Winkel

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Ein Winkel ist in der Geometrie ein Teil der Ebene, der von zwei in der Ebene liegenden Strahlen (Halbgeraden) mit gemeinsamem Anfangspunkt begrenzt wird.

Winkel
Winkelhalbierende

Der gemeinsame Anfangspunkt der beiden Strahlen wird Scheitelpunkt des Winkels, Winkelscheitel oder kurz Scheitel genannt; die Strahlen heißen Schenkel des Winkels. Ein Winkel kann durch drei Punkte festgelegt werden, von denen einer den Scheitel des Winkels bildet und die beiden anderen auf je einem Schenkel des Winkels liegen.

Die Winkelhalbierende oder Winkelsymmetrale ist eine Halbgerade, die durch den Scheitelpunkt des Winkels läuft und das Winkelfeld in zwei deckungsgleiche Teile teilt.

Die physikalische Größe, die die relative Lage der Strahlen zueinander beschreibt, wird als Winkelweite oder Winkelabstand (Winkeldistanz) bezeichnet, üblicherweise auch verkürzend als Winkel, wenn eine Unterscheidung von dem geometrischen Objekt nicht notwendig ist, beispielsweise in der Physik. Die Größe des Winkels wird mit einem Winkelmaß angegeben.

Die Winkelweite kann auch als Maß einer ebenen Drehung definiert werden.

Zur Unterscheidung vom Raumwinkel wird der hier definierte Winkel auch als ebener Winkel bezeichnet.

Definition

In der Geometrie sind zur Definition des Winkels als Objekt verschiedene Ansätze möglich. Dabei lassen sich zwei Typen unterscheiden:

  • Der ungerichtete Winkel, der durch eine vorzeichenlose Winkelweite gekennzeichnet ist.
  • Der gerichtete Winkel, der über eine Orientierung verfügt, und als Drehwinkel oder Winkelabstand gemessen wird.

Darstellung als Strahlenpaar

Die eingangs angeführte Definition zweier von einem Punkt ausgehenden Strahlen ist in die Anwendungen wie etwa die Koordinatensysteme und deren Achsen eingebunden.

Darstellung als Halbgeradenpaar

Darstellung als Halbgeradenpaar

Der Winkel ist ein geometrisches Gebilde zweier Halbgeraden.

Sind LaTeX: f, LaTeX: g zwei Geraden, die sich in einem Punkt LaTeX: S schneiden, so teilt der Punkt LaTeX: S die Geraden LaTeX: f, LaTeX: g in Halbgeraden. Je eine Halbgerade von LaTeX: f und LaTeX: g (die Schenkel) zusammen mit LaTeX: S (dem Scheitel) bilden einen Winkel.

Über die „ursprünglichen“ Geraden ermöglicht diese Darstellung etwa Betrachtungen über die verschiedenen Winkelpaare.

Darstellung als Teil der Ebene

Darstellung als Teil der Ebene
Der Winkel (besser: das Winkelfeld) ist ein Teilbereich der Zeichenebene, der von zwei Halbstrahlen oder Halbgeraden begrenzt wird. Diese bilden den Rand, und der Rest des Winkelfeldes das Innere.

Diese Definition wird im Schulunterricht verwendet und betont das „Körperhafte“ des Gebildes und dient – über die Festlegung eines Innen- und Außenraums – der Einführung in die Dreiecksgeometrie: Das Dreieck lässt sich als Schnittmenge zweier Winkel mit einem gemeinsamen Schenkel definieren.

Ad hoc ist bei diesen drei Ansätzen der Winkel ein ungerichteter Winkel, erst eine zusätzliche Auszeichnung einer der beiden Halbstrahlen oder Halbgeraden als die „erste“ ermöglicht die Angabe eines gerichteten Winkels.

Darstellung als Drehung

Drehwinkel

Man kann auch sagen, dass ein Winkel durch eine Drehung eines Strahls oder einer Halbgeraden in einer Ebene um seinen bzw. ihren Anfangspunkt entsteht.

