Kardinalzahl (Mathematik)

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Kardinalzahlen (lat. cardo „Türangel“, „Dreh- und Angelpunkt“) sind in der Mathematik eine Verallgemeinerung der natürlichen Zahlen zur Beschreibung der Mächtigkeit, auch Kardinalität, von Mengen.

Die Mächtigkeit einer endlichen Menge ist eine natürliche Zahl – die Anzahl der Elemente in der Menge. Der Mathematiker Georg Cantor beschrieb, wie man dieses Konzept innerhalb der Mengenlehre auf unendliche Mengen verallgemeinern und wie man mit unendlichen Kardinalzahlen rechnen kann.

Unendliche Mengen können unterschiedliche Mächtigkeiten haben. Diese werden mit dem Symbol LaTeX: \aleph (Aleph, dem ersten Buchstaben des hebräischen Alphabets), und einem (anfangs ganzzahligen) Index bezeichnet. Die Mächtigkeit der natürlichen Zahlen LaTeX: \N, die kleinste Unendlichkeit, ist in dieser Schreibweise LaTeX: \aleph_0.

Eine natürliche Zahl kann für zwei Zwecke benutzt werden: Zum einen, um die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge zu beschreiben, und zum anderen, um die Position eines Elements in einer endlich-geordneten Menge anzugeben. Während diese beiden Konzepte für endliche Mengen übereinstimmen, muss man sie für unendliche Mengen unterscheiden. Die Beschreibung der Position in einer geordneten Menge führt zum Begriff der Ordinalzahl, während die Größenangabe zu Kardinalzahlen führt, die hier beschrieben sind.

Definition

Zwei Mengen LaTeX: X und LaTeX: Y heißen gleichmächtig, wenn es eine Bijektion von LaTeX: X nach LaTeX: Y gibt; man schreibt dann LaTeX: \left\vert X\right\vert = \left\vert Y\right\vert oder LaTeX: A \sim B.[1][2][3] Die Gleichmächtigkeit LaTeX: \sim ist eine Äquivalenzrelation auf der Klasse aller Mengen.

Kardinalzahlen als echte Klassen
Die Äquivalenzklasse der Menge LaTeX: X bezüglich der Relation der Gleichmächtigkeit nennt man die Kardinalzahl LaTeX: \left\vert X\right\vert.

Das Problem bei dieser Definition ist, dass die Kardinalzahlen dann selbst keine Mengen, sondern echte Klassen sind. (Mit Ausnahme von LaTeX: \left\vert\emptyset\right\vert).

Dieses Problem lässt sich umgehen, indem man mit LaTeX: \left\vert X\right\vert nicht die ganze Äquivalenzklasse bezeichnet, sondern ein Element daraus auswählt, man wählt sozusagen ein Repräsentantensystem aus. Um dies formal korrekt zu tun, bedient man sich der Theorie der Ordinalzahlen, die man bei diesem Ansatz entsprechend vorher definiert haben muss:

Kardinalzahlen als spezielle Ordinalzahl
Jede Menge LaTeX: A ist gleichmächtig zu einer wohlgeordneten Menge LaTeX: B (insofern man den zum Auswahlaxiom äquivalenten Wohlordnungssatz voraussetzt). Zu LaTeX: B gehört eine Ordinalzahl. LaTeX: B kann so gewählt werden, dass diese Ordinalzahl kleinstmöglich wird, da die Ordinalzahlen selbst wohlgeordnet sind; dann ist LaTeX: B eine Anfangszahl. Man kann die Kardinalzahl LaTeX: \left\vert A\right\vert mit dieser kleinsten Ordinalzahl gleichsetzen.

Durch diesen mengentheoretischen Handgriff ist die Kardinalität einer Menge selbst wieder eine Menge. Es folgt unmittelbar der Vergleichbarkeitssatz, dass die Kardinalzahlen total geordnet sind, denn sie sind als Teilmenge der Ordinalzahlen sogar wohlgeordnet. Dieser lässt sich nicht ohne das Auswahlaxiom beweisen.

