Potenzrechnung

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Die Schreibweise einer Potenz: $\text{Potenzwert}={\text{Basis}}^{\text{Exponent}}$

Eine Potenz (von lat. potentia, ‚Vermögen, Macht‘) ist das Ergebnis des Potenzierens (der Exponentiation), das wie das Multiplizieren seinem Ursprung nach eine abkürzende Schreibweise für eine wiederholte mathematische Rechenoperation ist. Wie beim Multiplizieren ein Summand wiederholt zu sich selbst addiert wird, so wird beim Potenzieren ein Faktor wiederholt mit sich selbst multipliziert. Dabei heißt die Zahl, die zu multiplizieren ist, Basis. Wie oft diese Basis als Faktor auftritt, wird durch den Exponenten angegeben. Man schreibt:

$\text{Potenzwert}={\text{Basis}}^{\text{Exponent}}$

Definition

Man spricht $a^n$ als a hoch n, n-te Potenz von a, a zur n-ten Potenz oder kurz a zur n-ten aus. Im Fall $n=2$ ist auch a (zum) Quadrat üblich.

$a$ heißt Basis (oder Grundzahl), $n$ heißt Exponent (oder Hochzahl) der Potenz $a^n$. Das Ergebnis heißt Potenz oder Wert der Potenz.

Natürliche Exponenten

Die Potenz $a^n$ wird für reelle oder komplexe Zahlen $a$ (allgemeiner Elemente eines beliebigen multiplikativen Monoids) und natürliche Zahlen $n$ durch

$\begin{array}{c}{a}^n:=\underset{n\mathrm{F}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{n}}{\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdots a}}\end{array}$

definiert. Diese Definition gilt nur für $n=1,2,3,\dots$ Damit die aus ihr (ebenfalls nur für $n=1,2,3,\dots$) folgende Identität $a\cdot a^n=a^{n+1}$ auch noch für $n=0$ gilt, wird $a^0:=1$ festgelegt.

Die folgende Modifikation erleichtert die Behandlung des Sonderfalles $n=0$:

Die Potenzschreibweise bedeutet „Multipliziere die Zahl 1 mit der Grundzahl so oft, wie der Exponent angibt“, also

$\begin{array}{c}{a}^n=1\cdot \underset{n\mathrm{F}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{n}}{\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdots a}}.\end{array}$

Der Exponent 0 sagt aus, dass die Zahl 1 keinmal mit der Grundzahl multipliziert wird und allein stehen bleibt, sodass man das Ergebnis 1 erhält.

$\begin{array}{cc}{a}^2& =1\cdot a\cdot a\\ a^1& =1\cdot a\\ a^0& =1\end{array}$

Bei negativer Basis und geradzahligem Exponenten ist die Potenz positiv:

$(-|a|{)}^{2n}=|a{|}^{2n}$

Bei negativer Basis und ungeradzahligem Exponenten ist die Potenz negativ:

$(-|a|{)}^{2n+1}=-|a{|}^{2n+1}$

Ganze negative Exponenten

Negative Exponenten bedeuten, dass man die zur Multiplikation inverse Operation (Division) durchführen soll. Also „Dividiere die Zahl 1 durch die Grundzahl so oft, wie der Betrag des Exponenten angibt“.

$\begin{array}{c}{a}^{-n}=1:\underset{n\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{n}}{\underbrace{a:a:a:\cdots :a}}\end{array}$

Für eine reelle Zahl $a$ und eine natürliche Zahl $n$ definiert man also:

$a^{-n}:=\frac{1}{a^n},a\ne 0$

Die analoge Definition wird auch in allgemeinerem Kontext angewandt, wann immer eine Multiplikation und inverse Elemente zur Verfügung stehen, beispielsweise bei invertierbaren Matrizen.

