Magnetisches Dipolmoment

Physikalische Größe
Name	Magnetisches Dipolmoment
Formelzeichen	${\vec {m}},{\vec {\mu }}$
Größen- und Einheitensystem Einheit Dimension SI A·m2 I·L2 Gauß (cgs) erg/Gs=abA·cm2 L5/2·M1/2·T−1 esE (cgs) statA·cm2 L3/2·M1/2·T−2 emE (cgs) erg/Gs=abA·cm2 L5/2·M1/2·T−1

Das magnetische Dipolmoment (oder magnetische Moment) ${\vec {m}}$ ist in der Physik ein Vektor, dessen Maß die Stärke eines magnetischen Dipols und dessen Richtung die Orientierung des Dipols angibt. Die Definition ist analog der des elektrischen Dipolmoments.

Auf einen magnetischen Dipol wirkt in einem externen Magnetfeld der Flussdichte ${\vec {B}}$ ein Drehmoment

${\vec {D}}_{\vec {m}}={\vec {m}}\times {\vec {B}}\,,$ 

im Sinn einer Drehung, die den Winkel $\theta$ zwischen dem Dipol und dem Feld verringert ($\times$: Kreuzprodukt). Seine potentielle Energie ist daher abhängig vom Einstellwinkel $\theta$ zwischen Feldrichtung und magnetischem Moment:

$E_{\text{pot}}=-{\vec {m}}\cdot {\vec {B}}\equiv -m\,B\cos \theta .$

Wichtige Beispiele sind die Kompassnadel, der Stabmagnet und der Rotor im Elektromotor.

Die Maßeinheit des magnetischen Moments im Internationalen Einheitensystem (SI) ist A·m². Oft wird das Produkt aus ${\vec {m}}$ und der magnetischen Feldkonstante $\mu _{0}$ verwendet; dieses hat die SI-Einheit T·m³.

Zustandekommen

Ein magnetisches Moment kann auf zwei Weisen erzeugt werden:

• Es kann Folge eines elektrischen Stroms sein:

Die Stromdichteverteilung ${\vec {\jmath }}\,({\vec {r}})$ hat ein magnetisches Moment

${\vec {m}}={\frac {1}{2}}\int \limits _{\mathbb {R} ^{3}}\mathrm {d} ^{3}r\left[{\vec {r}}\times {\vec {\jmath }}\,({\vec {r}})\right].$

Für eine ebene Stromschleife ergibt sich daraus

$m=I\cdot A$

wobei $A$ die vom Strom $I$ umflossene Fläche ist.

Dies ist in der Elektrotechnik Grundlage für z. B. Elektromagneten, Generatoren und Motoren.

• Es kann bei allen Elementarteilchen und daraus zusammengesetzten Systemen auftreten, die einen Eigendrehimpuls (Spin) ${\vec {s}}$ haben. Dann ist das magnetische Moment parallel zum Drehimpuls

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\vec {m}}=\gamma {\vec {s}}.}

$\gamma$ wird gyromagnetisches Verhältnis genannt. Beispiele sind Elektronen. Elektronen verursachen zum Beispiel den makroskopisch bemerkbaren Ferromagnetismus, indem sie bei Elementen der Eisengruppe und der Seltenen Erden ihre Drehimpulse bzw. magnetischen Momente parallel stellen. Ferromagnetische Materialien werden als Dauermagneten oder als Eisenkerne in Elektromagneten und Transformatoren verwendet.

Beispiele

Ebene Leiterschleife

Für eine geschlossene Leiterschleife gilt

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \int {\vec {\jmath }}\,({\vec {r}})\;\mathrm {d} ^{3}r=\int I\;\mathrm {d} {\vec {r}}.}

Dabei bezeichnet

Magnetisches Dipolmoment einer stromumflossenen Fläche

• ${\vec {\jmath }}\,({\vec {r}})$ die Stromdichte am Ort ${\vec {r}}$
• Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \int \mathrm {d} ^{3}r} ein Volumenintegral
• $I$ die Stromstärke durch die Leiterschleife
• $\int \mathrm {d} {\vec {r}}$ ein Wegintegral entlang der Leiterschleife.

Damit folgt für das magnetische Dipolmoment:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\vec {m}}={\frac {I}{2}}\int _{C}({\vec {r}}\times \mathrm {d} {\vec {r}})=I\cdot {\vec {A}}=I\cdot A\cdot {\vec {n}}_{A}}

mit dem Normalenvektor Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\vec {n}}_{A}} auf der ebenen Fläche $A$. Der Vektor Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\vec {n}}_{A}} ist dabei so orientiert, dass er bei gegen den Uhrzeigersinn fließendem Strom nach oben zeigt.

