Magnetisches Dipolmoment

Physikalische Größe
Name	Magnetisches Dipolmoment
Formelzeichen	$\overrightarrow{m},\overrightarrow{\mu }$
Größen- und Einheitensystem Einheit Dimension SI A·m2 I·L2 Gauß (cgs) erg/Gs=abA·cm2 L5/2·M1/2·T−1 esE (cgs) statA·cm2 L3/2·M1/2·T−2 emE (cgs) erg/Gs=abA·cm2 L5/2·M1/2·T−1

Das magnetische Dipolmoment (oder magnetische Moment) $\overrightarrow{m}$ ist in der Physik ein Vektor, dessen Maß die Stärke eines magnetischen Dipols und dessen Richtung die Orientierung des Dipols angibt. Die Definition ist analog der des elektrischen Dipolmoments.

Auf einen magnetischen Dipol wirkt in einem externen Magnetfeld der Flussdichte $\overrightarrow{B}$ ein Drehmoment

${\overrightarrow{D}}_{\overrightarrow{m}}=\overrightarrow{m}\times \overrightarrow{B},$ 

im Sinn einer Drehung, die den Winkel $\theta$ zwischen dem Dipol und dem Feld verringert ($\times$: Kreuzprodukt). Seine potentielle Energie ist daher abhängig vom Einstellwinkel $\theta$ zwischen Feldrichtung und magnetischem Moment:

$E_{\text{pot}}=-\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{B}\equiv -mB\cos \theta .$

Wichtige Beispiele sind die Kompassnadel, der Stabmagnet und der Rotor im Elektromotor.

Die Maßeinheit des magnetischen Moments im Internationalen Einheitensystem (SI) ist A·m². Oft wird das Produkt aus $\overrightarrow{m}$ und der magnetischen Feldkonstante ${\mu }_0$ verwendet; dieses hat die SI-Einheit T·m³.

Zustandekommen

Ein magnetisches Moment kann auf zwei Weisen erzeugt werden:

• Es kann Folge eines elektrischen Stroms sein:

Die Stromdichteverteilung $\overrightarrow{ȷ}(\overrightarrow{r})$ hat ein magnetisches Moment

$\overrightarrow{m}=\frac{1}{2}\underset{{\mathbb{ℝ}}^3}{\int }{\mathrm{d}}^{3}r[\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{ȷ}(\overrightarrow{r})].$

Für eine ebene Stromschleife ergibt sich daraus

$m=I\cdot A$

wobei $A$ die vom Strom $I$ umflossene Fläche ist.

Dies ist in der Elektrotechnik Grundlage für z. B. Elektromagneten, Generatoren und Motoren.

• Es kann bei allen Elementarteilchen und daraus zusammengesetzten Systemen auftreten, die einen Eigendrehimpuls (Spin) $\overrightarrow{s}$ haben. Dann ist das magnetische Moment parallel zum Drehimpuls

$\overrightarrow{m}=\gamma \overrightarrow{s}.$

$\gamma$ wird gyromagnetisches Verhältnis genannt. Beispiele sind Elektronen. Elektronen verursachen zum Beispiel den makroskopisch bemerkbaren Ferromagnetismus, indem sie bei Elementen der Eisengruppe und der Seltenen Erden ihre Drehimpulse bzw. magnetischen Momente parallel stellen. Ferromagnetische Materialien werden als Dauermagneten oder als Eisenkerne in Elektromagneten und Transformatoren verwendet.

Beispiele

Ebene Leiterschleife

Für eine geschlossene Leiterschleife gilt

$\int \overrightarrow{ȷ}(\overrightarrow{r}){\mathrm{d}}^{3}r=\int I\mathrm{d}\overrightarrow{r}.$

Dabei bezeichnet

Magnetisches Dipolmoment einer stromumflossenen Fläche

• $\overrightarrow{ȷ}(\overrightarrow{r})$ die Stromdichte am Ort $\overrightarrow{r}$
• $\int {\mathrm{d}}^{3}r$ ein Volumenintegral
• $I$ die Stromstärke durch die Leiterschleife
• $\int \mathrm{d}\overrightarrow{r}$ ein Wegintegral entlang der Leiterschleife.

Damit folgt für das magnetische Dipolmoment:

$\overrightarrow{m}=\frac{I}{2}\underset{C}{\int }(\overrightarrow{r}\times \mathrm{d}\overrightarrow{r})=I\cdot \overrightarrow{A}=I\cdot A\cdot {\overrightarrow{n}}_A$

mit dem Normalenvektor ${\overrightarrow{n}}_A$ auf der ebenen Fläche $A$. Der Vektor ${\overrightarrow{n}}_A$ ist dabei so orientiert, dass er bei gegen den Uhrzeigersinn fließendem Strom nach oben zeigt.