Motivation

Anschaulich dienen Kardinalzahlen dazu, die Größe von Mengen zu vergleichen, ohne sich auf das Aussehen ihrer Elemente beziehen zu müssen. Für endliche Mengen ist das leicht. Man zählt einfach die Anzahl der Elemente. Um unendliche Mengen zu vergleichen, benötigt man etwas mehr Arbeit, um ihre Mächtigkeit zu charakterisieren.

Im Folgenden werden die Begriffe höchstens gleichmächtig und weniger mächtig benötigt:

Wenn es eine Bijektion LaTeX: f von LaTeX: A auf eine Teilmenge von LaTeX: B gibt, dann heißt LaTeX: A höchstens gleichmächtig zu LaTeX: B. Man schreibt dann LaTeX: \left\vert A\right\vert \leq \left\vert B\right\vert.
Wenn es eine Bijektion LaTeX: f von LaTeX: A auf eine Teilmenge von LaTeX: B gibt, aber keine Bijektion von LaTeX: A nach LaTeX: B existiert, dann heißt LaTeX: A weniger mächtig als LaTeX: B und LaTeX: B mächtiger als LaTeX: A. Man schreibt dann LaTeX: \left\vert A\right\vert < \left\vert B\right\vert.

Diese Begriffe werden im Artikel Mächtigkeit näher erläutert.

Zum Beispiel gilt für endliche Mengen, dass echte Teilmengen weniger mächtig sind als die gesamte Menge, dagegen wird im Artikel Hilberts Hotel an einem Beispiel veranschaulicht, dass unendliche Mengen echte Teilmengen haben, die zu ihnen gleichmächtig sind.

Bei der Untersuchung dieser großen Mengen stellt sich die Frage, ob gleichmächtige geordnete Mengen notwendig zusammenpassende Ordnungen haben. Es stellt sich heraus, dass das für unendliche Mengen nicht so ist, z. B. unterscheidet sich die gewöhnliche Ordnung der natürlichen Zahlen LaTeX: \N = \{0 < 1 < 2 < 3 < \dotsb\} von der geordneten Menge LaTeX: A := \{0 < 1 < 2 < 3 < \dotsb < 0^\prime\}. Die Menge LaTeX: A ist gleichmächtig zu LaTeX: \N. So ist LaTeX: f\colon 0\mapsto 1, 1\mapsto 2, 2\mapsto 3, \dots,0^\prime\mapsto 0 eine Bijektion, aber in LaTeX: A gibt es im Gegensatz zu LaTeX: \N ein größtes Element. Berücksichtigt man die Ordnung von Mengen, kommt man zu Ordinalzahlen. Die Ordinalzahl von LaTeX: \N heißt LaTeX: \omega und die von LaTeX: A ist LaTeX: \omega+1.

Eigenschaften

Im Artikel Mächtigkeit wird gezeigt, dass die Kardinalzahlen total geordnet sind.

Eine Menge LaTeX: M heißt endlich, wenn es eine natürliche Zahl LaTeX: n gibt, sodass LaTeX: M genau LaTeX: n Elemente hat. Das heißt also, dass LaTeX: M entweder leer ist, falls LaTeX: n=0, oder dass es eine Bijektion von LaTeX: M auf die Menge LaTeX: \{1,\dots,n\} gibt. Eine Menge LaTeX: M heißt unendlich, falls es keine solche natürliche Zahl gibt. Eine Menge LaTeX: M heißt abzählbar unendlich, wenn es eine Bijektion von LaTeX: M auf die Menge der natürlichen Zahlen LaTeX: \N gibt, d. h. wenn ihre Mächtigkeit LaTeX: \aleph_0 ist. Eine Menge heißt abzählbar, wenn sie endlich oder abzählbar unendlich ist. Die Mächtigkeit der reellen Zahlen wird mit LaTeX: \mathfrak c (Mächtigkeit des Kontinuums) bezeichnet.

