Raum (Mathematik)

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Schematische Darstellung der Vektoraddition und der Multiplikation mit einem Skalar: Der Vektor v (blau) wird zu einem anderen Vektor w addiert (rot, unten). Oben wird w um einen Faktor 2 gestreckt, das Ergebnis ist die Summe v + 2·w. Ein Koordinatenvektor (x,y,z) als Ortsvektor im dreidimensionalen reellen Koordinatenraum
Schematische Darstellung der Vektoraddition und der Multiplikation mit einem Skalar: Der Vektor v (blau) wird zu einem anderen Vektor w addiert (rot, unten). Oben wird w um einen Faktor 2 gestreckt, das Ergebnis ist die Summe v + 2·w.
Ein Koordinatenvektor (x,y,z) als Ortsvektor im dreidimensionalen reellen Koordinatenraum

Ein Raum ist in der Mathematik als abstrakte Verallgemeinerung des uns gewohnten Anschauungsraums als eine Menge mathematischer Objekte mit einer mathematischen Struktur definiert, z.B. als Vektorraum oder als topologischer Raum bzw. als Mannigfaltigkeit. Auf die Anschaulichkeit wird dabei verzichtet.

Vektorraum

Matrixdarstellung des dreidimensionalen Levi-Civita-Symbols (Permutationssymbol)

Ein -dimensionaler Vektorraum besteht aus einer Menge von mathematischen Objekten, die Vektoren (von lat. vector „Träger, Fahrer“) genannt werden und addiert, subtrahiert oder mit einem Skalar (z.B. einer Zahl) multipliziert werden können, sodass der daraus resultierende Vektor wiederum ein Element desselben Vektorraums ist und die Assoziativgesetze und Distributivgesetze erfüllt sind. Einen Vektorraum, dessen Elemente als Funktionen betrachtet werden, bezeichnet man als Funktionenraum.

Die Vektoren werden geometrisch-symbolisch in der Regel als Pfeile mit bestimmter Länge und Richtung dargestellt. Als mathematische Objekte können dafür beispielsweise reelle oder komplexe Zahlen, Zahlentupel, Matrizen oder Funktionen verwendet werden. Die Skalare entstammen einem bestimmten Körper, z.B. dem Körper der reellen Zahlen oder dem Körper der komplexen Zahlen, weshalb ein Vektorraum stets über einem bestimmten Körper definiert ist. Im gegebenen Fall handelt es sich dann beispielsweise um einen reellen oder komplexen Vektorraum.

Als Ortsvektor (auch Radiusvektor oder Positionsvektor) eines Punktes wird ein Vektor bezeichnet, der von einem festgelegten Punkt (meist dem Ursprung des Koordinatensystems) zu diesem Punkt zeigt.

Basis

e1 und e2 bilden die Standardbasis der euklidischen Ebene .

Die Basis eines Vektorraums wird durch eine Menge von Basisvektoren gebildet, durch als deren endliche Linearkombination sich jeder Vektor des Raumes eindeutig darstellen lässt. Bei einem Funktionenraum bezeichnet man sie auch als Basisfunktionen. Die Standardbasis des Vektorraums ist beispielsweise die Menge der kanonischen Einheitsvektoren . Für den Vektorraum der Polynome über einem Körper wird meist die Basis verwendet.

Im Allgemeinen kann ein Vektorraum über verschiedene Basen verfügen. Der Übergang von einer Basis zu einer Basis wird durch einen Basiswechsel bzw. durch eine Basistransformation vollzogen, die eine identische Abbildung des Vektorraums auf sich selbst ist. Sie kann mithilfe einer Transformationsmatrix (auch Basiswechselmatrix oder Übergangsmatrix) beschrieben werden. Dabei handelt es sich um den Spezialfall einer Abbildungsmatrix (auch Darstellungsmatrix) , durch die ganz allgemein lineare Abbildungen zwischen zwei beliebig dimensionalen Verktorräumen und dargestellt werden. Für eine Basistransformation ist daher

Die Koeffizienten der Transformationsmatrix ergeben sich, indem man die Basisvektoren der ursprünglichen Basis als Linearkombination der Basisvektoren der neuen Basis darstellt, d.h.:

Dualraum

Der Dualraum eines Vektorraums über einem Körper ist der Vektorraum aller linearen Abbildungen von nach . Diese linearen Abbildungen werden manchmal auch Kovektoren genannt.

Vektorrechnung

Das Skalarprodukt zweier Vektoren im euklidischen Anschauungsraum hängt von der Länge der Vektoren und dem eingeschlossenen Winkel ab.
Veranschaulichung des Kreuzprodukts

In der Vektorrechnung sind verschiedene Rechenoperationen für Vektoren definiert. Die Vektoren können dazu als Spaltenvektor oder in Komponentenschreibweise angeschrieben werden. Die wichtigsten Rechenoperationen zeigt die nachstehende Tabelle.