Da es zwei verschiedene Möglichkeiten gibt, den Strahl zu drehen, muss zusätzlich die Drehrichtung angegeben werden:

  • Linksdrehung: gegen den Uhrzeigersinn, auch mathematisch positiver Drehsinn genannt (Winkel ist positiv) – im Bild grün dargestellt.
  • Rechtsdrehung: mit dem Uhrzeigersinn, auch mathematisch negativer Drehsinn genannt (Winkel ist negativ) – im Bild violett dargestellt.

In der Mathematik ist es üblich, die Drehung gegen den Uhrzeigersinn – also im mathematisch positiven Drehsinn – auszuführen. Wenn die Drehung andersherum erfolgen soll, sollte dies ausdrücklich angegeben werden.

In der Geodäsie (Vermessungswesen) wird der Winkel im Uhrzeigersinn, also rechtsdrehend von 0 gon bis 400 gon gezählt. Da es in der Geodäsie per definitionem keine negativen Winkel gibt, ist der Drehsinn positiv. Analog zur Uhr, auch hier wird von 0 bis 24 h positiv, rechtsdrehend gezählt. Alle geodätischen Messinstrumente werden zur Richtungs- oder Winkelmessung rechtsherum gedreht.

Bezeichnung von Winkeln

Die Angabe eines Winkels erfolgt nach DIN 1302 oder ISO 31-11, neuerdings auch nach ISO 80000-2.

  • Winkel werden meistens mit kleinen griechischen Buchstaben, z. B. LaTeX: \alpha oder LaTeX: \beta, bezeichnet.
  • Ein Winkel LaTeX: \angle fg ist ein Winkel zwischen zwei Halbstrahlen, Geraden, Kanten und ähnlichem. Er wird dann von LaTeX: f ausgehend Richtung LaTeX: g gezählt.
  • Alternativ kann man die drei Punkte angeben, die den Winkel definieren, wobei der Scheitelpunkt immer in der Mitte steht, z. B. Winkel ABC, LaTeX: \angle ABC oder veraltet LaTeX: \widehat {ABC}. Dies bezeichnet den Winkel zwischen LaTeX: [BA] und LaTeX: [BC], wobei LaTeX: [BA] im mathematisch positiven Drehsinn auf LaTeX: [BC] gedreht wird.
  • Im englischen Sprachraum ist auch nur die Angabe des Scheitels LaTeX: \angle B bzw. LaTeX: \hat {B} üblich.

Für den Formelsatz steht das Zeichen »∠« (HTML ∠/∠, TeX \angle, Unicode U+2220) zur Verfügung, für den gerichteten Winkel auch »∡« (TeX \measuredangle, U+2221 MEASURED ANGLE, keine HTML-Entity), die sich beide im Unicode-Block Mathematische Operatoren finden. Das liegende Winkelzeichen entspricht den angloamerikanischen Gewohnheiten, im europäischen Formelsatz ist ein Zeichen üblich, das dem amerikanischen »∢« U+2222 für den Raumwinkel zum Verwechseln ähnlich sieht. »∠« findet auch für Neigung und Winkligkeit (Lagetoleranz, DIN EN ISO 1101) Verwendung. Speziell für den rechten Winkel verwendet man »∟«, einen punktierten Winkel, in der Technik auch ein Quadrat, oder LaTeX: \perp.

Winkelmaße und Maßeinheiten für Winkel

Ausführliche Informationen bietet der Hauptartikel Winkelmaß, Umrechnungen sind bei den einzelnen Maßen zu finden.

Winkelmaß Maßeinheit 1 Vollwinkel = Einheitenzeichen
 – Vollwinkel 1  
 Bogenmaß Radiant 2π rad
 Gradmaß Grad (Bogenminute, Bogensekunde) 360 ° ( ′ ″ )
 Geodätisches Winkelmaß Gon (veraltet: Neugrad) 400 gon (veraltet: g)
 Zeitmaß Stunden, Minuten, Sekunden 24 h m s
 – Nautischer Strich 32 ¯
 – Artilleristischer Strich (Schweiz: Artilleriepromille) 6400 mil ( A‰ )
 – Prozent, Promille nichtlinear %, ‰

Weitere Formen der Angabe eines Winkels:

Arten von Winkeln

Nullwinkel
LaTeX: 0^\circ
spitzer Winkel
kleiner als LaTeX: \tfrac{1}{4} Vollwinkel (LaTeX: 90^\circ bzw. LaTeX: \tfrac{1}{2} \cdot \pi);
rechter Winkel
gleich LaTeX: \tfrac{1}{4} Vollwinkel: LaTeX: 90^\circ = 100^\text{g} = \tfrac{1}{2} \cdot \pi;
stumpfer Winkel
größer als LaTeX: \tfrac{1}{4} Vollwinkel (LaTeX: 90^\circ bzw. LaTeX: \tfrac{1}{2} \cdot \pi) und kleiner als LaTeX: \tfrac{1}{2} Vollwinkel (LaTeX: 180^\circ bzw. LaTeX: \pi);
gestreckter Winkel
gleich LaTeX: \tfrac{1}{2} Vollwinkel: LaTeX: 180^\circ = 200^\text{g} = \pi;
überstumpfer (erhabener) Winkel
größer als LaTeX: \tfrac{1}{2} Vollwinkel (LaTeX: 180^\circ bzw. LaTeX: \pi) und kleiner als LaTeX: 1 Vollwinkel (LaTeX: 360^\circ bzw. LaTeX: 2 \cdot \pi);
voller Winkel, Vollwinkel (Vollkreis)
LaTeX: 360^\circ = 400^\text{g} = 2 \cdot \pi.
Kennzeichnung rechter Winkel

Zwischen zwei sich schneidenden Geraden gibt es vier Winkel. Jeweils zwei nebeneinander liegende summieren sich dabei zu LaTeX: 180^\circ. Der rechte Winkel hat die Besonderheit, dass diese beiden Winkel genau gleich sind. Jeweils zwei gegenüberliegende Winkel sind gleich. Der Vollwinkel hat die Besonderheit, dass zwei der Winkel null sind.

Zwei Geraden oder Strecken, die sich im rechten Winkel schneiden, nennt man zueinander orthogonal. In einer Zeichnung wird der rechte Winkel durch einen Viertelkreis mit Punkt oder durch ein Quadrat dargestellt.

Der Vollwinkel ist in Deutschland, Österreich und der Schweiz eine gesetzliche Einheit im Messwesen, er besitzt kein Einheitenzeichen.

Spezielle Winkelpaare

Die Geometrie kennt besondere Bezeichnungen für Paare von Winkeln, die zueinander in einer besonderen Beziehung stehen. Die für solche Winkel geltenden Gesetze helfen bei der Untersuchung komplexerer geometrischer Objekte.

Komplement- oder Komplementärwinkel
Supplement- oder Ergänzungswinkel

Komplementwinkel oder Komplementärwinkel

Zwei Winkel heißen Komplementwinkel oder Komplementärwinkel, wenn sie sich zu einem rechten Winkel (LaTeX: 90^\circ) ergänzen.

Supplementwinkel oder Ergänzungswinkel

Zwei Winkel heißen Supplementwinkel (auch: Supplementärwinkel), Supplement, Ergänzungswinkel oder kurz E-Winkel, wenn sie sich zu LaTeX: 180^\circ ergänzen.

Nebenwinkel

Nebenwinkel

Schneiden sich zwei Geraden, so bezeichnet man ein Paar benachbarter Winkel als Nebenwinkel.

Nebenwinkel ergänzen sich zu LaTeX: 180^\circ.

Sie sind also Supplementwinkel.

Scheitelwinkel oder Gegenwinkel

Scheitelwinkel

Schneiden sich zwei Geraden, so bezeichnet man das Paar gegenüberliegender Winkel als Scheitelwinkel oder Gegenwinkel.

Scheitelwinkel sind immer gleich groß.

Die Bezeichnung Scheitelwinkel kommt daher, dass die beiden Winkel durch Punktspiegelung am Scheitelpunkt aufeinander abgebildet werden.

Stufenwinkel oder F-Winkel

Stufen- oder F-Winkel

Schneidet eine Gerade LaTeX: g zwei Geraden LaTeX: h und LaTeX: h', so heißen die Winkel, die auf derselben Seite von LaTeX: g und auf einander entsprechenden Seiten von LaTeX: h bzw. LaTeX: h' liegen, Stufen- oder F-Winkel. Für den Fall, dass die Geraden LaTeX: h und LaTeX: h' parallel sind, gilt:

Stufenwinkel an Parallelen sind gleich groß.

