Formelsammlung Relativitätstheorie

SRT (Spezielle Relativitätstheorie)

Gebräuchliche Abkürzungen

Geschwindigkeit v relativ zur Lichtgeschwindigkeit c:

Lorentzfaktor $\beta$

$\beta :=\frac{v}{c}$

Lorentzfaktor $\alpha$ oder Zeitdehnungsfaktor

$\alpha :=\sqrt{1-{\beta }^2}=\sqrt{1-v^2/c^2}.$

Lorentzfaktor $\gamma$

$\gamma :=\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$.

Galilei-Transformation

Die Galileitransformation unterstellt eine unbegrenzte Lichtgeschwindigkeit und ist daher nur für Relativgeschwindigkeiten |v| < 0,1 c eine gute Näherung. Da v' = -v:

Galilei-Tranformation in $x$-Richtung	Inverse Galilei-Transformation
$t^{\prime }=t$ $x^{\prime }=x-v\cdot t$ $y^{\prime }=y$ $z^{\prime }=z$	$t=t^{\prime }$ $x=x^{\prime }+v\cdot t^{\prime }$ $y=y^{\prime }$ $z=z^{\prime }$

Lorentz-Transformation

Lorentz-Transformation in $x$-Richtung	Inverse Lorentz-Transformation
$t^{\prime }=(t-\frac{v}{c^2}\cdot x)/\sqrt{1-(v/c{)}^2}$ $x^{\prime }=(x-v\cdot t)/\sqrt{1-(v/c{)}^2}$ $y^{\prime }=y$ $z^{\prime }=z$	$t=(t^{\prime }+\frac{v}{c^2}\cdot x^{\prime })\cdot \sqrt{1-(v/c{)}^2}$ $x=(x^{\prime }+v\cdot t^{\prime })\cdot \sqrt{1-(v/c{)}^2}$ $y=y^{\prime }$ $z=z^{\prime }$

Zeitdilatation

→ Hauptartikel: Zeitdilatation

Für die Zeitdilatation eines bewegten Körpers ergibt sich:

$T^{\prime }=T_0\cdot \sqrt{1-v^2/c^2}$.

$T_0=T^{\prime }/\sqrt{1-v^2/c^2}$.

Es gilt die Äquivalenzumformung.

In alter Schreibweise

Eine etwas andere, lange Zeit gebräuchliche Schriebweise ist dies:

$\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=\mathrm{\Delta }t\cdot \sqrt{1-v^2/c^2}$.

$\mathrm{\Delta }t=\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }/\sqrt{1-v^2/c^2}$.

Es gilt wieder die Äquivalenzumformung.

Längenkontraktion

→ Hauptartikel: Längenkontraktion

Die Längenkontraktion wirkt sich ausschließlich in Richtung der radialen Relativbewegung zum Beobachter aus. Für die Längenkontraktion (Eigenlänge) eines bewegten Körpers ergibt sich:

$L^{\prime }=L_0\cdot \sqrt{1-v^2/c^2}$.

$L_0=L^{\prime }/\sqrt{1-v^2/c^2}$.

Es gilt wieder die Äquivalenzumformung.

In alter Schreibweise

Eine etwas andere, lange Zeit gebräuchliche Schriebweise ist dies:

$l^{\prime }=l\cdot \sqrt{1-v^2/c^2}$.

$l=l^{\prime }/\sqrt{1-v^2/c^2}$.

Es gilt wieder die Äquivalenzumformung.

Rot-/Blauverschiebung

Die Frequenzänderung setzt sich aus Zeitdilatation und Dopplerfaktor zusammen. Der Effekt des Dopplerfaktors überwiegt dabei.

$k=f/f^{\prime }=k_{\gamma }\cdot k_{dop}$

mit f beobachtete Frequenz und f' Originalfrequenz

Die Zeitdilatation bewirkt immer eine leichte Rotverschiebung und ist von der Richtung der Bewegung unabhängig.