Rationale Exponenten

Sei $q$ eine rationale Zahl mit der Bruchdarstellung $q=\frac{m}{n}$ mit $m\in \mathbb{\mathbb{Z}},n\in \mathbb{\mathbb{N}}$. Für beliebige positive reelle $a$ definiert man:

$a^q=a^{\frac{m}{n}}:=\sqrt[n]{a^m}$ $$ (oder, was äquivalent ist, $a^{\frac{m}{n}}:=(\sqrt[n]{a}{)}^m$)

Zum Beispiel gilt:

$2^{3,1}=2^{31/10}=\sqrt[10]{2^{31}}=(\sqrt[10]{2}{)}^{31}$

Der Wert der Potenz hängt nicht davon ab, welche Bruchdarstellung man gewählt hat.

Dieselbe Definition gilt auch für $a=0$. Daraus folgt, dass $0^q=0$ für $q>0$ gilt und dass $0^q$ für $q<0$ nicht existiert.

Wenn man Wurzeln aus negativen Zahlen mit ungeraden Wurzelexponenten zulässt, dann kann man diese Definition auf negative Basen und solche rationale Exponenten erweitern, deren gekürzte Bruchdarstellungen ungerade Nenner haben. Dazu gehören auch Potenzen mit negativen Basen und ganzen Exponenten, weil die Nenner in diesem Fall gleich $1$ sind.

Für den Fall $a<0$ kann man bei Berechnungen von $a^q$ alle Bruchdarstellungen $q=\frac{m}{n}$ mit ungeraden $n$ benutzen. Aber bei Benutzung von Bruchdarstellungen mit geraden $n$ können Fehler entstehen. Zum Beispiel gilt:

$-2=(-8{)}^{1/3}=\sqrt[3]{-8}=\sqrt[9]{(-8{)}^3}\ne \sqrt[6]{(-8{)}^2}=2$

Reelle Exponenten

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Exponentialfunktionen 0,5^x, 2^x, e^x und 10^x

Ist $a>0$, $r$ eine beliebige reelle Zahl und $(q_n)$ eine Folge rationaler Zahlen, die gegen $r$ konvergiert, so definiert man:

$a^r:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^{q_n}$

Diese Definition ist korrekt, d. h., der Grenzwert existiert immer und hängt nicht von der Auswahl der Folge $(q_n)$ ab.

Zum Beispiel ist $2^{\pi }$ gleich dem Grenzwert der Folge $2^3,2^{3,1},2^{3,14},\dots .$

Die Definition lässt sich nicht auf den Fall $a<0$ erweitern, da in diesem Fall der Grenzwert nicht zu existieren braucht bzw. für verschiedene Wahlen der Folge $(q_n)$ sich verschiedene Grenzwerte ergeben.

Eine andere Definition ist über die natürliche Exponentialfunktion und den natürlichen Logarithmus möglich:

$a^r=\exp (r\ln a)$

Dazu kann die Exponentialfunktion über ihre Reihenentwicklung definiert werden:

$\exp (x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$

Insgesamt sind somit die Potenzen mit nichtnegativen Basen für alle reellen Exponenten definiert. Im Unterschied dazu sind die Potenzen mit negativen Basen nur für solche rationalen Exponenten definiert, deren gekürzte Bruchdarstellungen ungerade Nenner haben. Alle Potenzen mit negativen Basen und ganzen Exponenten gehören dazu. Potenzen negativer Zahlen mit anderen reellen Exponenten lassen sich im Bereich der komplexen Zahlen definieren, sind allerdings nicht reellwertig.

Technische Schreibweisen

Wenn hochgestelltes Schreiben nicht möglich ist (zum Beispiel in einem ASCII-Text), verwendet man oft die Schreibweise a^b (beispielsweise in Algol 60, in TeX-Quellcode oder in Computeralgebrasystemen wie Maple), gelegentlich auch a**b (beispielsweise in Fortran, Perl oder Python). Aufgrund der verschiedenen Wahlen für die Definitionsbereiche von Basis und Exponent stellt Haskell gleich drei Potenzoperatoren zur Verfügung: a^b, a^^b und a**b.