Aus der Winkelgleichheit kann umgekehrt auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar LaTeX: h, LaTeX: h' von einer weiteren Geraden LaTeX: g so geschnitten, dass die Schnittwinkel auf derselben Seite von LaTeX: g und auf einander entsprechenden Seiten von LaTeX: h und LaTeX: h' gleich groß sind, so sind die Geraden LaTeX: h und LaTeX: h' parallel.

Wechselwinkel oder Z-Winkel

Wechsel- oder Z-Winkel

Schneidet eine Gerade LaTeX: g zwei Geraden LaTeX: h und LaTeX: h', so heißen die Winkel, die auf unterschiedlichen Seiten von LaTeX: g und entgegengesetzten Seiten von LaTeX: h bzw. LaTeX: h' liegen, Wechsel- oder Z-Winkel. Für den Fall, dass die Geraden LaTeX: h und LaTeX: h' parallel sind, gilt:

Wechselwinkel an Parallelen sind gleich groß.

Aus der Winkelgleichheit kann umgekehrt auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar LaTeX: h, LaTeX: h' von einer weiteren Geraden LaTeX: g so geschnitten, dass die Schnittwinkel auf unterschiedlichen Seiten von LaTeX: g und unterschiedlichen Seiten von LaTeX: h bzw. LaTeX: h' gleich groß sind, so sind die Geraden LaTeX: h und LaTeX: h' parallel.

Nachbarwinkel oder E-Winkel

Nachbar- oder E-Winkel

Schneidet eine Gerade LaTeX: g zwei weitere parallele Geraden LaTeX: h und LaTeX: h', so bezeichnet man die Winkel, die auf derselben Seite von LaTeX: g, aber auf unterschiedlichen Seiten von LaTeX: h und LaTeX: h' liegen, als Nachbar- oder E-Winkel.

Nachbarwinkel ergänzen sich zu LaTeX: 180^\circ.

Aus der Ergänzung der Winkel zu LaTeX: 180^\circ kann umgekehrt auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar LaTeX: h, LaTeX: h' von einer weiteren Geraden LaTeX: g so geschnitten, dass sich die Schnittwinkel, die auf derselben Seite von LaTeX: g, aber jeweils auf unterschiedlichen Seiten von LaTeX: h und LaTeX: h' liegen, zu 180° ergänzen, so sind die Geraden LaTeX: h und LaTeX: h' parallel.

Die Eigenschaft, dass sich Nachbarwinkel zu LaTeX: 180^\circ ergänzen, folgt direkt aus dem Parallelenaxiom der euklidischen Geometrie. Die oben genannten Eigenschaften von Stufen- und Wechselwinkeln lassen sich aus der Betrachtung von Neben- und Scheitelwinkeln von Nachbarwinkeln herleiten.

Winkel mit paarweise rechtwinkligen Schenkeln

Winkel mit paarweise rechtwinkligen Schenkeln a)
Winkel mit paarweise rechtwinkligen Schenkeln b)

Zwei Winkel, deren Schenkel paarweise senkrecht aufeinander stehen, sind gleich groß oder ergänzen sich zu LaTeX: 180^\circ. Vergleiche nebenstehende Abbildungen.

Winkelkonstruktion

Einige Winkel kann man allein mit Zirkel und Lineal konstruieren. Dazu gehören der 90 Grad-, 60 Grad-, 72 Grad- und 54 Grad-Winkel, sowie sämtliche Winkel, die durch Verdoppelung, Halbierung, Addition oder Subtraktion (siehe unten) dieser Winkel entstehen.

Die Winkel LaTeX: 0^\circ<\alpha\leq180^\circ sind in Dezimalgrad als Näherungskonstruktion mithilfe des dritten Strahlensatzes in Kombination mit Zahlengeraden konstruierbar.

Konstruktion des 90-Grad-Winkels (rechten Winkels)

Man konstruiert genauer gesagt die Senkrechte zu einer bereits gegebenen Strecke LaTeX: s.

