Quadratische Gleichung

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, die sich in der Form

$ax^{2}+bx+c=0\quad$

mit $a\neq 0$ schreiben lässt. Hierbei sind $a,b,c$ Koeffizienten; $x$ ist die Unbekannte. Ist $b=0$, spricht man von einer reinquadratischen Gleichung.

Die linke Seite dieser Gleichung ist der Term einer quadratischen Funktion (allgemeiner ausgedrückt: ein Polynom zweiten Grades), $f(x)=ax^{2}+bx+c$; der Funktionsgraph dieser Funktion im Kartesischen Koordinatensystem ist eine Parabel. Geometrisch beschreibt die quadratische Gleichung $f(x)=0$ die Nullstellen dieser Parabel.

Allgemeine Form und Normalform

Die allgemeine Form der quadratischen Gleichung lautet

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\qquad (a\neq 0).}

Dabei heißt Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle ax^{2}} quadratisches Glied, $bx$ lineares Glied und $c$ konstantes Glied (oder auch Absolutglied) der Gleichung.

Die Gleichung ist in Normalform, falls $a=1$, also wenn das quadratische Glied den Koeffizient 1 hat. Aus der allgemeinen Form lässt sich die Normalform durch Äquivalenzumformungen gewinnen, indem durch $a\neq 0$ dividiert wird. Mit der Definition

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle p={\frac {b}{a}}}   und   $\displaystyle q={\frac {c}{a}}$

lässt sich die Normalform somit schreiben als

$x^{2}+px+q=0\,.$

Im Folgenden werden zunächst quadratische Gleichungen mit reellen Zahlen als Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ bzw. als $p$ und $q$ betrachtet.

Lösungen der quadratischen Gleichung mit reellen Koeffizienten

Eine Lösung der quadratischen Gleichung ist eine Zahl, die die Gleichung erfüllt, wenn sie für $x$ eingesetzt wird. Jede quadratische Gleichung hat, wenn man komplexe Zahlen als Lösungen zulässt, genau zwei (gegebenenfalls zusammenfallende) Lösungen, auch Wurzeln der Gleichung genannt. Betrachtet man nur die reellen Zahlen, so hat eine quadratische Gleichung null bis zwei Lösungen.

Anzahl der reellen Nullstellen

Die Anzahl der Lösungen lässt sich mit Hilfe der sog. Diskriminante Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle D} (von lateinisch „discriminare“ = „unterscheiden“) bestimmen. Im allgemeinen Fall ist $D=b^{2}-4ac$, im normierten Fall ist Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle D=p^{2}-4q} (zur Herleitung siehe unten):

Lage der Parabeln und Auswirkungen auf die Zahl der Nullstellen

Die Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen der Anzahl der reellen Nullstellen und der Diskriminante:

• (A) Diskriminante positiv: Die Parabel hat zwei Schnittpunkte mit der $x$-Achse, es gibt also zwei verschiedene reelle Nullstellen $x_{1}$ und $x_{2}$.
• (B) Diskriminante Null: Die Parabel hat genau einen Berührpunkt mit der $x$-Achse, nämlich ihren Scheitelpunkt. Es gibt somit genau eine (doppelte) reelle Lösung. Die quadratische Gleichung lässt sich auf die Form $ax^{2}+bx+c=a\cdot (x-x_{1})^{2}=0$ bringen.
• (C) Diskriminante negativ: Die Parabel hat keinen Schnittpunkt mit der $x$-Achse, es gibt keine reellen Lösungen der quadratischen Gleichung. Lässt man komplexe Zahlen als Grundmenge für die Lösungen zu, erhält man zwei verschiedene komplexe Lösungen. Diese sind zueinander konjugiert, das heißt, sie haben den gleichen Realteil und ihre Imaginärteile unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen.

