Zentripetalkraft

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Zentripetalkraft

Die Zentripetalkraft (auch Radialkraft) ist die Komponente der äußeren Kraft zum Mittelpunkt des Krümmungskreises, die auf einen Körper wirken muss, damit sich dieser im Inertialsystem auf einer gekrümmten Bahn bewegt.[1] Sie steht senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor im Inertialsystem. Die Zentripetalkraft genügt dem Prinzip von Actio und Reactio, da zu ihr eine Gegenkraft an einem anderen Körper existiert. Die Zentrifugalkraft ist dagegen eine Scheinkraft.

Ohne diese Kraft würde sich der Körper nach dem Trägheitsgesetz gleichförmig in Richtung des momentanen Geschwindigkeitsvektors (dem Tangentialvektor der Bahn) bewegen, wie dies z. B. bei Funken beobachtet wird, die sich von einer Schleifscheibe ablösen.

Die Bewegung auf einer vorgegebenen Bahn, z. B. bei Achterbahnen oder im Straßenverkehr, erfordert eine Zentripetalbeschleunigung (auch Radialbeschleunigung), die sich aus dem Krümmungsradius der Bahn und der Geschwindigkeit ergibt. Die dafür notwendige Zentripetalkraft ist das Produkt aus Zentripetalbeschleunigung und Masse.

Abweichend von der hier wiedergegebenen modernen Definition ist in älteren Texten die Zentripetalkraft oft die Kraft, mit der ein feststehendes Kraftzentrum die Körper anzieht. Dies wird heute als Zentralkraft bezeichnet.

Etymologie und Begriffsgeschichte

Der Begriff Zentripetalkraft leitet sich von petere (lateinisch für streben nach, sich begeben) ab. Er wurde als vis centripeta von Isaac Newton eingeführt. Newton verwendete den Begriff allerdings nicht im heutigen Sinne, sondern im Sinne einer anziehenden Zentralkraft.[2] Den Namen prägte Newton als Gegensatz zu der von Christian Huygens zuvor eingeführten Zentrifugalkraft.[3][4]

Unterschied von Zentripetalkraft und Zentralkraft

Zentralkraft

Während eine Zentralkraft stets auf den gleichen Punkt (oder von ihm weg) gerichtet ist, zeigt die Zentripetalkraft zum Mittelpunkt des momentanen Krümmungskreises. Nur bei einer reinen Kreisbewegung ist die Zentripetalkraft eine Zentralkraft. Bei einer elliptischen Planetenbahn z. B. ist die Zentralkraft an jedem Punkt auf das in einem der Brennpunkte der Ellipse feststehende Kraftzentrum gerichtet. Eine Zentralkraft kann am Ort des Körpers stets zerlegt werden in die Zentripetalkraft, die zum jeweiligen Zentrum der Bahnkrümmung gerichtet ist, und in eine dazu senkrechte Tangentialkomponente. Die Zentripetalkraft ändert nur die Richtung der Geschwindigkeit des Körpers, die Tangentialkomponente nur den Betrag der Geschwindigkeit. Letztere sorgt z. B. bei Planeten dafür, dass sie sich nahe der Sonne schneller bewegen als in größerer Entfernung.

Beispiele

  • Wenn ein Auto eine Kurve durchfährt, ist dies nur dadurch möglich, dass eine zur Innenseite der Kurve gerichtete Zentripetalkraft wirkt. Sie ergibt sich aus der Summe der Seitenkräfte, die zwischen Reifen und Fahrbahn entstehen und auf das Fahrzeug einwirken. Fehlt diese Kraft (z. B. bei Glatteis), so bewegt sich das Auto geradlinig weiter, wird also aus der Kurve getragen. Der Fahrzeuginsasse bewegt sich auf der gleichen Kreisbahn wie das Auto, weil der Sitz auf ihn eine Zentripetalkraft ausübt.
  • Die Erde bewegt sich (annähernd) auf einer Kreisbahn um die Sonne. Diese Kreisbewegung wird durch die von der Sonne auf die Erde ausgeübte Gravitationskraft verursacht, die in dieser Näherung sowohl eine Zentralkraft als auch eine Zentripetalkraft ist. Genauer betrachtet ist die Erdbahn, wie die Bahnen aller Planeten, keine Kreisbahn, sondern eine Ellipsenbahn (sofern man von den kleinen Störungen durch die Gravitation des Mondes und der anderen Planeten absieht). Die Gravitation zeigt als Zentralkraft auf die Sonne, die sich in einem der Ellipsenbrennpunkte befindet. Diese Zentralkraft weicht leicht von der Zentripetalkraft ab, die zum momentanen Zentrum der Bahnkrümmung zeigt. Die Differenz zwischen Zentralkraft und Zentripetalkraft ist eine Tangentialkomponente, die dafür sorgt, dass die Erde sich in Sonnennähe (im Perihel) schneller bewegt als in Sonnenferne.
  • Bewegen sich Elektronen senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld, so werden sie durch die Lorentzkraft senkrecht zur Richtung der Bewegung und des Magnetfelds in eine Kreisbahn abgelenkt. In diesem Beispiel ist also die Lorentzkraft die Zentripetalkraft.
  • Bei Luftwirbeln ist die Zentripetalkraft der Druckgradient, d. h. im Wirbelkern herrscht Unterdruck.