Konstruktion für vorgegebenen Schnittpunkt auf der Geraden

Konstruktion für vorgegebenen Schnittpunkt auf der Geraden
  1. Zeichne einen Kreis um LaTeX: P mit beliebigem Radius. Dieser Kreis schneidet LaTeX: g in zwei Punkten.
  2. Zeichne um diese beiden Punkte jeweils einen Kreis. Die Radien der beiden Kreise müssen so gewählt sein, dass sich die Kreise in zwei Punkten schneiden.
  3. Verbinde die beiden Schnittpunkte dieser Kreise durch eine Gerade. Die so gezeichnete Gerade schneidet LaTeX: g im rechten Winkel und zwar genau im Punkt LaTeX: P.

Konstruktion für vorgegebenen Punkt außerhalb der Geraden (Fällen des Lotes)

Fällen des Lotes
  1. Zeichne einen Kreis um LaTeX: P mit einem Radius größer als der Abstand des Punkts von der Geraden. Dieser Kreis schneidet LaTeX: g in zwei Punkten.
  2. die weitere Vorgehensweise entspricht der Konstruktion für vorgegebenen Schnittpunkt.

Konstruktion (ohne vorgegebenen Schnittpunkt)

Bei beliebigem Schnittpunkt entfällt die Festlegung symmetrischer Punkte auf der Geraden

  1. Wähle zwei Punkte LaTeX: M_1 und LaTeX: M_2 auf der Geraden, und zu diesen zwei Punkten zwei Kreisradien groß genug, dass die entsprechenden Kreise um LaTeX: M_1 und LaTeX: M_2 sich in zwei Punkten – im Weiteren LaTeX: S_1 und LaTeX: S_2 genannt – schneiden.
  2. Zeichne diese beiden Kreise (sie müssen nur soweit gezeichnet werden, dass die beiden Schnittpunkte erkennbar werden).
  3. Zeichne die durch die beiden Schnittpunkte LaTeX: S_1 und LaTeX: S_2 gehende Gerade. Diese Gerade ist senkrecht zu LaTeX: g.

Hinweise

Man muss die Kreise nicht vollständig zeichnen. Es reicht, wenn die Schnittpunkte erkennbar sind. Prinzipiell wird die Konstruktion umso genauer, je größer der Abstand der beiden Schnittpunkte voneinander ist. Denn mit größerem Abstand werden die Auswirkungen von solchen Fehlern kleiner, die dadurch entstehen, dass die neugezeichnete Gerade oder auch schon die gezeichneten Schnittpunkte nicht genau mit den idealen Schnittpunkten übereinstimmen. Andererseits wird die genaue Erkennbarkeit der Schnittpunkte geringer, je flacher sich die Kreise schneiden, was umso mehr der Fall ist, je weiter die Kreisradien von einem Idealradius entfernt sind, bei dem sich die Kreise senkrecht schneiden.

Streckenhalbierung, Mittelsenkrechte

Man halbiert eine gegebene Strecke, indem man die Endpunkte der Strecke als Ausgangspunkte wählt.

Konstruktion eines 60-Grad-Winkels

Antragen eines 60-Grad-Winkels an eine Gerade in einem gegebenen Scheitelpunkt

  1. Ziehe einen Kreis um den Punkt. Es ergeben sich zwei Schnittpunkte
  2. Ziehe einen Kreis mit gleichem Radius um den Schnittpunkt, auf dessen Seite des Schaitelpunkts der Winkel liegen soll.
  3. Zwichne eine Gerade durch den Schnittpunkt der beiden Kreise, welcher auf der gewünschten Seite der Gerade liegt. Diese schneidet die erste Gerade im winkel von 60°.

Antragen eines 60-Grad-Winkels an eine Gerade durch einen Punkt außerhalb der Geraden

Diese Konstruktion ist etwas aufwändiger.

  1. Fälle das Lot vom gegebenen Punkt auf die Gerade (siehe oben). Der Schnittpunkt ist der Fußpunkt.
  2. Ziehe einen Kreis um den Fußpunkt durch den gegeben Punkt. Dieser schneidet die Gerade in zwei Punkten.
  3. Halbiere die Strecke vom Fußpunkt zu einem der neuen Schnittpunkte
  4. Uziehe eine Gerade durch den so gewonnenen Halbierungspunkt und den Ausgangspunkt.