Einfache Spezialfälle

Ist der Koeffizient des linearen Gliedes $b=0$ oder das absolute Glied $c=0$, so lässt sich die quadratische Gleichung durch einfache Äquivalenzumformungen lösen, ohne dass eine allgemeine Lösungsformel benötigt würde.

Fehlendes lineares Glied

Die reinquadratische Gleichung $ax^{2}+c=0$ mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a \neq 0} ist äquivalent zu

$x^{2}=-{\frac {c}{a}}\,.$

Die Lösungen lauten

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle x_{1,2}=\pm {\sqrt {-{\frac {c}{a}}}}\,.}

Im reellen Fall existieren für Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\tfrac {c}{a}}>0} keine reellen Lösungen. Die komplexen Lösungen sind dann

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle x_{1,2}=\pm \mathrm {i} {\sqrt {\frac {c}{a}}}.}

Zum Beispiel hat die Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2-3=0} die Lösungen $x_{1,2}=\pm {\sqrt {3}}$. Die Gleichung $2x^{2}+8=0$ hat keine reellen Lösungen, die komplexen Lösungen lauten Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle x_{1,2}=\pm 2\mathrm {i} } .

Fehlendes konstantes Glied

Aus der Gleichung $ax^{2}+bx=0$ ergibt sich durch Ausklammern Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle x(ax+b)=0} , d. h., es muss $x=0$ oder Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle ax+b=0} gelten. Die beiden Lösungen lauten also

$x_{1}=0$ und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle x_{2}=-{\tfrac {b}{a}}\,.}

Zum Beispiel hat die Gleichung Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle 3x^{2}-2x=0} die Lösungen $x_{1}=0$ und $x_{2}={\tfrac {2}{3}}$.

Gleichung in Scheitelpunktform

Die Scheitelpunktform

$a(x-d)^{2}+e=0$

ist eine Variation der reinquadratischen Gleichung $ax^{2}+c=0$. Sie kann wie diese durch „Rückwärtsrechnen“ gelöst werden: Zunächst subtrahiert man $e$ und dividiert durch $a$. Dies führt zu

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle (x-d)^{2}=-{\frac {e}{a}}} .

Für $-{\frac {e}{a}}\geq 0$ ergibt sich daraus

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle x-d={\sqrt {-{\frac {e}{a}}}}} oder $x-d=-{\sqrt {-{\frac {e}{a}}}}$.

Durch Addition von Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle d} erhält man die Lösungen

$x_{1}=d+{\sqrt {-{\frac {e}{a}}}}$ und $x_{2}=d-{\sqrt {-{\frac {e}{a}}}}$.

Für Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle -{\frac {e}{a}}<0} erhält man entsprechend die beiden komplexen Lösungen

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle x_{1}=d+\mathrm {i} {\sqrt {\frac {e}{a}}}} und $x_{2}=d-\mathrm {i} {\sqrt {\frac {e}{a}}}$.

Lösen mit quadratischer Ergänzung

Beim Lösen mit quadratischer Ergänzung werden die binomischen Formeln benutzt, um eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form oder in Normalform auf die Scheitelpunktform zu bringen, die dann einfach aufgelöst werden kann.

Man verwendet die erste bzw. zweite binomische Formel in der Form Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle (x\pm d)^{2}=x^{2}\pm 2dx+d^{2}} . Dazu wird die quadratische Gleichung so umgeformt, dass die linke Seite die Form Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle x^{2}\pm 2dx} hat. Danach wird auf beiden Seiten $d^{2}$ addiert. Dies ist die „quadratische Ergänzung“. Die linke Seite hat nun die Gestalt $x^{2}\pm 2dx+d^{2}$ und kann mit der binomischen Formel zu $(x\pm d)^{2}$ umgeformt werden. Danach liegt die Gleichung in der leicht aufzulösenden Scheitelpunktform vor.