Stromdurchflossene lange Spule

Das magnetische Moment einer stromdurchflossenen Spule ist das Produkt aus Windungszahl $n$, Stromstärke $I$ und Fläche $A$:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\vec {m}}=n\cdot I\cdot {\vec {A}}.}

Darin ist Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\vec {A}}={\vec {n}}_{A}A} der zur Fläche $A$ gehörende Vektor.

→ Siehe auch: magnetischer Verkettungsfluss

Geladenes Teilchen auf einer Kreisbahn

Klassisch

Ist der Kreisstrom dadurch verursacht, dass ein Teilchen mit der Masse $M$ und der Ladung Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle Q} auf einer Kreisbahn (Radius $r$, Umlaufperiode $T$) kreist, ergibt diese Formel

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\vec {m}}=IA\;{\vec {n}}_{A}={\frac {Q}{T}}\cdot \pi r^{2}\;{\vec {n}}_{A}\equiv {\frac {Q}{2M}}{\vec {L}}\quad .}

Das magnetische Moment ist also fest mit dem Drehimpuls

${\vec {L}}=\omega Mr^{2}\;{\vec {n}}_{A}$

verknüpft. Der konstante Faktor Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \gamma ={\tfrac {Q}{2M}}} ist das gyromagnetische Verhältnis für bewegte Ladung auf der Kreisbahn. (Bei der Umrechnung wird die Winkelgeschwindigkeit Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \omega ={\tfrac {2\pi }{T}}} benutzt.)

Quantenmechanisch

Die klassische Formel spielt in der Atom- und Kernphysik eine große Rolle, denn sie gilt auch in der Quantenmechanik, und ein wohlbestimmter Drehimpuls gehört zu jedem Energieniveau eines einzelnen Atoms oder Kerns. Da der Drehimpuls der räumlichen Bewegung (Bahndrehimpuls, im Unterschied zum Spin) nur ganzzahlige Vielfache der Konstanten $\hbar$ (Plancksches Wirkungsquantum) betragen kann, hat auch das magnetische Bahnmoment eine als Magneton bezeichnete kleinste „Einheit“:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \mu ={\frac {Q\hbar }{2M}}\quad .}

Wird für Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle Q} die Elementarladung $e$ eingesetzt, ergibt sich für das Elektron das Bohr’sche Magneton Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \mu _{\mathrm {B} }={\tfrac {e\hbar }{2m_{\mathrm {e} }}}} , für das Proton das Kernmagneton Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \mu _{\mathrm {K} }={\tfrac {e\hbar }{2m_{\mathrm {p} }}}} . Da die Protonenmasse $m_{\mathrm {p} }$ knapp 2000-mal größer ist als die Elektronenmasse $m_{\mathrm {e} }$, ist das Kernmagneton um denselben Faktor kleiner als das Bohr’sche Magneton.

Das magnetische Moment von Teilchen und Kernen

Teilchen und Atomkerne mit einem Spin ${\vec {s}}$ besitzen ein magnetisches Spinmoment Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\vec {\mu }}_{s}} , das zu ihrem Spin parallel (oder antiparallel) ist, aber im Verhältnis zum Spin eine andere Größe hat, als wenn es von einem gleich großen Bahndrehimpuls herrührte. Dies wird durch den anomalen Landé-Faktor des Spins $g_{s}{\mathord {\neq }}1$ ausgedrückt. Man schreibt für Elektron (Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \mathrm {e} ^{-}} ) und Positron (Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \mathrm {e} ^{+}} )

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\vec {\mu }}_{s}=g_{e}\,\mu _{\mathrm {B} }\,{\frac {\vec {s}}{\hbar }}} mit dem Bohr’schen Magneton Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \mu _{\mathrm {B} }} ,

für Proton (p) und Neutron (n)

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\vec {\mu }}_{s}=g_{p,n}\,\mu _{\mathrm {K} }\,{\frac {\vec {s}}{\hbar }}} mit dem Kernmagneton Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \mu _{\mathrm {K} }} ,

und entsprechend für andere Teilchen.

In optischen Spektren von Atomen bewirken die Dipolmomente der Elektronen eine meist geringfügige Aufspaltung der Spektrallinien, die als Feinstruktur bezeichnet wird. Die viel schwächeren Dipolmomente der Atomkerne bewirken zusätzlich die etwa drei Größenordnungen kleinere Hyperfeinstruktur, die entsprechend schwer zu beobachten ist.

Für das Myon wird im Magneton statt der Masse des Elektrons die des Myons eingesetzt, für die Quarks ihre jeweilige Konstituentenmasse und drittelzahlige elektrische Ladung.

Liegt das magnetische Moment antiparallel zum Spin, ist der g-Faktor negativ. Allerdings wird diese Vorzeichenkonvention nicht durchgängig angewendet, so dass häufig der g-Faktor z. B. des Elektrons als positiv angegeben ist.