Mathematische Herleitung

Ein Objekt bewegt sich auf einer Kreisbahn. Für die Zeitpunkte LaTeX: t_1 und LaTeX: t_2 befindet sich das Objekt in LaTeX: P_1 bzw. LaTeX: P_2 (Momentaufnahmen). Die Geschwindigkeiten LaTeX: v_1 und LaTeX: v_2 veranschaulichen die Änderung der Bewegungsrichtung.

Bewegt sich ein Objekt mit gleichbleibender Bahngeschwindigkeit LaTeX: v auf einer Kreisbahn, so ist die Geschwindigkeit des Objekts in jedem Moment senkrecht zum Radius LaTeX: r_1=r_2=r des Kreises gerichtet. Die nebenstehende Zeichnung veranschaulicht diese Verhältnisse für die Zeitpunkte LaTeX: t_1 und LaTeX: t_2.

Zunächst lassen sich die Zusammenhänge rein geometrisch betrachten: Der in der Skizze blau dargestellte Pfeil LaTeX: v'_1 entsteht durch Parallelverschiebung des Pfeils LaTeX: v_1. Ihre Längen entsprechen der Länge des Pfeils LaTeX: v_2. Für die Längen dieser drei Pfeile gilt also:

LaTeX: v_1=v'_1=v_2=v

Zudem sind die Dreiecke LaTeX: Q_2 P_2 Q_1 und LaTeX: P_2 M P_1 ähnlich im geometrischen Sinn, denn:

  • Sowohl LaTeX: v_2 und LaTeX: v'_1 als auch LaTeX: r_2 und LaTeX: r_1 sind jeweils Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks.
  • Die von den oben genannten Seiten eingeschlossenen Winkel LaTeX: \alpha_2 und LaTeX: \alpha_1 sind gleich groß, weil die Schenkel der Winkel paarweise orthogonal sind: LaTeX: v_2 ist orthogonal zu LaTeX: r_2, und aufgrund der Parallelität von LaTeX: v_1 und LaTeX: v'_1 sind auch LaTeX: v'_1 und LaTeX: r_1 orthogonal.

Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke LaTeX: Q_2 P_2 Q_1 und LaTeX: P_2 M P_1 folgt:

LaTeX: \frac{\Delta v}{v}=\frac{\Delta s}{r}

Multipliziert mit LaTeX: v erhalten wir:

LaTeX: \Delta v=\Delta s \cdot \frac{v}{r}

Eine Division durch die Zeitspanne LaTeX: \Delta t := t_2 - t_1 ergibt:

LaTeX: \frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{\Delta s}{\Delta t} \cdot \frac{v}{r}

Wird nun LaTeX: \Delta t hinreichend klein gewählt, so gilt:

  • Der vom Objekt zurückgelegte Weg LaTeX: \Delta s entspricht einem Abschnitt auf der Kreisbahn, und LaTeX: \tfrac{\Delta s}{\Delta t}=v ist die Bahngeschwindigkeit des Objekts.
  • Die Beschleunigung LaTeX: a_{\mathrm{Z}}=\tfrac{\Delta v}{\Delta t} ist die Zentripetalbeschleunigung, die das Objekt in Richtung Kreismittelpunkt erfährt.

Unter diesen Bedingungen wird die Gleichung LaTeX: \tfrac{\Delta v}{\Delta t}=\tfrac{\Delta s}{\Delta t} \cdot \tfrac{v}{r} zu LaTeX: a_{\mathrm{Z}}=v \cdot \tfrac{v}{r} oder

LaTeX: a_{\mathrm{Z}}=\frac{v^2}{r}.