Dies wird am besten anhand eines konkreten Zahlenbeispiels erklärt. Betrachtet wird die quadratische Gleichung

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle 3x^{2}-15x+18=0}

Zunächst wird die Gleichung normiert, indem man durch den Leitkoeffizienten (hier 3) dividiert:

$x^{2}-5x+6=0$

Das konstante Glied (hier 6) wird auf beiden Seiten subtrahiert:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle x^{2}-5x=-6}

Nun folgt die eigentliche quadratische Ergänzung: Die linke Seite muss so ergänzt werden, dass sich eine binomische Formel (hier die zweite) rückwärts anwenden lässt. Das Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle d} aus der obigen binomischen Formel ist dann Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\tfrac {5}{2}}} , also muss auf beiden Seiten der Gleichung $d^{2}=\left({\tfrac {5}{2}}\right)^{2}$ addiert werden:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle x^{2}-5x+\left({\frac {5}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {5}{2}}\right)^{2}-6}

Die linke Seite wird nach der binomischen Formel umgeformt, die rechte Seite vereinfacht:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \left(x-{\frac {5}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{4}}}

Dies führt zu

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle x-{\frac {5}{2}}=\pm {\frac {1}{2}}} ,

also zu den beiden Lösungen $x_{1}={\frac {5}{2}}+{\frac {1}{2}}=3$ und $x_{2}={\frac {5}{2}}-{\frac {1}{2}}=2$.

Allgemeine Lösungsformeln

Man kann quadratische Gleichungen auch lösen, indem man eine der mit Hilfe der quadratischen Ergänzung hergeleiteten allgemeinen Lösungsformeln verwendet.

Lösungsformel für die allgemeine quadratische Gleichung (a-b-c-Formel)

Die Lösungen der allgemeinen quadratischen Gleichung $ax^{2}+bx+c=0$ lauten:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}

Die Formel wird in Teilen Deutschlands und der Schweiz umgangssprachlich als „Mitternachtsformel“ bezeichnet, weil Schüler sie aufsagen können sollen, selbst wenn man sie um Mitternacht weckt und nach der Formel fragt. In Österreich ist der Ausdruck große Lösungsformel gebräuchlich.

Wenn man die Gleichung in der Form

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle ax^{2}+2\beta x+c=0}

angibt (d. h. mit Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \beta =b/2} ), erhält man die etwas einfachere Lösungsformel

$x_{1,2}={\frac {-\beta \pm {\sqrt {\beta ^{2}-ac}}}{a}}$

Lösung der a-b-c-Formel bei negativer Diskriminante

Ist die oben eingeführte Diskriminante $D=b^{2}-4ac$ negativ, so ist für die Lösungen die Wurzel einer negativen Zahl zu berechnen. Im Zahlbereich der reellen Zahlen gibt es hierfür keine Lösungen. Im Bereich der komplexen Zahlen gilt Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\sqrt {D}}=i{\sqrt {-D}}} . Dieser Term bestimmt den Imaginärteil der beiden zueinander konjugierten Lösungen, einmal mit positivem, einmal mit negativem Vorzeichen. Der Term davor mit Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle -{\tfrac {b}{2a}}} wird zum konstanten Realteil der beiden Lösungen:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle x_{1,2}=-{\frac {b}{2a}}\pm i\cdot {\frac {\sqrt {4ac-b^{2}}}{2a}}} (komplexer Fall bei negativer Diskriminante).

Herleitung der a-b-c-Formel

Aus der allgemeinen Form ergibt sich durch Umformen nach dem Verfahren der quadratischen Ergänzung:

${\begin{array}{rcll}ax^{2}+bx+c&=&0&|-c\\[1ex]ax^{2}+bx&=&-c&|{}\cdot 4a\\[1ex]4a^{2}x^{2}+4abx&=&-4ac&|+b^{2}{\text{ (quadratische Ergänzung)}}\\[1ex](2ax)^{2}+2\cdot 2ax\,b+b^{2}&=&b^{2}-4ac&|{\text{ Umformen mit binomischer Formel}}\\[1ex](2ax+b)^{2}&=&b^{2}-4ac&|\pm {\sqrt {\quad }}\\[1ex]2ax+b&=&\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}&|-b\\[1ex]2ax&=&-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}&|:(2a)\\[1ex]x&=&{\dfrac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}&\end{array}}$

Lösungsformel für die Normalform (p-q-Formel)

Bei Vorliegen der Normalform $x^{2}+px+q=0$ lauten die Lösungen nach der p-q-Formel

$x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}\,.$

In Österreich ist diese Formel als kleine Lösungsformel bekannt.