Teilchen	Spin-g-Faktor
Elektron $e^{-}$	$-2{,}002\,319\,304\,362\,56(35)$
Myon $\mu ^{-}$	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle -2{,}002\,331\,8418(13)}
Proton $p$	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle +5{,}585\,694\,6893(16)}
Neutron $n$	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle -3{,}826\,085\,45(90)}

Die eingeklammerten Ziffern geben die geschätzte Standardabweichung an.

Nach der Dirac-Theorie ist der Landé-Faktor der fundamentalen Fermionen exakt Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle g_{s}{\mathord {=}}\pm 2} , quantenelektrodynamisch wird ein Wert von etwa Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle g_{s}{\mathord {=}}\pm 2{,}0023} vorhergesagt. Präzise Messungen an Elektron bzw. Positron sowie am Myon stimmen damit hervorragend überein, einschließlich der vorhergesagten kleinen Differenz zwischen Elektron und Myon, und bestätigen so die Dirac-Theorie und die Quantenelektrodynamik. Die stark abweichenden g-Faktoren für die Nukleonen sind, allerdings mit Abweichungen im Prozentbereich, durch ihren Aufbau aus jeweils drei Konstituentenquarks zu erklären.

Weisen die Teilchen zusätzlich einen Bahndrehimpuls auf (z. B. Elektronen, die an einen Atomkern gebunden sind), so ist das magnetische Moment die Summe aus Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\vec {\mu }}_{s}} , dem oben betrachteten magnetischen Moment des Spins, und ${\vec {\mu }}_{\ell }$, demjenigen des Bahndrehimpulses:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\vec {\mu }}={\vec {\mu }}_{s}+{\vec {\mu }}_{\ell }} .

Magnetisches Feld eines magnetischen Dipols

Ein magnetischer Dipol ${\vec {m}}$ am Koordinatenursprung führt am Ort ${\vec {r}}$ zu einer magnetischen Flussdichte

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\vec {B}}({\vec {r}})\,=\,{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\,{\frac {3{\vec {r}}({\vec {m}}\cdot {\vec {r}})-{\vec {m}}r^{2}}{r^{5}}}} .

Darin ist $\mu _{0}$ die magnetische Feldkonstante. Außer am Ursprung, wo das Feld divergiert, verschwindet überall sowohl die Rotation als auch die Divergenz dieses Feldes. Das zugehörige Vektorpotential ergibt sich zu

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}})\,=\,{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\,{\frac {{\vec {m}}\times {\vec {r}}}{r^{3}}}} ,

wobei Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}} ist. Mit der magnetischen Feldstärke Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\vec {H}}=-\nabla \psi } beträgt das magnetische Skalarpotential

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \psi ({\vec {r}})\,=\,{\frac {1}{4\pi }}\,{\frac {{\vec {m}}\cdot {\vec {r}}}{r^{3}}}} .

Kraft- und Momentwirkung zwischen magnetischen Dipolen

Kraftwirkung zwischen zwei Dipolen

Die Kraft, die von Dipol 1 auf Dipol 2 ausgeübt wird, ist der Gradient der potentiellen Energie:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\vec {F}}=\nabla \left({\vec {m}}_{2}\cdot {\vec {B}}_{1}\right)} ,

worin ${\vec {B}}_{1}$ das von Dipol 1 erzeugte Feld am Ort von Dipol 2 ist. Es ergibt sich

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}},{\vec {m}}_{1},{\vec {m}}_{2})={\frac {3\mu _{0}}{4\pi r^{4}}}\left[{\vec {m}}_{2}({\vec {m}}_{1}\cdot {\vec {r}}_{n})+{\vec {m}}_{1}({\vec {m}}_{2}\cdot {\vec {r}}_{n})+{\vec {r}}_{n}({\vec {m}}_{1}\cdot {\vec {m}}_{2})-5{\vec {r}}_{n}({\vec {m}}_{1}\cdot {\vec {r}}_{n})({\vec {m}}_{2}\cdot {\vec {r}}_{n})\right],}

worin Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\vec {r}}_{n}} der Einheitsvektor ist, der von Dipol 1 zu Dipol 2 zeigt und $r$ der Abstand zwischen den beiden Magneten ist. Die Kraft auf Dipol 1 ist reziprok.

Drehmomentwirkung zwischen zwei Dipolen

Das Drehmoment, das von Dipol 1 auf Dipol 2 ausgeübt wird, ist

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\vec {M}}={\vec {m}}_{2}\times {\vec {B}}_{1}}

Das Drehmoment auf Dipol 1 ist reziprok.

In Anwesenheit mehrerer Dipole können die Kräfte oder Momente vektoriell addiert werden. Da weichmagnetische Werkstoffe einen feldabhängigen Dipol ausbilden, sind diese Gleichungen hierfür nicht anwendbar.

Literatur

• John David Jackson: Klassische Elektrodynamik. Anhang über Einheiten und Dimensionen. 4. Auflage. De Gruyter, Berlin 2006, ISBN 3-11-018970-4.