Koordinatensystem

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Krummlinige, affine und Kartesische Koordinaten

Ein Koordinatensystem wird in der Mathematik verwendet, um die Position in einem geometrischen n-dimensionalen Raum mittels eines n-Tupels von Zahlen, den Koordinaten, eindeutig zu kennzeichnen. Für n = 2 hat man es mit einer Ebene bzw. mit einer gekrümmten Fläche zu tun. Linien, auf denen bis auf jeweils eine alle anderen Koordinaten konstant sind, werden als Koordinatenlinien bezeichnet. Dabei wird grundsätzlich zwischen geradlinigen (affinen) und krummlinigen Koordinatensystemen unterschieden. Stehen die Koordinatenlinien überdies in jedem Punkt senkrecht aufeinander, so handelt es sich um ein orthogonales Koordinatensystem. Zur besseren Orientierung werden meist auch die durch den Koordinatenursprung (den Nullpunkt) verlaufenden Koordinatenachsen eingezeichnet.

Kartesisches Koordinatensystem

Das bekannte und im zwei- und dreidimensionalen Raum am häufigsten verwendete, nach René Descartes benannte kartesische Koordinatensystem ist ein geradliniges othogonales Koordinatensytem mit zwei bzw. drei senkrecht aufeinander stehenden Koordinatenachsen. In der Regel handelt es sich dabei um ein rechtshändiges Koordinatensystem, bei dem die horizontale x-Achse auch als Abszissenachse (von lat. linea abscissa „abgeschnittene Linie“) und die vertikale y-Achse als Ordinatenachse (von lat. linea ordinata „geordnete Linie“) bezeichnet wird.

Polarkoordinatensystem

Im zweidimensionalen Polarkoordinatensystem oder Kreiskoordinatensystem wird jeder Punkt einer gegebenen Ebene durch den Abstand von einem vorgegebenen festen Punkt - die Radialkoordinate LaTeX: r - und den Winkel zu einer festen Richtung - die Winkelkoordinate LaTeX: \phi beschrieben.

Ebene Polarkoordinaten und ihre Transformation in kartesische Koordinaten

Zylinderkoordinatensystem

Zylinderkoordinaten

Ein Zylinderkoordinatensystem ergänzt das Polarkoordinatensystem um eine Höhenkoordinate LaTeX: z und wird dadurch zu einem räumlichen Koordinatensystem. Die hier statt LaTeX: r verwendete Koordinate LaTeX: \rho beschreibt dabei den Abstand von der LaTeX: z-Achse. Zylinderkoordinaten lassen sich dann leicht nach folgenden Formeln in kartesische Koordinaten umrechnen:

LaTeX: x=\rho\,\cos\varphi
LaTeX: y=\rho\,\sin\varphi
LaTeX: z=z

Kugelkoordinatensystem

Das Kugelkoordinatensystem erweitert das Polarkoordinatensystem auf den dreidimensionalen euklidischen Raum, weshalb es auch als räumliches Polarkoordinatensystem bezeichnet wird. Jeder Punkt des Raumes wird dabei durch die die Radialkoordinate LaTeX: r, den Polarwinkel LaTeX: \theta oder LaTeX: \vartheta und den Azimutwinkel LaTeX: \varphi oder LaTeX: \phi eindeutig beschrieben.

Kugelkoordinaten  eines Punktes im Kugelkoordinatensytem

Sphärisches Koordinatensystem

Ein sphärisches Koordinatensystem beschreibt eindeutig alle Punkte, die auf der Kugeloberfläche liegen. In diesem Fall reicht die Angabe der beiden Winkelkoordinaten LaTeX:  \theta,\varphi , da hier die Radialkoordinate LaTeX: r konstant ist.

Geographisches Koordinatensystem

1 Breitenkreis
2 Meridian (halber Längenkreis)

Geographische Koordinaten beruhen auf einem sphärischen Koordinatensystem, mit dem sich jeder Punkt der kugelförmig gedachten Erdoberfläche eindeutig beschreiben lässt, insbesondere auch der eigene Standort eines Beobachters.

Die geographische Breite wird vom Äquator nach Norden (0° bis 90° Nord am Nordpol) und Süden (0° bis 90° Süd am Südpol) gemessen, die geographische Länge hingegen von dem willkürlich durch die Londoner Sternwarte Greenwich gelegten Nullmeridian von 0° bis 180° gegen Osten und von 0° bis 180° gegen Westen. Die parallel zum Äquator verlaufenden Breitenkreise sind Linien konstanter geographischer Breite, die Längenkreise sind Großkreise, die durch den Nord- und Südpol gehen. Ein halber Längenkreis, der von Pol zu Pol verläuft, wird als Meridian (von lat. circulus meridianus „Mittagskreis“) bezeichnet.

Astronomische Koordinatensysteme

Auch astronomische Koordinatensysteme beruhen auf einem Kugelkoordinatensystem.

Koordinatentransformation

Durch eine geeignete Koordinatentransformation, meist durch durch Drehung (Rotation), Skalierung (Veränderung des Maßstabs), Scherung und Verschiebung (Translation) und ihre Kombinationen, können die Koordinaten eines Koordinatensystems in die eines anderen Koordinatensystems transformiert, d.h. umgewandelt werden.

Generalisierte Koordinaten

Verallgemeinerte bzw. generalisierte Koordinaten, meist durch das Formelzeichen LaTeX: q bzw. LaTeX: q_i gekennzeichnet, dienen in der Physik dazu, den räumlichen Zustand eines Systems möglichst einfach eindeutig zu beschreiben. So kann etwa die Lage eines mathematischen Pendels allein durch den Auslenkwinkel LaTeX: \phi als generalisierte Koordinate eindeutig angegeben werden.

Siehe auch