Lösung der p-q-Formel bei negativer Diskriminante

Wie bei der a-b-c-Formel gibt es, wenn Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}D=\left({\tfrac {p}{2}}\right)^{2}-q} negativ ist, im Zahlbereich der reellen Zahlen keine Lösungen. Die komplexen Lösungen ergeben sich dann zu:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm i\cdot {\sqrt {q-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}}}}

Herleitung der p-q-Formel

Die Formel ergibt sich aus der Normalform der quadratischen Gleichung durch quadratische Ergänzung: Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\begin{array}{rcll}x^{2}+px+q&=&0&|-q\\[1ex]x^{2}+px&=&-q&|+\left({\dfrac {p}{2}}\right)^{2}{\text{ (quadratische Ergänzung)}}\\[1ex]x^{2}+2\cdot {\dfrac {p}{2}}\ x+\left({\dfrac {p}{2}}\right)^{2}&=&\left({\dfrac {p}{2}}\right)^{2}-q&|{\text{ binomische Formel}}\\[1ex]\left(x+{\dfrac {p}{2}}\right)^{2}&=&\left({\dfrac {p}{2}}\right)^{2}-q&|\pm {\sqrt {\ }}\\[1ex]x+{\dfrac {p}{2}}&=&\pm {\sqrt {\left({\dfrac {p}{2}}\right)^{2}-q}}&|-{\dfrac {p}{2}}\\[1ex]x&=&-{\dfrac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\dfrac {p}{2}}\right)^{2}-q}}\end{array}}}

Eine andere Möglichkeit, die Formel herzuleiten, besteht darin, dass man in der a-b-c-Formel $a=1$, Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle b=p} und $c=q$ setzt und den Nenner 2 in die Wurzel hineinzieht.

Zerlegung in Linearfaktoren

Mit den Lösungen lässt sich das quadratische normierte Polynom in Linearfaktoren zerlegen:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle x^{2}+px+q=(x-x_{1})\cdot (x-x_{2})}

und das nicht normierte in

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\cdot (x-x_{1})\cdot (x-x_{2})}

Satz von Vieta

Liegt die quadratische Gleichung in Normalform vor und hat die Lösungen $x_{1}$ und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2} , so gilt

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0=x^2+px+q=( x -x_1 ) \cdot ( x - x_2 ) = x^2 - (x_1 + x_2) x + x_1 x_2} .

Durch Koeffizientenvergleich erhält man den Satz von Vieta

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \, x_1 + x_2 = -p}   und   Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 \cdot x_2 = q} .

Insbesondere wenn Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q} ganze Zahlen sind, lassen sich so durch Ausprobieren, ob Teilerpaare von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q} als Summe Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -p} ergeben, mit einiger Übung oft die Lösungen rasch finden. Beispielsweise erhält man für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2 + 4x + 3 = 0} die Lösungen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 = -1} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 = -3} durch die Zerlegung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3 = (-1)(-3)} mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (-1) + (-3) = -4} .

Numerische Berechnung

Wenn die Lösungen numerisch ermittelt werden und sich um Größenordnungen voneinander unterscheiden, kann durch folgende Variation der obigen Formeln das Problem der Auslöschung vermieden werden:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 = - \frac{p}{2} - \sgn(p) \cdot \sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q }}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 = \frac{q}{x_1} }

Hierbei hat Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sgn(p)} den Wert Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -1} für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p < 0} und sonst den Wert Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1} . Die zweite Formel beruht auf dem Satz von Vieta.