Konstruktion eines 72- oder 54-Grad-Winkels

Für die etwas exotischere Konstruktion des 72°- oder des 54°-Winkels konstruiert man ein regelmäßiges Fünfeck.

Addition und Subtraktion von Winkeln

Jeder Winkel lässt sich zu einem anderen Winkel konstruktiv addieren und subtrahieren. Möchte man einen ersten zu einem zweiten Winkel addieren bzw. subtrahieren, das heißt den zweiten Winkel um die Größe des ersten vermehren bzw. vermindern, so zeichnet man zunächst um die Scheitelpunkte der beiden Winkel jeweils einen für beide Winkel gleich großen Kreis. (Es reicht in beiden Fällen auch ein Kreisbogen, der beide Schenkel des jeweiligen Winkels schneidet. Beim zweiten Winkel muss der Kreisbogen zudem so groß sein, dass er auch noch den zu addierenden bzw. subtrahierenden Winkel, dort, wo er später abgetragen wird, umfassen kann. Analog reicht auch eine größere Zahl noch kleinerer Kreisbögen, die lediglich die benötigten Schnittpunkte kenntlich machen.)

Nun greift man beim ersten Winkel den Abstand der beiden Schnittpunkte von Kreis und Schenkeln mit dem Zirkel ab und trägt diesen auf dem Kreisbogen des zweiten Winkels ab. Für Letzteres sticht man den Zirkel in denjenigen Schnittpunkt von Kreis und Schenkel des zweiten Winkels ein, ab dessen Schenkel man den ersten Winkel addieren bzw. subtrahieren möchte. Daraufhin trägt man mit dem Zirkel den eingestellten Abstand auf dem Kreisbogen des zweiten Winkels ab – und zwar entweder vom Winkel weg (in Richtung „Winkeläußeres“), wenn man addieren möchte, oder aber zum Winkel hin (in Richtung „Winkelinneres“), wenn man subtrahieren möchte. Danach zeichnet man einen Strahl vom Scheitelpunkt des zweiten Winkels durch den eben konstruieren Punkt des Kreisbogens. Dieser Strahl bildet zusammen mit demjenigen Schenkel des zweiten Winkels, in den man nicht eingestochen hatte, die Schenkel des nun konstruierten Summen- bzw. Differenzwinkels.

Winkelteilungen

Winkelhalbierung

Ein Winkel besteht stets aus zwei Schenkeln, die sich im Scheitelpunkt treffen. Zieht man nun zwei gleich große Kreise auf je einem Schenkel durch den Scheitelpunkt, so bildet die Strecke zwischen den Kreisschnittpunkten die Winkelhalbierende. Jeder Punkt auf der Winkelhalbierenden ist gleich weit von den Schenkeln entfernt.

Konstruktion
Man nehme einen Abstand in den Zirkel und steche am Scheitelpunkt ein. Man zeichne so die Schnittpunkte mit den beiden Schenkeln ein. Nun behält man den Abstand im Zirkel, sticht an je einem der Schnittpunkte ein und schlägt um sie je einen Kreis. Man verbinde beide Schnittpunkte durch eine Linie mit dem Lineal und erhält so die Winkelhalbierende.

Dreiteilung

Die allgemeine Dreiteilung des Winkels ist mit euklidischen Werkzeugen nicht möglich. Es gibt jedoch (Hand-)Zeichengeräte (z. B. Tomahawk) für diese Aufgabe.

Beliebige Teilung

Die beliebige Teilung erfordert ein Hilfsmittel mit dem ein Winkel proportional auf eine Strecke abgebildet werden kann und umgekehrt, beispielsweise eine Schablone, mit einer als Archimedische Spirale oder Quadratrix des Hippias geformten Kante. Damit lässt sich eine Winkelteilung in eine Streckenteilung überführen. Anwendungen davon gibt es in der Konstruktion bestimmter regelmäßiger Polygone, die allein mit Zirkel und Lineal nicht konstruierbar sind, wie z. B. des Elfecks.