Man kann folgendes zeigen:

  • Die unendlichen Mengen sind genau jene Mengen, die zu einer echten Teilmenge gleichmächtig sind (siehe Dedekind-unendlich).
  • Cantors Diagonalbeweis zeigt: Zu jeder Menge LaTeX: M hat die Menge aller ihrer Teilmengen LaTeX: \mathcal P(M) eine höhere Mächtigkeit, d. h. LaTeX: |\mathcal P(M)| > |M|. Daraus folgt, dass es keine größte Kardinalzahl gibt.
    Für endliche Mengen ist LaTeX: |\mathcal P(M)| = 2^{|M|}, Grund für die alternative Schreibweise für die Potenzmenge: LaTeX: \mathcal P(M) = 2^M.
    Gleichmächtige Mengen haben gleichmächtige Potenzmengen, d. h. die Zuordnung LaTeX: |M| \mapsto 2^{|M|} := |2^M| = |\mathcal P(M)| für unendliche Mengen LaTeX: M ist bei gegebener Mächtigkeit von der speziellen Wahl dieser Menge unabhängig - für endliche Mengen trifft das sowieso zu.
  • Die Menge der reellen Zahlen ist gleichmächtig zur Potenzmenge der natürlichen Zahlen: LaTeX: \mathfrak c \equiv |\R| = |2^{\N}| \equiv 2 ^{\aleph_0}.
  • Es gilt ferner, dass die Kardinalzahl LaTeX: \aleph_0 die kleinste unendliche Kardinalzahl ist. Die nächstgrößere Kardinalzahl wird per Definition mit LaTeX: \aleph_1 bezeichnet. Unter der Annahme der Kontinuumshypothese ist LaTeX: \aleph_1 = \left\vert\R\right\vert; allerdings gilt auch ohne die Kontinuumshypothese gewiss LaTeX: \aleph_1 \le \left\vert\R\right\vert. Für jede Ordinalzahl LaTeX: \alpha gibt es eine LaTeX: \alpha-te unendliche Kardinalzahl LaTeX: \aleph_\alpha, und jede unendliche Kardinalzahl wird so erreicht.[4] Da die Ordinalzahlen eine echte Klasse bilden, ist auch die Klasse der Kardinalzahlen echt.

Man beachte, dass ohne das Auswahlaxiom Mengen nicht notwendigerweise wohlgeordnet werden können, und die im Abschnitt Definition angegebene Gleichsetzung von Kardinalzahlen mit bestimmten Ordinalzahlen nicht hergeleitet werden kann. Man kann Kardinalzahlen dann trotzdem als Äquivalenzklassen gleichmächtiger Mengen definieren. Diese sind dann aber nur noch halbgeordnet, da verschiedene Kardinalzahlen nicht mehr vergleichbar sein müssen (diese Forderung ist äquivalent zum Auswahlaxiom). Man kann aber auch die Mächtigkeit von Mengen untersuchen, ohne Kardinalzahlen überhaupt zu benutzen.

Rechenoperationen

Sind LaTeX: X und LaTeX: Y disjunkte Mengen, dann definiert man

  • LaTeX: |X| + |Y| := |X \cup Y|
  • LaTeX: |X| \cdot |Y| := |X \times Y|
  • LaTeX: |X|^{|Y|} := |X^Y|.

Dabei ist LaTeX: X \times Y ein kartesisches Produkt und LaTeX: X^Y die Menge aller Funktionen von LaTeX: Y nach LaTeX: X. Da die Potenzmenge einer Menge LaTeX: X (per Indikatorfunktion LaTeX: Z \mapsto I_Z für LaTeX: Z \sube X) bijektiv abbildbar ist auf die Menge der Funktionen LaTeX: X \to \{0,1\}, ist diese Definition in Übereinstimmung mit der vorigen Definition für die Mächtigkeit der Potenzmengen LaTeX: |2^Y| = 2^{|Y|} (m. a. W. eine Fortsetzung für LaTeX: |X| \ne 2).