Beispiel

Für die Gleichung

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4x^2 - 12x - 40 = 0}

ergeben sich als Lösungen nach der a-b-c-Formel

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_{1,2} = \frac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^2-4 \cdot 4 \cdot (-40)}}{2 \cdot 4},}

also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 = -2} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 = 5} .

Zur Nutzung der p-q-Formel wird die allgemeine Form zuerst in die Normalform überführt, indem die Gleichung durch 4 dividiert wird:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2 - 3x - 10 = 0}

Es ergeben sich nach der p-q-Formel die Lösungen

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_{1,2} = - \frac{-3}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-3}{2}\right)^2 - (-10)},}

also somit ebenfalls Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 = -2} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 = 5} .

Mit Hilfe der Zerlegungen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -10 = (-2) \cdot 5} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5 - 2 = 3} erhält man dieselben Lösungen mit dem Satz von Vieta.

Weitere Beispiele

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2 + 2x - 35 = 0\ }	Für die Diskriminante Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D } gilt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D>0 } . Es ergeben sich die beiden reellen Lösungen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_{1}= -7 } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_{2}= 5 }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2 - 4x + 4 = 0\ }	Die Diskriminante ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D=0 } . Die (doppelte) reelle Lösung ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x= 2 } .
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2 + 12x + 37 = 0\ }	Es gibt keine reellen Lösungen, denn die Diskriminante ist negativ. Die komplexen Lösungen ergeben sich zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_{1}= -6+i } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_{2}= -6-i } .

Verallgemeinerungen

Komplexe Koeffizienten

Die quadratische Gleichung

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a z^2 + b z + c = 0}

mit komplexen Koeffizienten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a, b, c \in \Complex} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a \neq 0} hat stets zwei komplexe Lösungen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z_1, z_2 \in \Complex} , die genau dann zusammenfallen, wenn die Diskriminante Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b^2-4ac} gleich null ist.

Die Lösungen lassen sich wie im reellen Fall durch quadratische Ergänzung oder mit den oben angegebenen Lösungsformeln berechnen. Dabei muss allerdings im Allgemeinen eine Quadratwurzel einer komplexen Zahl berechnet werden.

Beispiel

Für die quadratische Gleichung

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z^2-(\mathrm i+1)z+\mathrm i = 0\ }

hat die Diskriminante den Wert Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D=-2 \mathrm i=(\mathrm i-1)^2} . Es ergeben sich die beiden Lösungen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z_1 = 1} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z_2 = \mathrm i} .

Quadratische Gleichungen in allgemeinen Ringen

Allgemein nennt man in der abstrakten Algebra eine Gleichung der Form

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2 + px + q = 0}

mit Elementen p, q eines Körpers oder Rings eine quadratische Gleichung. In Körpern und allgemeiner in Integritätsbereichen hat sie höchstens zwei Lösungen, in beliebigen Ringen kann sie mehr als zwei Lösungen haben.

Falls Lösungen existieren, dann erhält man sie in kommutativen Ringen ebenfalls mit der p-q-Formel, falls die Charakteristik des Ringes ungleich 2 ist. Hierbei sind allerdings alle möglichen Quadratwurzeln der Diskriminante zu berücksichtigen. Für einen endlichen Körper Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb F_{2^n}\cong \mathbb F_2(\varrho)} der Charakteristik 2 macht man den Ansatz Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = \textstyle\sum_{i=0}^{n-1} a_i \varrho^i} und gelangt mittels Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2 = \textstyle\sum_{i=0}^{n-1} a_i \varrho^{2i}} zu einem linearen Gleichungssystem für die n Koeffizienten a_i aus Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb F_2} .

Beispiel

Die quadratische Gleichung

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2 - 1 = 0}

hat im Restklassenring Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Z/8\Z} die vier Lösungen 1, 3, 5 und 7.