Zehnerpotenzen werden in der elektronischen Datenverarbeitung oder in der Anzeige auf Taschenrechnern häufig mit e oder E dargestellt.
Häufig anzutreffende Darstellung für z. B. −299792458 = −2,99792458·10⁸

-2.9979 08	(8-stellige 7-Segment-Anzeige)
-2.997925 08	(10-stellige 7-Segment-Anzeige)
-2.9979256 08	(8-stellige 7-Segment-Anzeige + Exponentenfeld)
-2.99792458 E+08	(16-stellige Punktmatrixanzeige)
-2.99792458E+08	(Gleitkommadarstellung nach IEEE)

Potenzgesetze

Um die nachfolgende Tabelle nicht zu überladen, betrachten wir nur Potenzen mit reellen Basen, die ungleich $0$ sind. Betrachtet man aber eines der unten aufgeführten Gesetze mit nur positiven Exponenten, dann ist es auch für Potenzen zur Basis $0$ gültig. Wenn von rationalen Zahlen mit geraden oder ungeraden Nennern gesprochen wird, dann sind stets die Nenner ihrer gekürzten Bruchdarstellungen gemeint.

$a^0=1$	für alle $a\ne 0$ (Anmerkungen zu „null hoch null“ siehe unten)
$a^{-r}=\frac{1}{a^r}$	für beliebige reelle $r$, falls $a>0$ ist; für beliebige rationale $r$ mit ungeraden Nennern, falls $a<0$ ist.
$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a}{)}^m$	für beliebige natürliche $n$ und ganze $m$, falls $a>0$ ist; für beliebige natürliche ungerade $n$ und ganze $m$, falls $a<0$ ist.
$a^{r+s}=a^r\cdot a^s$	für beliebige reelle $r,s$, falls $a>0$ ist; für beliebige rationale $r,s$ mit ungeraden Nennern, falls $a<0$ ist.
$a^{r-s}=\frac{a^r}{a^s}$	für beliebige reelle $r,s$, falls $a>0$ ist; für beliebige rationale $r,s$ mit ungeraden Nennern, falls $a<0$ ist.
$(a\cdot b{)}^r=a^r\cdot b^r$	für beliebige natürliche $r$, und für ganze $r$, wenn $a\cdot b\ne 0$; für beliebige reelle $r$, falls $a>0,b>0$ sind; für beliebige rationale $r$ mit ungeraden Nennern, falls mindestens eine der Zahlen $a,b$ negativ ist.
${\left(\frac{a}{b}\right)}^r=\frac{a^r}{b^r}$	für beliebige $b\ne 0$ und ganze $r$ und, wenn $r\le 0$, auch $a\ne 0$; für beliebige reelle $r$, falls $a>0,b>0$ sind; für beliebige rationale $r$ mit ungeraden Nennern, falls mindestens eine der Zahlen $a,b$ negativ ist.
$(a^r{)}^s=a^{r\cdot s}$	für beliebige ganze $r,s$, falls $a\ne 0$ ist; für beliebige reelle $r,s$, falls $a>0$ ist; für beliebige rationale $r,s$, mit ungeraden Nennern, falls $a<0$ ist.

Ist mindestens einer der Exponenten $r,s$ irrational oder sind beide rational, aber hat mindestens eine der Zahlen $r$ oder $r\cdot s$ einen geraden Nenner, dann ist einer der Ausdrücke $(a^r{)}^s$ oder $a^{r\cdot s}$ für $a<0$ undefiniert. Ansonsten sind beide definiert und stimmen entweder überein oder unterscheiden sich nur um ihr Vorzeichen. Für beliebige $r,s$, falls $a>0$ ist, und für ganze $r,s$, falls $a\ne 0$ ist, stimmen sie immer überein. Für $a<0$ und nicht ganzzahlige, aber rationale $r,s$ sind diese beiden Fälle möglich. Welcher Fall eintritt, hängt von der Anzahl der Zweien in der Primzahlzerlegung des Zählers von $r$ und des Nenners von $s$ ab. Um das richtige Vorzeichen auf der rechten Seite der Formel $(a^r{)}^s=\pm a^{r\cdot s}$ zu erkennen, ist es hinreichend, in diese Formel $a=-1$ einzusetzen. Das Vorzeichen, mit dem sie dann bei $a=-1$ gültig ist, bleibt richtig für alle $a<0$ und gegebenem $r,s$. Gilt $(a^r{)}^s=-a^{r\cdot s}$ für $a<0$, dann gilt $(a^r{)}^s=|a{|}^{r\cdot s}$ für alle $a\ne 0$ (und auch für $a=0$, falls alle Exponenten positiv sind).