Stromdurchflossene lange Spule

Das magnetische Moment einer stromdurchflossenen Spule ist das Produkt aus Windungszahl $n$, Stromstärke $I$ und Fläche $A$:

$\overrightarrow{m}=n\cdot I\cdot \overrightarrow{A}.$

Darin ist $\overrightarrow{A}={\overrightarrow{n}}_{A}A$ der zur Fläche $A$ gehörende Vektor.

→ Siehe auch: magnetischer Verkettungsfluss

Geladenes Teilchen auf einer Kreisbahn

Klassisch

Ist der Kreisstrom dadurch verursacht, dass ein Teilchen mit der Masse $M$ und der Ladung $Q$ auf einer Kreisbahn (Radius $r$, Umlaufperiode $T$) kreist, ergibt diese Formel

$\overrightarrow{m}=IA{\overrightarrow{n}}_A=\frac{Q}{T}\cdot \pi r^2{\overrightarrow{n}}_A\equiv \frac{Q}{2M}\overrightarrow{L}.$

Das magnetische Moment ist also fest mit dem Drehimpuls

$\overrightarrow{L}=\omega M{r}^2{\overrightarrow{n}}_A$

verknüpft. Der konstante Faktor $\gamma =\frac{Q}{2M}$ ist das gyromagnetische Verhältnis für bewegte Ladung auf der Kreisbahn. (Bei der Umrechnung wird die Winkelgeschwindigkeit $\omega =\frac{2\pi }{T}$ benutzt.)

Quantenmechanisch

Die klassische Formel spielt in der Atom- und Kernphysik eine große Rolle, denn sie gilt auch in der Quantenmechanik, und ein wohlbestimmter Drehimpuls gehört zu jedem Energieniveau eines einzelnen Atoms oder Kerns. Da der Drehimpuls der räumlichen Bewegung (Bahndrehimpuls, im Unterschied zum Spin) nur ganzzahlige Vielfache der Konstanten $\hslash$ (Plancksches Wirkungsquantum) betragen kann, hat auch das magnetische Bahnmoment eine als Magneton bezeichnete kleinste „Einheit“:

$\mu =\frac{Q\hslash }{2M}.$

Wird für $Q$ die Elementarladung $e$ eingesetzt, ergibt sich für das Elektron das Bohr’sche Magneton ${\mu }_{\mathrm{B}}=\frac{e\hslash }{2m_{\mathrm{e}}}$, für das Proton das Kernmagneton ${\mu }_{\mathrm{K}}=\frac{e\hslash }{2m_{\mathrm{p}}}$. Da die Protonenmasse $m_{\mathrm{p}}$ knapp 2000-mal größer ist als die Elektronenmasse $m_{\mathrm{e}}$, ist das Kernmagneton um denselben Faktor kleiner als das Bohr’sche Magneton.

Das magnetische Moment von Teilchen und Kernen

Teilchen und Atomkerne mit einem Spin $\overrightarrow{s}$ besitzen ein magnetisches Spinmoment ${\overrightarrow{\mu }}_s$, das zu ihrem Spin parallel (oder antiparallel) ist, aber im Verhältnis zum Spin eine andere Größe hat, als wenn es von einem gleich großen Bahndrehimpuls herrührte. Dies wird durch den anomalen Landé-Faktor des Spins $g_s\ne 1$ ausgedrückt. Man schreibt für Elektron (${\mathrm{e}}^{-}$) und Positron (${\mathrm{e}}^{+}$)

${\overrightarrow{\mu }}_s=g_e{\mu }_{\mathrm{B}}\frac{\overrightarrow{s}}{\hslash }$ mit dem Bohr’schen Magneton ${\mu }_{\mathrm{B}}$,

für Proton (p) und Neutron (n)

${\overrightarrow{\mu }}_s=g_{p,n}{\mu }_{\mathrm{K}}\frac{\overrightarrow{s}}{\hslash }$ mit dem Kernmagneton ${\mu }_{\mathrm{K}}$,

und entsprechend für andere Teilchen.

In optischen Spektren von Atomen bewirken die Dipolmomente der Elektronen eine meist geringfügige Aufspaltung der Spektrallinien, die als Feinstruktur bezeichnet wird. Die viel schwächeren Dipolmomente der Atomkerne bewirken zusätzlich die etwa drei Größenordnungen kleinere Hyperfeinstruktur, die entsprechend schwer zu beobachten ist.

Für das Myon wird im Magneton statt der Masse des Elektrons die des Myons eingesetzt, für die Quarks ihre jeweilige Konstituentenmasse und drittelzahlige elektrische Ladung.

Liegt das magnetische Moment antiparallel zum Spin, ist der g-Faktor negativ. Allerdings wird diese Vorzeichenkonvention nicht durchgängig angewendet, so dass häufig der g-Faktor z. B. des Elektrons als positiv angegeben ist.

