Welle

Aus AnthroWiki
(Weitergeleitet von Stehende Welle)
Wechseln zu: Navigation, Suche
Linear polarisierte elektromagnetische Welle im Vakuum. Die monochromatische Welle mit der Wellenlänge  breitet sich in x-Richtung aus, die elektrische Feldstärke  (in blau) und die magnetische Flussdichte  (in rot) stehen zueinander und zur Ausbreitungsrichtung im rechten Winkel. Linear polarisierte elektromagnetische Welle im Vakuum. Die monochromatische Welle mit der Wellenlänge  breitet sich in x-Richtung aus, die elektrische Feldstärke  (in blau) und die magnetische Flussdichte  (in rot) stehen zueinander und zur Ausbreitungsrichtung im rechten Winkel.
Linear polarisierte elektromagnetische Welle im Vakuum. Die monochromatische Welle mit der Wellenlänge LaTeX: \lambda breitet sich in x-Richtung aus, die elektrische Feldstärke LaTeX: \vec E (in blau) und die magnetische Flussdichte LaTeX: \vec B (in rot) stehen zueinander und zur Ausbreitungsrichtung im rechten Winkel.

Eine Welle ist aus physikalischer Sicht eine sich räumlich mit einer bestimmten Geschwindigkeit ausbreitende Veränderung (Störung) bzw. Schwingung einer orts- und zeitabhängigen physikalischen Größe. Dabei wird keine Materie, wohl aber Energie transportiert. Mechanische Wellen - wie beispielsweise Schallwellen oder Wasserwellen - bedürfen für ihre Ausbreitung eines materiellen Trägers (bei Schallwellen z.B. Luft, Wasser oder auch Festkörper), während sich etwa elektromagnetische Wellen auch im Vakuum ausbreiten können.

Transversalwelle Longitudinalwelle
Transversalwelle
Longitudinalwelle

Grundlagen

Fällt die Schwingungsrichtung mit der Ausbreitungsrichtung zusammen, spricht man von Logitudinalwellen, während bei Transversalwellen die Schwingung quer zur Ausbreitungsrichtung erfolgt. Dreht sich dabei die Schwingungsebene um die Ausbreitungsachse, spricht man von Torsionswellen. Schallwellen breiten sich in Flüssigkeiten und Gasen als Longitudinalwellen aus, in Festkörpern hingegen ähnlich den elektromagnetischen Wellen auch als Transversalwellen.

lineare Polarisation
zirkulare Polarisation
elliptische Polarisation

Bei Transversalwellen kann das Phänomen der Polarisation auftreten. Bei konstanter Schwingungsrichtung handelt es sich um eine lineare Polarisation. Bei der zirkularen Polarisation (früher auch drehende Polarisation genannt) ändert sich die Schwingungsrichtung hingegen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit. Eine Mischform dieser beiden Möglichkeiten ist die elliptische Polarisation. Ändert sich die Schwingungsrichtung beständig und völlig ungeordnet, ist die Welle unpolarisiert.

Die Wellenlänge LaTeX: \lambda ist der kleinste Abstand zweier Punkte in gleicher Phase und umgekehrt proportional zur Frequenz LaTeX: \nu, mit der Phasengeschwindigkeit LaTeX: c als Proportionalitätsfaktor. Ihr Kehrwert ist die Wellenzahl LaTeX: \tilde \nu, die die Anzahl der Wellenlängen pro Längeneinheit angibt. Für monochromatische Wellen ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle mit der Phasengeschwindigkeit identisch.

LaTeX: \lambda=\frac c\nu\ bzw. LaTeX: \tilde \nu = \frac{1}{\lambda} =  \frac{\nu}{c}

Für elektromagnetische Wellen ist die Phasengeschwindigkeit LaTeX: c gleich der Lichtgeschwindigkeit, d.h. der endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts im Vakuum. Nach den Maxwellschen Gleichungen der Elektrodynamik ist sie unabhängig von der Frequenz und der Bewegung der Lichtquelle stets konstant. Ihr Wert beträgt LaTeX: c=299\,792\,458\;\mathrm{m/s}. Aus der Konstanz der Vakuumlichtgeschwindigkeit folgen die 1905 von Albert Einstein veröffentlichten Gesetzmäßigkeiten der speziellen Relativitätstheorie.