Das Skalarprodukt (auch inneres Produkt oder Punktprodukt) ist eine mathematische Verknüpfung, die zwei Vektoren eine Zahl (Skalar) zuordnet. Es ist Gegenstand der analytischen Geometrie und der linearen Algebra. Historisch wurde es zuerst im euklidischen Raum eingeführt. Geometrisch berechnet man das Skalarprodukt zweier Vektoren und nach der Formel

Dabei bezeichnen und jeweils die Längen (Beträge) der Vektoren. Mit wird der Kosinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels (Phi) bezeichnet. Das Skalarprodukt zweier Vektoren gegebener Länge ist damit null, wenn sie senkrecht zueinander stehen, und maximal, wenn sie die gleiche Richtung haben.
Das Standardskalarprodukt oder kanonische Skalarprodukt (manchmal auch „euklidisches Skalarprodukt“ genannt) ist das in der Mathematik normalerweise auf den endlichdimensionalen reellen und komplexen Standard-Vektorräumen bzw. angewendete Skalarprodukt. Mit Hilfe des Standardskalarprodukts lassen sich Begriffe wie Winkel und Orthogonalität vom zwei- und dreidimensionalen euklidischen Raum auf höhere Dimensionen verallgemeinern.

Das Kreuzprodukt, auch Vektorprodukt, vektorielles Produkt oder äußeres Produkt, ist eine Verknüpfung im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum, die zwei Vektoren wieder einen Vektor zuordnet. Um es von anderen Produkten, insbesondere vom Skalarprodukt, zu unterscheiden, wird es im deutsch- und englischsprachigen Raum mit einem Malkreuz als Multiplikationszeichen geschrieben (vgl. Abschnitt Schreibweisen). Die Bezeichnungen Kreuzprodukt und Vektorprodukt gehen auf den Physiker Josiah Willard Gibbs zurück, die Bezeichnung äußeres Produkt wurde von Hermann Graßmann geprägt.[1]

Spat, der von drei Vektoren aufgespannt wird

Das Spatprodukt, auch gemischtes Produkt genannt, ist das Skalarprodukt aus dem Kreuzprodukt zweier Vektoren und einem dritten Vektor. Es ergibt das orientierte Volumen des durch die drei Vektoren aufgespannten Spats (Parallelepipeds). Sein Betrag ist somit gleich dem Volumen des aufgespannten Spats. Das Vorzeichen ist positiv, falls diese drei Vektoren in der angegebenen Reihenfolge ein Rechtssystem bilden; bilden sie ein Linkssystem, so ist es negativ. Liegen die drei Vektoren in einer Ebene, so ist ihr Spatprodukt Null.

Das dyadische Produkt (kurz auch Dyade von griech. δύας, dýas „Zweiheit“) oder tensorielle Produkt ist in der Mathematik ein spezielles Produkt zweier Vektoren. Das Ergebnis eines dyadischen Produkts ist eine Matrix (oder ein Tensor zweiter Stufe) mit dem Rang eins. Das dyadische Produkt kann als Spezialfall eines Matrizenprodukts einer einspaltigen Matrix mit einer einzeiligen Matrix angesehen werden; es entspricht dann dem Kronecker-Produkt dieser beiden Matrizen. Um den Gegensatz zum inneren Produkt (Skalarprodukt) zu betonen, wird das dyadische Produkt gelegentlich auch äußeres Produkt genannt, wobei diese Bezeichnung aber nicht eindeutig ist, da sie auch für das Kreuzprodukt und das Dachprodukt verwendet wird.

Rechenoperation Spaltenvektoren Komponentenschreibweise Beschreibung
Addition/Subtraktion
Multiplikation mit einem Skalar
Skalarprodukt
Betrag [2] Der Betrag gibt die Länge des Vektors an.
Kreuzprodukt
(Vektorprodukt)
[3] Der Betrag des Vektorprodukts entspricht der Fläche des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms:

Spatprodukt Der Betrag des Spatprodukts entspricht dem Volumen des von den drei Vektoren aufgespannten Parallelepipeds:

Dyadisches Produkt
(tensorielles Produkt)

Siehe auch

Literatur

Einzelnachweise

  1.  Max Päsler: Grundzüge der Vektor- und Tensorrechnung. Walter de Gruyter, 1977, ISBN 3-11-082794-8, S. 33.
  2. nach dem Satz von Pythagoras
  3. ist das Levi-Civita-Symbol und ist +1 für gerade Permutationen von (1, 2, 3), −1 für ungerade Permutationen und sonst 0.
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