Zustandsgleichung

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Als Zustandsgleichung wird der funktionale Zusammenhang zwischen thermodynamischen Zustandsgrößen bezeichnet, mit deren Hilfe sich der Zustand eines thermodynamischen Systems beschreiben lässt. Dabei wählt man eine der Zustandsgrößen als Zustandsfunktion und die anderen, von ihr abhängigen Zustandsgrößen als Zustandsvariablen. Zustandsgleichungen werden benötigt, um die Eigenschaften von Fluiden, Fluidgemischen und Feststoffen zu beschreiben. Alle Zustandsgleichungen eines Systems lassen sich in einem thermodynamischen Potential zusammenfassen.

Einführung

Die bekanntesten Zustandsgleichungen dienen der Zustandsbeschreibung von Gasen und Flüssigkeiten. Der wichtigste und zugleich auch einfachste Vertreter, der in der Regel herangezogen wird, um das Wesen einer Zustandsgleichung zu erklären, ist die allgemeine Gasgleichung. Diese beschreibt zwar nur ein ideales Gas exakt, kann jedoch bei niedrigen Drücken und hohen Temperaturen auch als Näherung für reale Gase herangezogen werden. Bei hohen Drücken, niedrigen Temperaturen und insbesondere Phasenübergängen versagt sie jedoch, so dass andere Zustandsgleichungen notwendig werden. Zustandsgleichungen realer Systeme sind dabei immer Näherungslösungen und können die Eigenschaften eines Stoffes nicht exakt für alle Bedingungen beschreiben.

Zustandsgleichungen sind keine Folgerungen aus den allgemeinen Hauptsätzen der Thermodynamik. Sie müssen empirisch oder mittels statistischer Methoden gefunden werden. Sind alle Zustandsgleichungen eines thermodynamischen Systems bekannt bzw. umfasst eine Zustandsgleichung alle Zustandsgrößen des Systems, so können mit Hilfe der Thermodynamik alle thermodynamischen Eigenschaften desselben ermittelt werden.

In der Thermodynamik wird zwischen kalorischen und thermischen Zustandsgleichungen unterschieden. Aufgrund des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik sind diese jedoch voneinander abhängig.

Thermodynamischer Hintergrund

Zustandsgleichungen stellen einen stoffspezifischen Zusammenhang zwischen thermodynamischen Zustandsgrößen dar. Ein thermodynamisches System, welches aus einer oder mehreren gasförmigen, flüssigen oder festen Phasen besteht, ist im thermodynamischen Gleichgewicht durch eine gewisse Anzahl von Zustandsgrößen eindeutig bestimmt. Zustandsgrößen hängen nur vom aktuellen Zustand, aber nicht von der Vorgeschichte des Systems ab. Zwei Zustände sind genau dann gleich, wenn alle entsprechenden Zustandsgrößen übereinstimmen. Solche Zustandsgrößen sind z. B. die Temperatur LaTeX: T, der Druck LaTeX: p, das Volumen LaTeX: V und die Innere Energie LaTeX: U. Bei einem Stoffgemisch aus LaTeX: K verschiedenen Komponenten sind die Stoffmengen LaTeX: n_i LaTeX: (i = 1, \dotsc, K) gleichfalls Zustandsgrößen, wobei statt der einzelnen Stoffmengen meist die gesamte Stoffmenge LaTeX: n=n_1 + \dotsb + n_K und die Molenbrüche LaTeX: x_i = n_i / n zur Beschreibung verwendet werden.

Die Zustandsgrößen eines Systems sind nicht alle voneinander unabhängig. Die Zahl der unabhängig veränderbaren Zustandsgrößen, d. h. die Zahl LaTeX: F der Freiheitsgrade, hängt gemäß der Gibbsschen Phasenregel von der Zahl LaTeX: K der Komponenten und der Zahl LaTeX: P der verschiedenen Phasen des thermodynamischen Systems ab:

LaTeX: F = K + 2 - P.
  • Bei einem einkomponentigen einphasigen System (z. B. flüssigem Wasser; LaTeX: K = P = 1) genügen demnach zwei Zustandsgrößen zur eindeutigen Festlegung des Zustandes. Bei gegebener Stoffmenge LaTeX: n sind die Zustandsgrößen LaTeX: T, LaTeX: p und LaTeX: V nicht unabhängig voneinander. Sind z. B. die Temperatur LaTeX: T und der Druck LaTeX: p vorgegeben, so stellt sich automatisch ein bestimmtes Volumen LaTeX: V ein, das nicht variiert werden kann, ohne zugleich LaTeX: T oder LaTeX: p zu ändern.
  • Befinden sich bei einem einkomponentigen System zwei Phasen im Gleichgewicht (LaTeX: K = 1; P = 2), dann genügt bereits eine Zustandsgröße zur Festlegung. Ist z. B. die Temperatur gegeben, dann stellt sich im Phasengleichgewicht zwischen Flüssigkeit und Dampf automatisch ein bestimmter stoffspezifischer Druck ein, der als Dampfdruck bezeichnet wird. Der funktionale Zusammenhang zwischen Temperatur und Dampfdruck ist eine Zustandsgleichung.

Die thermische Zustandsgleichung

Die thermische Zustandsgleichung setzt die Zustandsgrößen Druck LaTeX: p, Volumen LaTeX: V, Temperatur LaTeX: T und Stoffmenge LaTeX: n zueinander in Beziehung.

Die meisten thermischen Zustandsgleichungen, z. B. die allgemeine Gasgleichung und die Van-der-Waals-Gleichung, enthalten explizit, d. h. als Zustandsfunktion, den Druck :

LaTeX:  p = f(T,V,n).

Ist das molare Volumen LaTeX: V_m(T,p) oder die Dichte LaTeX: \rho(T,p) in Abhängigkeit von Temperatur LaTeX: T und Druck LaTeX: p gegeben, so entspricht dies einer thermischen Zustandsgleichung, die explizit das Volumen enthält:

LaTeX: \Leftrightarrow V = n \cdot V_m(T,p) = \frac{n \cdot M}{\rho(T,p)} = f(T,p,n).

wobei LaTeX: M die mittlere molare Masse des Systems bezeichnet.

Alle diese Formen sind gleichwertig und enthalten dieselbe Information.

Für LaTeX: V = V(T,p,n) ergibt sich daraus das totale Differential:

LaTeX: \Rightarrow \mathrm d V = \left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_{p,n} \mathrm d T + \left( \frac{\partial V}{\partial p} \right)_{T,n} \mathrm d p + \left( \frac{\partial V}{\partial n} \right)_{T,p} \mathrm d n.

Dieses lässt sich vereinfachen durch

woraus resultiert:

LaTeX: \Rightarrow \mathrm d V = \left( V \cdot \gamma \right) \mathrm d T - \left( V  \cdot \kappa \right) \mathrm d p + V_m \mathrm d n.

Die kalorische Zustandsgleichung

Die Eigenschaften eines thermodynamischen Systems, also die stoffspezifischen Zusammenhänge aller Zustandsgrößen, sind durch eine thermische Zustandsgleichung allein nicht vollständig bestimmt. Die Bestimmung der thermodynamischen Potentiale, welche alle Informationen über ein thermodynamisches System enthalten, erfordert zusätzlich eine kalorische Zustandsgleichung. Sie beinhaltet eine Zustandsgröße, die nicht von der thermischen Zustandsgleichung, sondern nur von der Temperatur abhängt.

Besonders gebräuchlich ist die einfach messbare spezifische Wärmekapazität LaTeX: c_p^0(T) bei Normaldruck LaTeX: p_0 = 1{,}01325 bar. Ist LaTeX: c_p^0(T) gegeben (z. B. durch eine Wertetabelle zur Spline-Interpolation oder ein Polynom 4. Grades), so können die spezifische Enthalpie LaTeX: h(T,p_0) und die spezifische Entropie LaTeX: s(T,p_0) bei Normaldruck in Abhängigkeit von der Temperatur berechnet werden:

LaTeX:  h(T,p_0) = \frac{H_0}{M} + \int_{T_0}^{T}c_p^0(\tilde{T}) \cdot \mathrm{d} \tilde{T}
LaTeX:  s(T,p_0) = \frac{S_0}{M} + \int_{T_0}^{T}\frac{c_p^0(\tilde{T})}{\tilde{T}} \cdot \mathrm{d} \tilde{T}

mit

beide bei Normalbedingungen (LaTeX: T_0=298{,}15\,\mathrm{K}; p_0 = 1{,}01325\,\mathrm{bar}). Sie sind für viele Stoffe tabelliert.