$k_{\gamma }:=1/\gamma =\sqrt{1-{\beta }^2}$

Der Dopplereffekt ist allein von der radialen Relativbewegung abhängig und richtungsabhängig (vorzeichenbehaftet):

$k_{dop}:=1/(1+{\beta }_{rad})$

Bei Annäherung zum Beobachter (v < 0) ergibt der Dopplereffekt eine Blauverschiebung:

$k_{blue}=1/(1-|{\beta }_{rad}|)=1/(1-|v_{rad}|/c)$ insgeamt also $k=\frac{\sqrt{1-{\beta }^2}}{1-|{\beta }_{rad}|}$

Bei Entfernung vom Beobachter (v > 0) ergibt der Dopplereffekt eine Rotverschiebung:

$k_{red}=1/(1+{\beta }_{rad})=1/(1+v_{rad}/c)$ insgeamt also $k=\frac{\sqrt{1-{\beta }^2}}{1+{\beta }_{rad}}$

Der z-Faktor ergibt sich aus

$z:=k-1$

Relativistische Addition der Geschwindigkeiten

→ Hauptartikel: Relativistische Addition der Geschwindigkeiten

Klassische Addition der Geschwindigkeiten

Für die klassische Addition zweier Relativgeschwindigkeiten ergibt sich:

$v_{ges}=v_1+v_2$

Relativistische Addition der Geschwindigkeiten

Für die relativistische Addition zweier Relativgeschwindigkeiten ergibt sich:

$v_{ges}=\frac{v_1+v_2}{1+\frac{v_1\cdot v_2}{c^2}}$

Relativistischer Impuls

Für den relativistischen Impuls ergibt sich:

$\overrightarrow{p}(v)=\gamma \cdot m_0\cdot \overrightarrow{v}$

• $\gamma :$ Lorentzfaktor
• $m_0:$ Ruhemasse
• $\overrightarrow{v}:$ Geschwindigkeit

Relativistische Masse

Relativistische Masse (veralteter Begriff und sollte grundsätzlich nicht verwendet werden):

$M(v)=\gamma \cdot m_0.$

• $\gamma :$ Lorentzfaktor
• $m_0:$ Ruhemasse

Äquivalenz von Masse und Energie

→ Hauptartikel: Äquivalenz von Masse und Energie

Einsteins Energieformel:

$E=M(v)\cdot c^2=\gamma \cdot m_0\cdot c^2.$

• $E:$ Gesamtenergie (Ruheenergie+kinetische Energie),

• $M(v):$ relativistische Masse in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit,

• $m_0:$ Ruhemasse.

Isometriegruppen

Definition. Eine Raumzeit-Isometrie ist eine Funktion $f$, die einem Ereignis $x=(ct,x,y,z{)}^T$ der Raumzeit ein anderes Ereignis $f(x)=(c{t}^{\prime },x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }{)}^T$ zuordnet, so dass gilt:

$\mathrm{\forall }x,y\in {\mathbb{ℝ}}^4:q(f(x)-f(y))=q(x-y),$

wobei $q(x):=(ct{)}^2-x^2-y^2-z^2$ die quadratische Form ist.

Gruppe der Translationen

Gruppe der Translationen:

$T:=\{T\mid T(x)=x+a,T:{\mathbb{ℝ}}^4\to {\mathbb{ℝ}}^4,a\in {\mathbb{ℝ}}^4\}.$

Gruppe der Rotationen

Rotationsmatrizen:

$R=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& r_{11}& r_{12}& r_{13}\\ 0& r_{21}& r_{22}& r_{23}\\ 0& r_{31}& r_{32}& r_{33}\end{array}\right),(r_{ij})\in \mathrm{S}\mathrm{O}(3).$

Die Gruppe aller Rotationsmatrizen $R$ ist trivial isomorph zur $\mathrm{S}\mathrm{O}(3)$ und wird zur Unterscheidung als $\mathrm{S}\mathrm{O}(3)(4\times 4)$ notiert.

Die $\mathrm{S}\mathrm{O}(3)(4\times 4)$ ist eine Untergruppe der Lorentz-Gruppe.

Lorentz-Gruppe

Lorentz-Gruppe:

$O(1,3):=\{\mathrm{\Lambda }\in {\mathbb{ℝ}}^{4\times 4}\mid \mathrm{\forall }x,y\in {\mathbb{ℝ}}^4:⟨\mathrm{\Lambda }x,\mathrm{\Lambda }y⟩=⟨x,y⟩\}.$

Die Lorentz-Gruppe ist die Gruppe aller Lorentz-Transformationen.

Die Lorentz-Transformationen sind Isometrien:

$\mathrm{\forall }\mathrm{\Lambda }\in O(1,3):q(\mathrm{\Lambda }x-\mathrm{\Lambda }y)=q(x-y)$.

