordinate LaTeX: r, den Polarwinkel LaTeX: \theta oder LaTeX: \vartheta und den Azimutwinkel LaTeX: \varphi oder LaTeX: \phi eindeutig beschrieben.

Kugelkoordinaten  eines Punktes im Kugelkoordinatensytem

Koordinatentransformation

Durch eine geeignete Koordinatentransformation, meist durch durch Drehung (Rotation), Skalierung (Veränderung des Maßstabs), Scherung und Verschiebung (Translation) und ihre Kombinationen, können die Koordinaten eines Koordinatensystems in die eines anderen Koordinatensystems transformiert, d.h. umgewandelt werden.

Siehe auch