Teilchen	Spin-g-Faktor
Elektron $e^{-}$	$-2,00231930436256(35)$
Myon ${\mu }^{-}$	$-2,0023318418(13)$
Proton $p$	$+5,5856946893(16)$
Neutron $n$	$-3,82608545(90)$

Die eingeklammerten Ziffern geben die geschätzte Standardabweichung an.

Nach der Dirac-Theorie ist der Landé-Faktor der fundamentalen Fermionen exakt $g_s=\pm 2$, quantenelektrodynamisch wird ein Wert von etwa $g_s=\pm 2,0023$ vorhergesagt. Präzise Messungen an Elektron bzw. Positron sowie am Myon stimmen damit hervorragend überein, einschließlich der vorhergesagten kleinen Differenz zwischen Elektron und Myon, und bestätigen so die Dirac-Theorie und die Quantenelektrodynamik. Die stark abweichenden g-Faktoren für die Nukleonen sind, allerdings mit Abweichungen im Prozentbereich, durch ihren Aufbau aus jeweils drei Konstituentenquarks zu erklären.

Weisen die Teilchen zusätzlich einen Bahndrehimpuls auf (z. B. Elektronen, die an einen Atomkern gebunden sind), so ist das magnetische Moment die Summe aus ${\overrightarrow{\mu }}_s$, dem oben betrachteten magnetischen Moment des Spins, und ${\overrightarrow{\mu }}_{\ell }$, demjenigen des Bahndrehimpulses:

$\overrightarrow{\mu }={\overrightarrow{\mu }}_s+{\overrightarrow{\mu }}_{\ell }$.

Magnetisches Feld eines magnetischen Dipols

Ein magnetischer Dipol $\overrightarrow{m}$ am Koordinatenursprung führt am Ort $\overrightarrow{r}$ zu einer magnetischen Flussdichte

$\overrightarrow{B}(\overrightarrow{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{3\overrightarrow{r}(\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{r})-\overrightarrow{m}{r}^2}{r^5}$.

Darin ist ${\mu }_0$ die magnetische Feldkonstante. Außer am Ursprung, wo das Feld divergiert, verschwindet überall sowohl die Rotation als auch die Divergenz dieses Feldes. Das zugehörige Vektorpotential ergibt sich zu

$\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{\overrightarrow{m}\times \overrightarrow{r}}{r^3}$,

wobei $\overrightarrow{B}=\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{A}$ ist. Mit der magnetischen Feldstärke $\overrightarrow{H}=-\mathrm{\nabla }\psi$ beträgt das magnetische Skalarpotential

$\psi (\overrightarrow{r})=\frac{1}{4\pi }\frac{\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{r}}{r^3}$.

Kraft- und Momentwirkung zwischen magnetischen Dipolen

Kraftwirkung zwischen zwei Dipolen

Die Kraft, die von Dipol 1 auf Dipol 2 ausgeübt wird, ist der Gradient der potentiellen Energie:

$\overrightarrow{F}=\mathrm{\nabla }({\overrightarrow{m}}_2\cdot {\overrightarrow{B}}_1)$,

worin ${\overrightarrow{B}}_1$ das von Dipol 1 erzeugte Feld am Ort von Dipol 2 ist. Es ergibt sich

$\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r},{\overrightarrow{m}}_1,{\overrightarrow{m}}_2)=\frac{3{\mu }_0}{4\pi r^4}[{\overrightarrow{m}}_2({\overrightarrow{m}}_1\cdot {\overrightarrow{r}}_n)+{\overrightarrow{m}}_1({\overrightarrow{m}}_2\cdot {\overrightarrow{r}}_n)+{\overrightarrow{r}}_n({\overrightarrow{m}}_1\cdot {\overrightarrow{m}}_2)-5{\overrightarrow{r}}_n({\overrightarrow{m}}_1\cdot {\overrightarrow{r}}_n)({\overrightarrow{m}}_2\cdot {\overrightarrow{r}}_n)],$

worin ${\overrightarrow{r}}_n$ der Einheitsvektor ist, der von Dipol 1 zu Dipol 2 zeigt und $r$ der Abstand zwischen den beiden Magneten ist. Die Kraft auf Dipol 1 ist reziprok.

Drehmomentwirkung zwischen zwei Dipolen

Das Drehmoment, das von Dipol 1 auf Dipol 2 ausgeübt wird, ist

$\overrightarrow{M}={\overrightarrow{m}}_2\times {\overrightarrow{B}}_1$

Das Drehmoment auf Dipol 1 ist reziprok.

In Anwesenheit mehrerer Dipole können die Kräfte oder Momente vektoriell addiert werden. Da weichmagnetische Werkstoffe einen feldabhängigen Dipol ausbilden, sind diese Gleichungen hierfür nicht anwendbar.

Literatur

• John David Jackson: Klassische Elektrodynamik. Anhang über Einheiten und Dimensionen. 4. Auflage. De Gruyter, Berlin 2006, ISBN 3-11-018970-4.