Ist nun das kreisende Objekt nicht nur ein geometrischer Punkt, sondern ein Objekt mit der Masse LaTeX: m, so muss es eine Kraft geben, die das Objekt auf seiner Bahn hält. Bei gleichbleibender Bahngeschwindigkeit muss die Kraft zum Kreismittelpunkt gerichtet sein und wird „Zentripetalkraft“ genannt. Nach dem 2. Newtonschen Gesetz gilt für den Betrag der Zentripetalkraft LaTeX: F_{\mathrm{Z}}=m \cdot a_{\mathrm{Z}} und somit:

LaTeX: F_{\mathrm{Z}}=m \cdot \frac{v^2}{r}

Diese Zentripetalkraft wirkt auf jeden Körper mit der Masse LaTeX: m, der sich mit der Geschwindigkeit LaTeX: v auf einer Kreisbahn mit dem Radius LaTeX: r bewegt.

Betrachten wir jetzt die um den ortsfesten Mittelpunkt rotierende Masse als Körper mit der Winkelgeschwindigkeit LaTeX: \omega, so kann die Bahngeschwindigkeit LaTeX: v des Körpers durch LaTeX: \omega \cdot r beschrieben werden. LaTeX: \tfrac{v^2}{r} lässt sich dann als LaTeX: \tfrac{(\omega \cdot r)^2}{r} schreiben und kann somit durch LaTeX: \omega ^2 \cdot r ersetzt werden. Also gilt:

LaTeX: a_{\mathrm{Z}}=\omega^2 r
LaTeX: F_{\mathrm{Z}}=m \cdot \omega^2r

Vektorielle Darstellung

Die Beschleunigung eines Punktes, der sich auf einer beliebigen Bahnkurve bewegt, ist die zweite Ableitung des Ortsvektors LaTeX: \vec r_P vom Ursprung des Inertialsystems zum Punkt P nach der Zeit:

LaTeX: \vec a=\frac {\mathrm d^2 \vec r_P}{\mathrm d t^2}

In der Regel ist die Bahnkurve in Parameterform in Abhängigkeit vom Weg s gegeben. Die zeitliche Ableitung kann dann auch durch Ableitungen nach dem Weg ausgedrückt werden:

LaTeX: \vec a=\frac {\mathrm d^2 \vec r_P}{\mathrm d s^2} \,v^2+\frac {\mathrm d \vec r_P}{\mathrm d s}\dot {v}

Die Zentripetalbeschleunigung zum lokalen Krümmungsmittelpunkt ist der erste Term der Gleichung:

LaTeX: \vec a_Z=\frac {\mathrm d^2 \vec r_P}{\mathrm d s^2} \,v^2

Mit Hilfe der Frenetschen Formeln lässt sich die zweite Ableitung der Bahnkurve nach dem Weg durch den Hauptnormalenvektor LaTeX: \vec n(s) und den Krümmungsradius LaTeX: \varrho ausdrücken:

LaTeX: \frac {\mathrm d^2 \vec r_P}{\mathrm d s^2} = \frac {\vec n(s)}{\varrho (s)}

Man erhält somit den bekannten Zusammenhang, dass die Zentripetalbeschleunigung proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit und umgekehrt proportional zum Radius der Bahn ist:

LaTeX: \vec a_Z= \frac {v^2}{\varrho (s)} \, \vec n(s)

Im Spezialfall einer reinen Kreisbewegung können die Vektoren LaTeX: \vec{r} für den Abstand und LaTeX: \vec{\omega} für die Winkelgeschwindigkeit benutzt werden. Damit lässt sich die Zentripetalbeschleunigung als Vektorprodukt darstellen:

LaTeX: \vec{a_{\mathrm{Z}}} = \vec{\omega} \times ( \vec{\omega} \times \vec{r})

Generell gilt:

LaTeX: \vec{F_{\mathrm{Z}}}= m \vec{a_{\mathrm{Z}}}

Siehe auch

Literatur

  • Isaac Newton: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Cambridge, London 1726, neu hrsg. v. Alexandre Koyré, I. Bernard Cohen. London 1971.
  • David Halliday, Robert Resnick: Physics, Part I and II Combined. New York 1978, Third Edition, S. 59–62. ISBN 0-471-02456-2

Weblinks

Commons-logo.png Commons: Zentripetalkraft - Weitere Bilder oder Audiodateien zum Thema

Einzelnachweise

  1. M. Alonso, E. J. Finn: Physik, 3. Auflage
  2. Principia, Definition 5 am Anfang des Werks
  3. I. Bernard Cohen: Newtons Third Law and Universal Gravity. In: Paul B. Scheurer, G. Debrock: Newtons Scientific and Philosophical Legacy. Kluwer, Dordrecht 1988, S. 47. ISBN 90-247-3723-0
  4. I. Bernard Cohen: Introduction to Newtons Principia. London 1971, S. 53, 296.


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