Aus der Definition folgt $q(x^{\prime })=q(x)$ mit $x^{\prime }:=\mathrm{\Lambda }x$. Ausgeschrieben:

$c^2\cdot t{\text{'}}^2-x{\text{'}}^2-y{\text{'}}^2-z{\text{'}}^2=c^2\cdot t^2-x^2-y^2-z^2$

bzw.

$x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2+z{\text{'}}^2-c^2\cdot t{\text{'}}^2=x^2+y^2+z^2-c^2\cdot t^2$

bzw. (unter Verwendung der imaginären Einheit)

$x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2+z{\text{'}}^2+{\mathrm{i}}^2\cdot c^2\cdot t{\text{'}}^2=x^2+y^2+z^2+{\mathrm{i}}^2\cdot c^2\cdot t^2.$

In der Einheitsform schreibt es sich vereinfachend "so":

$x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2+z{\text{'}}^2+{\mathrm{i}}^2\cdot c^2\cdot t{\text{'}}^2=0$.

oder:

$x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2+z{\text{'}}^2=c^2\cdot t{\text{'}}^2$

Wir erkennen darin den Satz des Pythagoras auf drei Raumdimensionen angewandt.

Poincaré-Gruppe

Affine Abbildungen:

$T(x)=\mathrm{\Lambda }x+a,;T:{\mathbb{ℝ}}^4\to {\mathbb{ℝ}}^4,a\in {\mathbb{ℝ}}^4,\mathrm{\Lambda }\in {\mathbb{ℝ}}^{4\times 4}.$

Poincaré-Gruppe:

$E(1,3):=\{T\mid T\text{ist affin und}\mathrm{\forall }x,y\in {\mathbb{ℝ}}^4:q(T(x)-T(y))=q(x-y)\}.$

Die Lorentz-Gruppe ist eine Untergruppe der Poincaré-Gruppe, genauer: der Stabilisator bei $x=0$. Das sind alle Poincaré-Transformationen mit $a=0$. Die Gruppe der Translationen ist eine Untergruppe der Poincaré-Gruppe und besteht aus allen Poincaré-Transformationen mit $\mathrm{\Lambda }=0$.

ART (Allgemeine Relativitätstheorie)

Die folgenden Formeln gelten gegenüber dem Beobachter im Unendlichen, ohne eigene gravitative Raumkrümmung. Während die relativistischen Wirkungen bei der SRT relativ sind, also für jeden Beobachter aus seiner Sicht zu berechnen sind, sind sich die Beobachter über die relativen Wirkungen der ART einig.

Dem Lorentzfaktor der SRT vergleichbar erscheint in der ART der Faktor:

${\gamma }_G=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2\cdot G\cdot M}{r\cdot c^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{r_S}{r}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v_f^2}{c^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2\cdot v_o^2}{c^2}}}$

• $M=\text{Zentralmasse}$ mit SI-Einheit kg
• $c=\text{Lichtgeschwindigkeit im flachen Vakuum}$ mit SI-Einheit $2,99792458\cdot 10^8$ m/s
• $G=\text{Gravitationskonstante}$ mit SI-Einheit $6,67408\cdot 10^{-11}$ m³/s²kg
• $r=\text{Abstand vom Gravizentrum}$ mit SI-Einheit m
• $r_S=2\cdot G\cdot M/c^2=\text{Schwarzschildradius}$ mit SI-Einheit m
• $v_f=c\sqrt{r_S/r}=\text{Fluchtgeschwindigkeit (klassisch)}$ mit SI-Einheit m/s
• $v_o=c\sqrt{r_S/2r}=\text{Orbitalgeschwindigkeit (klassisch)}$ mit SI-Einheit m/s

Gravitations-Zeitdilatation (Näherung)

→ Hauptartikel: Gravitations-Zeitdilatation

Für die Gravitations-Zeitdilatation ergibt sich folgende Näherung:

$\mathrm{\Delta }{\tau }_o=\mathrm{\Delta }{t}_{\mathrm{\infty }}\cdot \sqrt{1-\frac{2\cdot G\cdot M}{r\cdot c^2}}=\mathrm{\Delta }{t}_{\mathrm{\infty }}\cdot \sqrt{1-\frac{r_S}{r}}$