Geschichte

Bereits vor 4000 Jahren im Altbabylonischen Reich wurden quadratische Gleichungen gelöst, beispielsweise auf folgende Art: Die quadratische Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2 + p = sx} ist äquivalent dem Gleichungssystem Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle xy = p} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x+y = s } . Für x wird nun der Ansatz Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = \tfrac{s}{2}+e} bzw. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = \tfrac{s}{2}-e} gemacht. Für das Produkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} ergibt sich

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p = xy = \left(\frac{s}{2}+e\right)\cdot\left(\frac{s}{2}-e\right) = \left(\frac{s}{2}\right)^2 - e^2} .

Auflösen der binomischen Formel liefert

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e = \sqrt{\frac{1}{4}s^2 - p}} .

Mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e} ist damit auch die Lösung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} der quadratischen Gleichung bestimmt. Als Beispiel wird die Gleichung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2 + 210 = 29x } besprochen. Diese ist äquivalent dem Gleichungssystem Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p = xy = 210 } und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s = x+y = 29} . Der oben genannte Ansatz liefert

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e = \sqrt{\frac{1}{4}s^2 - 210} = \frac{1}{2}.}

Für die Lösung der quadratischen Gleichung ergibt sich

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = \frac{s}{2}+e = \frac{29}{2} + \frac{1}{2} = 15} .

Die Griechen kannten keine negativen Zahlen und mussten für die quadratische Gleichung mehrere Fallunterscheidungen durchführen. Gleichungen der Art

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2 +ax = a^2}

werden bei Euklid (II 11) geometrisch gelöst; die Formen

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ax^2 +c = bx} bzw. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ax^2 + bx = c}

in Euklid (VI 28) bzw. (VI 29).

Bei Aryabhata und Brahmagupta wird etwa um 628 n. Chr. die Lösung der Gleichung

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2+px = q}

mit Worten beschrieben. Wie man aus dem Bild (links) ersieht, gilt die folgende Zerlegung des Quadrats:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2+4x\frac{p}{4}+4\left(\frac{p}{4}\right)^2 = q+\left(\frac{p}{2}\right)^2 = \left(x+\frac{p}{2}\right)^2} .

Dies liefert sofort die Lösung in heutiger Schreibweise als

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2+q}-\frac{p}{2} } .

Al-Chwarizmi stellte als Erster ungefähr um 825 n. Chr. in dem Buch al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-ʾl-muqābala („Das kurzgefasste Buch über die Rechenverfahren durch Ergänzen und Ausgleichen“) sechs verschiedenen Typen von quadratischen Gleichungen dar. Die Notwendigkeit von verschiedenen Typen entsteht aus der Nichtkenntnis von negativen Zahlen und der Null. Er gab zu allen Typen anhand eines Zahlenbeispiels ein geometrisches Lösungsverfahren an, wodurch nur positive Lösungen möglich waren.

Die sechs Typen stellte er als Text dar. Dabei bedeutet Wurzel die gesuchte Lösung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} und Vermögen das Quadrat der Lösung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2 } :

• Was anlangt die Vermögen, die gleich sind den Wurzeln (heute: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ax^2=bx} ),
• Was anlangt die Vermögen, die gleich sind der Zahl (heute: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ax^2=c} ),
• Was anlangt die Wurzeln, die gleich sind einer Zahl (heute: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle bx = c} ),
• Was anlangt die Vermögen und die Wurzeln, die gleich sind der Zahl (heute: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ax^2 + bx = c} ),
• Was anlangt die Vermögen und die Zahl, die gleich sind den Wurzeln (heute: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ax^2 + c = bx} ) und
• Was anlangt die Wurzeln und die Zahl, die gleich sind dem Vermögen (heute: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ax^2 = bx + c} ).