Daraus ergibt sich die spezifische freie Enthalpie bei Normaldruck in Abhängigkeit von der Temperatur:

LaTeX:  \Rightarrow g(T,p_0) = h(T,p_0) - T \cdot s(T,p_0).

Mit der Dichte LaTeX: \rho(T,p) in Abhängigkeit von Temperatur LaTeX: T und Druck LaTeX: p, also einer thermischen Zustandsgleichung, kann daraus die spezifische freie Enthalpie nicht nur für beliebige Temperaturen, sondern auch für beliebigen Druck berechnet werden:

LaTeX:  \Rightarrow g(T,p) = \frac{H_0 - T \cdot S_0}{M} + \left(  \int_{T_0}^T c_p^0(\tilde{T})       - T \int_{T_0}^T \frac{c_p^0(\tilde{T})}{\tilde{T}} \right) \cdot \mathrm{d} \tilde{T} +   \int_{p_0}^p \frac{1}{\rho(T,\tilde{p})}                   \cdot \mathrm{d} \tilde{p}

Da die freie Enthalpie bezüglich der Variablen LaTeX: T und LaTeX: p ein thermodynamisches Potential ist, sind damit alle thermodynamische Größen des Systems bestimmt und berechenbar.

In alternativer, aber äquivalenter Weise beschreibt die kalorische Zustandsgleichung auch die Verknüpfung zweier anderer thermodynamischer Potentiale, nämlich der inneren Energie U bzw. der Enthalpie H mit jeweils drei thermodynamischen Zustandsgrößen: der Temperatur T, dem Volumen V (bzw. dem Druck p) und der Stoffmenge n.

Für LaTeX: U = U(T,V,n_1, \dots, n_k)
und LaTeX: H = H(T,p,n_1, \dots, n_k) ergeben sich die totalen Differentiale:

LaTeX: \Rightarrow \mathrm d U = \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_{V,n_i} \mathrm d T + \left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_{T,n_i} \mathrm d V + \sum_{i=1}^k \left( \frac{\partial U}{\partial n_i} \right)_{T,V,n_{j \not= i}} \mathrm d n_i
LaTeX: \Rightarrow \mathrm d H = \left( \frac{\partial H}{\partial T} \right)_{p,n_i} \mathrm d T + \left( \frac{\partial H}{\partial p} \right)_{T,n_i} \mathrm d p + \sum_{i=1}^k \left( \frac{\partial H}{\partial n_i} \right)_{T,p,n_{j \not= i}} \mathrm d n_i

Mit der Annahme LaTeX: \mathrm{d} n_i = 0 (konstante Stoffmenge) und den Beziehungen

LaTeX: \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_{V} = C_V (isochore Wärmekapazität)
LaTeX: \left( \frac{\partial H}{\partial T} \right)_{p} = C_p (isobare Wärmekapazität)
LaTeX: \left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_{T} = T \left( \frac{\partial p}{\partial T} \right)_{V} - p

folgt

LaTeX: \Rightarrow \mathrm d U = C_V \cdot \mathrm d T - \left[ p - T \left( \frac{\partial p}{\partial T} \right)_V \right] \mathrm d V

und

LaTeX: \Rightarrow \mathrm d H = C_p \cdot \mathrm d T + \left( \frac{\partial H}{\partial p} \right)_T \mathrm d p.

Beispiele

Ideale Gase

Reale Gase

Hauptartikel: Reales Gas

Hochverdichtete Materie

Sprengstoffe

Festkörper unter hydrostatischem Druck

Wasser

Weitere

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. J. Richard, Jr. Elliott; S. Jayaraman Suresh; Marc D. Donohue: A Simple Equation of State for Nonspherical and Associating Molecules. In: Ind. Eng. Chem. Res.. 29, Nr. 7, 1990, S. 1476–1485. doi:10.1021/ie00103a057.
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