$\mathrm{\Delta }{t}_{\mathrm{\infty }}=\mathrm{\Delta }{\tau }_o\cdot \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2\cdot G\cdot M}{r\cdot c^2}}}=\mathrm{\Delta }{\tau }_o\cdot \frac{1}{\sqrt{1-\frac{r_S}{r}}}$

• $t_{\mathrm{\infty }}=\text{Koordinatenzeit}$
• ${\tau }_o=\text{Ortszeit beim Radius}r$

Gravitations-Längenkontraktion (Näherung)

→ Hauptartikel: Gravitations-Längenkontraktion

Die Längenkontraktion wirkt sich ausschließlich in radialer Richtung zum Gravitationsfeld aus. Für die Gravitations-Längenkontaktion ergibt sich folgende Näherung:

$L_0=L_{\mathrm{\infty }}\cdot \sqrt{1-\frac{2\cdot G\cdot M}{r\cdot c^2}}=L_{\mathrm{\infty }}\cdot \sqrt{1-\frac{r_S}{r}}$

$L_{\mathrm{\infty }}=L_0\cdot \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2\cdot G\cdot M}{r\cdot c^2}}}=L_0\cdot \frac{1}{\sqrt{1-\frac{r_S}{r}}}$

• $t_{\mathrm{\infty }}=\text{Koordinatenzeit}$
• ${\tau }_o=\text{Ortszeit beim Radius}r$

Gravitations-Blauverschiebung (Näherung)

Für die Gravitations-Blauverschiebung (einfallende Wellen) ergibt sich folgende Näherung für die Verkleinerung der Wellenlänge:

${\lambda }^{\prime }={\lambda }_{\mathrm{\infty }}\cdot \sqrt{1-\frac{2\cdot G\cdot M}{r\cdot c^2}}={\lambda }_{\mathrm{\infty }}\cdot \sqrt{1-\frac{r_S}{r}}$

und Frequenz:

$f^{\prime }=f_{\mathrm{\infty }}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2\cdot G\cdot M}{r\cdot c^2}}}=f_{\mathrm{\infty }}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-\frac{r_S}{r}}}$

Gravitations-Rotverschiebung (Näherung)

Für die Gravitations-Rotverschiebung (abgestrahlte Wellen) ergibt sich folgende Näherung für die Vergrößerung der Wellenlänge:

${\lambda }_{\mathrm{\infty }}={\lambda }_0\cdot \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2\cdot G\cdot M}{r\cdot c^2}}}={\lambda }_0\cdot \frac{1}{\sqrt{1-\frac{r_S}{r}}}$

und für die Frequenz:

$f_{\mathrm{\infty }}=f_0\cdot \sqrt{1-\frac{2\cdot G\cdot M}{r\cdot c^2}}=f_0\cdot \sqrt{1-\frac{r_S}{r}}$

Gravitationslinsen und Lichtablenkung im Schwerefeld

→ Hauptartikel: Gravitationslinseneffekt

Der Ablenkwinkel (Einsteinwinkel) des Lichtes im Schwerefeld berechnet sich:

$\alpha \approx \frac{4\cdot G\cdot M}{r\cdot c^2}=2\cdot \frac{r_S}{r}$

Ereignishorizont

→ Hauptartikel: Ereignishorizont

Schwarzschildradius

Für den Schwarzschildradius (Ereignishorizont von nicht rotierenden ungeladenen Schwarzen Löchern nach Schwarzschild) ergibt sich:

$r_S=\frac{2\cdot G\cdot M}{c^2}$

Gravitationsradius

Für den Gravitationsradius (Ereignishorizont von maximal rotierenden ungeladenen Schwarzen Löchern nach Kerr) ergibt sich:

$r_G=\frac{r_S}{2}=\frac{G\cdot M}{c^2}$

Gravitationsgesetz der Allgemeinen Relativitätstheorie

Das Gravitationsgesetz der Allgemeinen Relativitätstheorie lautet:

$G_{\mu \nu }=\kappa \cdot T_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }\cdot \frac{R}{2}$

mit:

• $G_{\mu \nu }=\text{Einsteinscher Tensor}$ mit SI-Einheit 1/m²
• $T_{\mu \nu }=\text{Energie-Impuls-Tensor}$ mit SI-Einheit J/m³
• $R_{\mu \nu }=\text{Ricci-Tensor}$ mit SI-Einheit 1/m²
• $g_{\mu \nu }=\text{(allgemeiner) metrischer Tensor}$ mit SI-Einheit 1
• $R=g^{\mu \nu }{R}_{\mu \nu }=\text{Ricci-Skalar}$ mit SI-Einheit 1/m²
• $\mu ,\nu =\text{Indizes (0, 1, 2, 3)}$
• $\kappa :=\frac{8\pi G}{c^4}=\text{Einsteinkonstante}$ mit SI-Einheit $2,07650\cdot 10^{-43}$ 1/N
• $G=\text{Gravitationskonstante}$ mit SI-Einheit $6,67408\cdot 10^{-11}$ m³/s²kg
• $c=\text{Lichtgeschwindigkeit im flachen Vakuum}$ mit SI-Einheit $2,99792458\cdot 10^8$ m/s
• $\pi =\text{Kreiszahl}$

Es ergibt sich:

$G_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}\cdot T_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }\cdot \frac{R}{2}$

Anhang

Literatur

Spezielle Relativitätstheorie (SRT)

• Bührke, Thomas: Einführung in die Relativitätstheorie - dtv (Das Werk enthält eine gutes Glossar mit vielen Literaturhinweisen, aber leider auch einige sachliche Fehler.)

• Heinrich Hemme: Die Relativitätstheorie - Einstein mal einfach (Das ist eine wirklich gute Einführung; es enthät auch eine gute Darstellung der Michelson-Morley-Experimente.)

• Karamanolis, Stratis: Einstein für Anfänger – Elektra (Ebenfalls eine gute Einführung mit einer guten Erklärung der Lorentz-Tranformation.)

• Spezielle Relativitätstheorie – Dorn Bader, Physik, Sek II – Schroedel (Enthält eine sehr gute Darstellung der Haffele-Keating-Experimente.)

• Beyvers/Krusch: Kleines 1x1 der Relativitätstheorie (Das Werk ist speziell für Judendliche gedacht und konzipiert.)

• Roman Sexl/Herbert Kurt Schmidt: Relativitätstheorie (Das Werk ist schon etwas älter, aber immer noch gut. Man bekommt es in der Fernleihe. Das gilt auch für das folgende Werk.)

• Horst Schäflein: Einführung in die spezielle Relativitätstheorie

• Albert Einstein: Über die spezielle und die allgemmeine Relativitätstheorie (Hier spricht der Meister selbst.)

• Klaus Kiefer: Gravitation (Eine recht gute und einfache Einführung in die Allgemeine Relativitätstheorie für Nicht-Physiker. Das Werk kommt ohne große Mathemaitk aus und ist speziell für den Laien bestens geeignet.)

Allgemeine Relativitätstheorie (ART)

rob gab im Philosophie-Raum die folgenden Literaturhinweise zur ART:

"Für die Allgemeine Relativitätstheorie gibt es einige ganz gute Lehrbücher:

• James B. Hartle, Gravity: An Introduction to Einstein's General Relativity (Englisch, aber sehr gut verständlich für Leute, die amerikanische Lehrbücher mögen)

• Landau/Lifschitz: Lehrbuch der theoretischen Physik, 10 Bde., Bd.2, Klassische Feldtheorie (Der Klassiker, aber etwas verwirrend aufgebaut weil nicht "didaktisch" vorgegangen wird, sondern die "pysikalische Grundidee" der Feldtheorien Schritt für Schritt nachvollzogen wird: Erst spezielle Relativitätstheorie, daran anschließend der Elektromagnetismus und schließlich die Gravitation mit allgemeiner Relativitätstheorie. Die Vorgehensweise hat den Nachteil, dass man den Inhalt des Buches fast schon können muss, um es nachzuvollziehen.)

• Fließbach: Allgemeine Relativitätstheorie (Relativ beliebt, fast schon das Standard-Lehrbuch in Deutschland. Aber nicht so mein Fall. Ich mag Fließbach einfach nicht besonders.)

Für die spezielle Relativitätstheorie braucht man eigentlich kein Lehrbuch anzugeben. Das Thema wird in jeder Standard-Lehrbuchreihe behandelt (Nolting: Grundkurs Theoretische Physik, Fließbach: Lehrbuch zur Theoretischen Physik, ...)" (rob)

Weblinks

• Formelsammlung Relativitätstheorie - Wikibooks Weblink
• Formelsammlung Relativitätstheorie auf Formel-Sammlung.de

Quelle

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