Viererimpuls

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Lichtkegel in einer Raumzeit mit zwei Raumdimensionen, Vorwärtskegel in positiver Zeitrichtung.
Der Beobachter eines Ereignisses LaTeX: E befindet sich im Schnittpunkt von Vergangenheits- und Zukunfts-Kegel.

Der Viererimpuls oder Energie-Impuls-Vektor fasst in der Relativitätstheorie die Energie LaTeX: E und den Impuls Impuls LaTeX: \boldsymbol p = (p_x, p_y, p_z) eines Teilchens zu einem Vierervektor zusammen, der eine Erhaltungsgröße ist.

LaTeX:  
\begin{pmatrix}
\frac{E}{c}\\
\boldsymbol p
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{mc}                {\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \\
\frac{m \, \boldsymbol v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}
\end{pmatrix}

In natürlichen Einheiten, in denen die Lichtgeschwindigkeit LaTeX: c den dimensionslosen Wert LaTeX: c = 1 hat, ergibt sich die vereinfachte Darstellung:

LaTeX:  
\begin{pmatrix} 
E\\
\boldsymbol p
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{m}                 {\sqrt{1 - \boldsymbol v^2}}\\
\frac{m \, \boldsymbol v}{\sqrt{1 - \boldsymbol v^2}}
\end{pmatrix}

Invariante Masse und Massenschale

Unabhängig von der Geschwindigkeit ergibt sich aus dem Quadrat des Viererimpulses die invariante Masse des Teilchens durch folgende Energie-Impuls-Relation bzw. Energie-Impuls-Beziehung:

LaTeX: \begin{pmatrix} E\\ \boldsymbol p \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} E\\ \boldsymbol p \end{pmatrix} = E^2 - \boldsymbol p^2 = m^2

Geometrisch liegen alle überhaupt möglichen Viererimpulse reeller Teilchen auf dem durch diese quadratische Gleichung beschriebenen zweischaligen Hyperboloid, dessen Asymptoten den zukunftsgerichten Lichtkegel (Vorwärtslichtkegel) des Impulsraumes bilden. Diese Hyperfläche wird als Massenschale bezeichnet. Virtuelle Teilchen liegen hingegen nicht auf der Massenschale - sie sind, wie man sagt, „off-shell“.

Siehe auch