Dabei stehen a,b und c für nichtnegative Koeffizienten und x für die gesuchte Lösung.

Als Beispiel soll die Gleichung, wie sie bei al-Chwarizmi auftritt,

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2 + 10x = 39}

als Spezialfall von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2 + bx = c } mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b,c > 0} geometrisch gelöst werden (siehe Bild). Man fasst dazu die linke Seite der Gleichung auf als ein Quadrat EFIH der Seitenlänge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} (und somit der Fläche Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2} ) und zwei Rechtecke DEHG und BCFE mit den Seiten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} (und somit jeweils der Fläche Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5x} ). Das Quadrat und die beiden Rechtecke werden wie im Bild gezeigt zu einem Gnomon mit den Eckpunkten BCIGDE zusammengesetzt. Dieses Gnomon hat nach Voraussetzung eine Fläche von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2 + 10x = 39} . Ergänzt man es mit dem Quadrat ABED der Seitenlänge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5} (und somit der Fläche Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 25} ) zu dem Quadrat ACIG, so besitzt dieses die Fläche Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 39 + 25 = 64} . Andererseits hat aber dieses Quadrat ACIG nach Konstruktion die Seitenlänge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5+x} und somit den Flächeninhalt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (5+x)^2} . Wegen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 64=8^2} schließt man Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5+x=8} und somit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=3} . Die quadratische Gleichung wird also »quadratisch ergänzt« zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x+5)^2 = 64} mit der (positiven) Lösung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=3} . Man beachte, dass man mit dieser geometrischen Methode nicht die negative Lösung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=-13} erhält.

Bei Heron von Alexandria und auch bei al-Chwarizmi wird die Lösung von

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ax^2+bx = c}

verbal beschrieben; in heutiger Schreibweise als

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = \frac{\sqrt{ac+\left(\frac{b}{2}\right)^2} -\frac{b}{2}}{a}} .

Allerdings schiebt Heron den euklidischen Weg als geometrische Begründung nach.

Um 1145 übersetzte Robert von Chester und etwas später Gerhard von Cremona die Schriften von al-Chwarizmi ins Lateinische.

Dadurch gelangte die Klassifizierung und die geometrischen Lösungsmethoden nach Europa.

Michael Stiefel verfasste 1544 n. Chr. das Buch "Arithmetica integra", das auf das Buch "Behend vnnd Hubsch Rechnung durch die kunstreichen regeln Algebre so gemeincklich die Coss genennt werden" von Christoph Rudolff aufbaut. Es gelingt dem Autor durch Verwendung negativer Zahlen die Fallunterscheidung für quadratische Gleichungen zu vermeiden. Aber er lässt negative Zahlen noch nicht als Lösungen zu, da er sie als absurd empfindet.

Einen neuen Ansatz zur Lösung einer quadratischen Gleichung bot der Wurzelsatz von Vieta, der posthum 1615 in seinem Werk De Aequationem Recognitione et Emendatione Tractatus duo publiziert wurde.

Im Jahr 1637 beschrieb René Descartes in seiner Schrift La Géométrie eine Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen mit Zirkel und Lineal. Er zeigte weiter, dass Gleichungen höheren Grades im Allgemeinen nicht ausschließlich mit Zirkel und Lineal gelöst werden können.

Siehe auch

• Quadratische Gleichung - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Lineare Gleichung - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Kubische Gleichung - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Quartische Gleichung - Artikel in der deutschen Wikipedia

Literatur

• Bartel Leendert van der Waerden: Erwachende Wissenschaft. Band 1: „Ägyptische, babylonische und griechische Mathematik“. 2. Auflage. Birkhäuser 1966.

Weblinks

Commons: Quadratische Gleichung – Weitere Bilder oder Audiodateien zum Thema

• Video: Vom Lösen quadratischer Gleichungen - pq-Formel und Mitternachtsformel und der Satz von VIETA. Jakob Günter Lauth (SciFox) 2013, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/17884.