Man kann zeigen, dass diese Verknüpfungen für natürliche Zahlen mit den üblichen Rechenoperationen übereinstimmen. Darüber hinaus gilt für alle Mengen LaTeX: X, LaTeX: Y, LaTeX: Z:

  • Addition und Multiplikation sind assoziativ und kommutativ.
  • Addition und Multiplikation erfüllen das Distributivgesetz.
  • Es gelten die Potenzgesetze LaTeX: |X|^{|Y| + |Z|} = |X|^{|Y|}\cdot |X|^{|Z|} und LaTeX: |X|^{|Y| \cdot |Z|}=(|X|^{|Y|})^{|Z|}.
  • Die Addition und Multiplikation unendlicher Kardinalzahlen ist (unter Voraussetzung des Auswahlaxioms) leicht: Ist LaTeX: X oder LaTeX: Y unendlich und im Fall der Multiplikation beide Mengen nichtleer, dann gilt
LaTeX: |X| + |Y| = |X| \cdot |Y| = \max \{|X|, |Y|\}

Keine Kardinalzahl außer LaTeX: 0 besitzt eine Gegenzahl (ein bezüglich der Addition inverses Element), also bilden die Kardinalzahlen mit der Addition keine Gruppe, und erst recht keinen Ring.

Schreibweise

Die endlichen Kardinalzahlen sind die natürlichen Zahlen und werden entsprechend notiert. Für die unendlichen Kardinalzahlen verwendet man für gewöhnlich die Aleph-Notation, also LaTeX: \aleph_0 für die erste unendliche Kardinalzahl, LaTeX: \aleph_1 für die zweite usw. Allgemein gibt es somit zu jeder Ordinalzahl LaTeX: \alpha auch eine Kardinalzahl LaTeX: \aleph_\alpha.

Die tatsächlich bekannten Ordinalzahlen werden gelegentlich mit Hilfe der Beth-Funktion dargestellt. Eine bedeutende davon ist LaTeX: \beth_1 = \aleph = \mathfrak c = 2^{\aleph_0} = |\R| (man beachte, dass das Aleph hier keinen Index hat). In der Mathematik kommen außerhalb der Grundlagenforschung gelegentlich noch Mengen der Größe LaTeX: \beth_2 vor (etwa die Potenzmenge von LaTeX: \R, die Anzahl der Lebesgue-messbaren Mengen, die Menge aller - nicht notwendig stetigen - Funktionen von LaTeX: \R nach LaTeX: \R o. ä.), höhere Zahlen für gewöhnlich nicht.

An der Schreibweise ist die jeweilige Verwendung als Kardinalzahl zu erkennen. So gilt an sich entsprechend dem von-Neumannschen Modell LaTeX: \omega = \aleph_0 = \N (man beachte das Fehlen der Mächtigkeitsstriche), aber für die Ordinalzahl wird erstere, für die Kardinalzahl die mittlere und für die sonst gebrauchte Menge der natürlichen Zahlen letztere Schreibweise verwendet.

Kontinuumshypothese

Hauptartikel: Kontinuumshypothese

Die verallgemeinerte Kontinuumshypothese (eng. generalized continuum hypothesis, daher kurz GCH) besagt, dass für jede unendliche Menge LaTeX: X zwischen den Kardinalzahlen LaTeX: |X| und LaTeX: 2^{|X|} keine weiteren Kardinalzahlen liegen. Die Kontinuumshypothese (eng. continuum hypothesis, daher kurz CH) macht diese Behauptung nur für den Fall LaTeX: X = \N. Sie ist unabhängig von der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre zusammen mit dem Auswahlaxiom (ZFC).

Einzelnachweise

  1.  Dieter Klaua: Mengenlehre. De-Gruyter-Lehrbuch. de Gruyter, Berlin, New York 1. Oktober 1979, ISBN 3-11-007726-4. Hier S. 75, Definition 16, Teil1 Definition 16, Teil2
  2.  H. König: Entwurf und Strukturtheorie von Steuerungen für Fertigungseinrichtungen (= ISW Forschung und Praxis). Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 1976, ISBN 3-540-07669-7, S. 15–17, doi:10.1007/978-3-642-81027-5_1. Hier: Seite 21
  3. Тhοmas Stеιnfеld: Gleichmächtigkeit auf Mathpedia
  4. In ZFC ist LaTeX: \aleph_0 die einzige nicht erreichbare Kardinalzahl. In einem Grothendieck-Universum gibt es allerdings nicht erreichbare Kardinalzahlen.

Siehe auch

Literatur

  • Erich Kamke: Mengenlehre (= Sammlung Göschen. Bd. 999/999a). 7. Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 1971, ISBN 3-11-003911-7.


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