Folgerung (allgemeine Winkelkonstruktionen)

Konstruiert man die obigen Winkel (90°, 60°, 72° oder 54° oder deren Summen bzw. Differenzen), so lassen sich aus diesen per Winkelhalbierung weitere Winkel (45°, 30°, 36° und 27° oder den zugehörigen Summen bzw. Differenzen) konstruieren, die und deren Abkömmlinge sich wieder halbieren lassen. Generell lassen sich alle Winkel konstruieren, deren Sinus (und damit auch deren Kosinus) durch einen mathematischen Ausdruck dargestellt werden kann, der nur aus ganzen Zahlen, Grundrechenarten und Quadratwurzeln besteht. Das gilt z. B. für ganzzahlige Winkel (Gradmaß), die ein Vielfaches von 3° sind:

  • LaTeX: \sin( 0^\circ) = \cos(90^\circ) = 0
  • LaTeX: \sin( 3^\circ) = \cos(87^\circ) = \frac{1}{16} \cdot \left( \sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{3}+1\right) \cdot \left(\sqrt{5}-1\right)-2 \cdot \left(\sqrt{3}-1\right) \cdot \sqrt{5+\sqrt{5}}\right)
  • LaTeX: \sin( 6^\circ) = \cos(84^\circ) = \frac{1}{8}  \cdot \left( \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5-\sqrt{5}}-\left(\sqrt{5}+1\right)\right)
  • LaTeX: \sin( 9^\circ) = \cos(81^\circ) = \frac{1}{8}  \cdot \left( \sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{5}+1\right)-2 \cdot \sqrt{5-\sqrt{5}}\right)
  • LaTeX: \sin(12^\circ) = \cos(78^\circ) = \frac{1}{8}  \cdot \left( \sqrt{2} \cdot \sqrt{5+\sqrt{5}}-\sqrt{3} \cdot \left(\sqrt{5}-1\right)\right)
  • LaTeX: \sin(15^\circ) = \cos(75^\circ) = \frac{1}{4}  \cdot        \sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{3}-1\right)
  • LaTeX: \sin(18^\circ) = \cos(72^\circ) = \frac{1}{4}  \cdot \left( \sqrt{5}-1\right)
  • LaTeX: \sin(21^\circ) = \cos(69^\circ) = \frac{1}{16} \cdot \left(-\sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{3}-1\right) \cdot \left(\sqrt{5}+1\right)+2 \cdot \left(\sqrt{3}+1\right) \cdot \sqrt{5-\sqrt{5}}\right)
  • LaTeX: \sin(24^\circ) = \cos(66^\circ) = \frac{1}{8}  \cdot \left(-\sqrt{2} \cdot \sqrt{5-\sqrt{5}}+\sqrt{3} \cdot \left(\sqrt{5}+1\right)\right)
  • LaTeX: \sin(27^\circ) = \cos(63^\circ) = \frac{1}{8}  \cdot \left(-\sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{5}-1\right)+2 \cdot \sqrt{5+\sqrt{5}}\right)
  • LaTeX: \sin(30^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}
  • LaTeX: \sin(33^\circ) = \cos(57^\circ) = \frac{1}{16} \cdot \left( \sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{3}+1\right) \cdot \left(\sqrt{5}-1\right)+2 \cdot \left(\sqrt{3}-1\right) \cdot \sqrt{5+\sqrt{5}}\right)
  • LaTeX: \sin(36^\circ) = \cos(54^\circ) = \frac{1}{4}  \cdot        \sqrt{2} \cdot \sqrt{5-\sqrt{5}}
  • LaTeX: \sin(39^\circ) = \cos(51^\circ) = \frac{1}{16} \cdot \left( \sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{3}+1\right) \cdot \left(\sqrt{5}+1\right)-2 \cdot \left(\sqrt{3}-1\right) \cdot \sqrt{5-\sqrt{5}}\right)
  • LaTeX: \sin(42^\circ) = \cos(48^\circ) = \frac{1}{8}  \cdot \left( \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5+\sqrt{5}}-\left(\sqrt{5}-1\right)\right)
  • LaTeX: \sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{1}{2}  \cdot        \sqrt{2}