Zum Beispiel gilt $((-1{)}^2{)}^{\frac{1}{2}}=1$ und $(-1{)}^{2\cdot \frac{1}{2}}=-1$. Darum ist $\sqrt{a^2}=(a^2{)}^{\frac{1}{2}}=-a^{2\cdot \frac{1}{2}}=-a$ für alle $a<0$ und somit $\sqrt{a^2}=|a|$ für alle reellen $a$ gültig.

Das Potenzieren ist weder kommutativ, denn beispielsweise gilt $2^3=8=9=3^2$, noch assoziativ, denn beispielsweise gilt ${\left(3^1\right)}^3=27\ne 3=3^{\left(1^3\right)}$.

Die Schreibweise $a^{b^c}$ ohne Klammern bedeutet $a^{(b^c)}$, das Potenzieren ist demnach rechtsassoziativ, vgl. Operatorrangfolge.

Verallgemeinerungen

Allgemeinere Basen

Allgemein gibt es Potenzen mit positiven, ganzzahligen Exponenten in jeder Halbgruppe. Hat diese ein neutrales Element und wird dadurch zum Monoid $M$, so ist auch Exponent 0 sinnvoll, $a^0$ ist dann immer das neutrale Element. Es gelten für alle $a,b\in M;m,n\in {\mathbb{\mathbb{N}}}_0$ die Potenzgesetze

• $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$
• $(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$
• $(a\cdot b{)}^m=a^m\cdot b^m$, falls $a$ und $b$ vertauschen, d. h. wenn $ab=ba$ gilt.

Ist $a$ ein invertierbares Element, so kann man mittels

$a^{-n}=(a^{-1}{)}^n$ für $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$

Potenzen mit beliebigen ganzzahligen Exponenten definieren. Die Rechenregeln gelten analog. Im Fall abelscher Gruppen besagen sie, dass durch die Potenzierung die Struktur eines $\mathbb{\mathbb{Z}}$-Moduls induziert wird.

Allgemeinere Exponenten

Allgemeinere Exponenten wie Matrizen werden meist nur im Zusammenhang mit der Basis $e$, also als Werte der verallgemeinerten Exponentialfunktion betrachtet.

Darüber hinaus wird die Potenzschreibweise gelegentlich auch für andere natürliche Fortsetzungen verwendet. So werden beispielsweise in der algebraischen Zahlentheorie gelegentlich Potenzen von Elementen von (topologischen) Galoisgruppen mit Exponenten in Vervollständigungen von $\mathbb{\mathbb{Z}}$ betrachtet; es handelt sich dann um die jeweils eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung der Abbildung

$\mathbb{\mathbb{Z}}\to G,n\mapsto g^n.$

Für beliebige Kardinalzahlen $|X|$ und $|Y|$ lässt sich die Potenz durch $|Y{|}^{|X|}:=|Y^X|$ definieren, wobei $Y^X$ die Menge aller Funktionen mit Urmenge $X$ und Bildmenge $Y$ bezeichnet, diese Verallgemeinerung setzt das Potenzmengenaxiom voraus, wobei zur Handhabung der Kardinalzahlen in der Regel auch das Auswahlaxiom angenommen wird.

Siehe auch

• Kategorie:Potenz (Mathematik) - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Potenz (Mathematik) - Artikel in der deutschen Wikipedia

Weblinks

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