Die Wellenfront ist eine ebene oder gekrümmte Fläche, auf der alle Punkte mit gleicher Laufzeit vom Sender liegen. Senkrecht auf die Wellenfront steht der Wellenvektor oder Wellenzahlvektor LaTeX: \vec{k}. Der Betrag des Wellenvektors ist die Kreiswellenzahl LaTeX: k: die Bezeichnung Wellenzahlvektor:

LaTeX: k = |\vec{k}| = \frac{\omega}{c}=\frac{2 \pi}{\lambda},

Sinuswelle

Eine fortschreitende Wanderwelle mit der Wellenlänge LaTeX: \lambda
Eine stehende Welle (schwarz) als Überlagerung zweier gegenläufiger Wanderwellen (rot und blau). Die Knoten der stehenden Welle befinden sich an den roten Punkten.
Ausbreitung eines eindimensionalen Wellenpakets ohne Dispersion.
Ausbreitung eines Wellenpakets in einem dispersiven Medium.
Die Ebenen gleicher Phase einer ebenen Welle im dreidimensionalen Raum.

Eine monochromatische Welle, d.h. eine Welle mit nur einer einzigen Frequenz, kann als harmonische Welle, d.h. als Sinuswelle durch die Funktion LaTeX: A \cdot \sin(\omega t + \phi) beschrieben werden. LaTeX: A ist dabei die Amplitude, LaTeX: \omega = 2\pi\nu die Kreisfrequenz, LaTeX: t die Zeit und LaTeX: \phi die Anfangsphase der Welle.

Stehende Welle und Wanderwelle

Eine stehende Welle ist dadurch gekennzeichnet, dass ihre Auslenkung - im Gegensatz zu einer fortschreitenden Wanderwelle - an bestimmten Stellen, den Wellenknoten, stets Null bleibt, während sie an anderen, den Wellenbäuchen, weit ausschwingt.

Wellenpaket

Ein Wellenpaket ist eine räumlich oder zeitlich begrenzte Welle. Mathematisch kann sie durch Überlagerung (Superposition) mehrerer harmonischer Wellen (Sinuswellen) erzeugt werden (→ Fourier-Synthese) bzw. durch Fourier-Analyse bzw. experimentell durch Spektralanalyse wieder in ihre Bestandteile zerlegt werden.

Ist die Phasengeschwindigkeit der Welle von der Frequenz abhängig, kommt es zur Dispersion durch die das Wellenpaket mit fortschreitender Zeit zerfließt. Die Geschwindigkeit, mit der sich die Einhüllende eines Wellenpakets bewegt, ist die Gruppengeschwindigkeit. Im Allgemeinen, insbesondere wenn die Phasengeschwindigkeit stark frequenzabhängig ist oder die Absorption nicht vernachlässigt werden kann, ist die Signalgeschwindigkeit von der Gruppengeschwindigkeit zu unterscheiden. Die Geschwindigkeit mit der sich die erste Auslenkung einer Wellenfront bewegt, also die Frontgeschwindigkeit - und damit auch die Signalgeschwindigkeit - ist immer kleiner als die Lichtgeschwindigkeit.

Ebene Welle

Eine ebene Welle breitet sich so im dreidimensionalen Raum aus, dass ihre Wellenfronten, d.h. die Flächen mit gleichen Phasenwinkel, senkrecht zur Ausbreitungsrichtung stehen.

Wellengleichung

Mathematisch betrachtet ist eine Welle LaTeX: u(x_1, ..., x_i, t) im LaTeX: n-dimensionalen Raum eine Lösung der allgemeinen Wellengleichung.

Für die homogene Wellengleichung gilt:

LaTeX:  \frac 1 {c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^{\prime 2}}-\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} = 0 bzw. LaTeX: \frac 1 {c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^{\prime 2}}-\Delta u = 0 mit dem Laplace-Operator LaTeX: \Delta= \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2}{\partial x_i^2} bzw. kurz LaTeX:  \Box u = 0

mit dem d’Alembert-Operator (Box) LaTeX: \Box = \frac{\partial ^2}{\partial t^2} - \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2}{\partial x_i^2}

Mit der Inhomogenität oder Quelle LaTeX: v(x_1, ..., x_i, t) von LaTeX: u ergibt sich entsprechend für die inhomogene Wellengleichung: LaTeX: \Box u = v

Für eine eindimensionalen homogene Welle folgt daraus die vereinfachte Form:

LaTeX: \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0

Mittels Fourier-Transformation lässt sich die allgemeine Lösung der Wellengleichung mit der Kreisfrequenz LaTeX: \omega = 2\pi\nu = kc als Linearkombination komplexer Exponentialfunktionen bzw. Sinusfunktionen folgender Form darstellen:

LaTeX: A\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathbf k \mathbf x -\omega t)} bzw. LaTeX: A\sin(\mathbf k \mathbf x -\omega t + \varphi)

Siehe auch

Weblinks

Commons-logo.png Commons: Wellen - Weitere Bilder oder Audiodateien zum Thema