  • LaTeX: \sin(48^\circ) = \cos(42^\circ) = \frac{1}{8}  \cdot \left( \sqrt{2} \cdot \sqrt{5+\sqrt{5}}+\sqrt{3} \cdot \left(\sqrt{5}-1\right)\right)
  • LaTeX: \sin(51^\circ) = \cos(39^\circ) = \frac{1}{16} \cdot \left( \sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{3}-1\right) \cdot \left(\sqrt{5}+1\right)+2 \cdot \left(\sqrt{3}+1\right) \cdot \sqrt{5-\sqrt{5}}\right)
  • LaTeX: \sin(54^\circ) = \cos(36^\circ) = \frac{1}{4}  \cdot \left( \sqrt{5}+1\right)
  • LaTeX: \sin(57^\circ) = \cos(33^\circ) = \frac{1}{16} \cdot \left(-\sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{3}-1\right) \cdot \left(\sqrt{5}-1\right) + 2 \cdot \left(\sqrt{3}+1\right) \cdot \sqrt{5+\sqrt{5}}\right)
  • LaTeX: \sin(60^\circ) = \cos(30^\circ) = \frac{1}{2}  \cdot   \sqrt{3}
  • LaTeX: \sin(63^\circ) = \cos(27^\circ) = \frac{1}{8}  \cdot \left( \sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{5}-1\right)+2 \cdot \sqrt{5+\sqrt{5}}\right)
  • LaTeX: \sin(66^\circ) = \cos(24^\circ) = \frac{1}{8}  \cdot \left( \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5-\sqrt{5}}+\left(\sqrt{5}+1\right)\right)
  • LaTeX: \sin(69^\circ) = \cos(21^\circ) = \frac{1}{16} \cdot \left( \sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{3}+1\right) \cdot \left(\sqrt{5}+1\right)+2 \cdot \left(\sqrt{3}-1\right) \cdot \sqrt{5-\sqrt{5}}\right)
  • LaTeX: \sin(72^\circ) = \cos(18^\circ) = \frac{1}{4}  \cdot   \sqrt{2} \cdot \sqrt{5+\sqrt{5}}
  • LaTeX: \sin(75^\circ) = \cos(15^\circ) = \frac{1}{4}  \cdot   \sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{3}+1\right)
  • LaTeX: \sin(78^\circ) = \cos(12^\circ) = \frac{1}{8}  \cdot \left( \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5+\sqrt{5}}+\left(\sqrt{5}-1\right)\right)
  • LaTeX: \sin(81^\circ) = \cos( 9^\circ) = \frac{1}{8}  \cdot \left( \sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{5}+1\right)+2 \cdot \sqrt{5-\sqrt{5}}\right)
  • LaTeX: \sin(84^\circ) = \cos( 6^\circ) = \frac{1}{8}  \cdot \left( \sqrt{2} \cdot \sqrt{5-\sqrt{5}}+\sqrt{3} \cdot \left(\sqrt{5}+1\right)\right)
  • LaTeX: \sin(87^\circ) = \cos( 3^\circ) = \frac{1}{16} \cdot \left( \sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{3}-1\right) \cdot \left(\sqrt{5}-1\right)+2 \cdot \left(\sqrt{3}+1\right) \cdot \sqrt{5+\sqrt{5}}\right)
  • LaTeX: \sin(90^\circ) = \cos( 0^\circ) = 1

Die Winkelhalbierung kann durch Substitution der Halbwinkelformeln

LaTeX: \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}} und LaTeX: \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}}

ausgedrückt werden. Das Antragen eines Winkels an einen anderen kann durch Substitution der Additionstheoreme

LaTeX:  \sin ( \alpha \pm \beta ) = \sin \alpha \; \cos \beta \pm \cos \alpha \; \sin \beta und LaTeX: \cos ( \alpha \pm \beta ) = \cos \alpha \; \cos \beta \mp \sin \alpha \; \sin \beta

ausgedrückt werden.

Winkelmessung

Bei der Winkelmessung wird mit Hilfe technischer Einrichtungen ermittelt, in welchem Winkel zwei Geraden oder zwei sonstige Richtungen zueinander stehen.

Siehe auch

Weblinks

 Wiktionary: Winkel – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
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